DREPTUNGHIUL proprietăți și diagonalele congruente - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 8 octombrie 2026

Dreptunghiul este paralelogramul care are un unghi drept, iar diagonalele lui sunt congruente și se înjumătățesc, deci punctul lor de intersecție este la aceeași distanță de toate cele patru vârfuri. Mai jos găsești proprietățile, cum arăți că un paralelogram este dreptunghi, formula diagonalei și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Dreptunghiul: definiție, proprietăți și diagonala

Dreptunghiul este un paralelogram care are un unghi drept. Pentru că unghiurile alăturate ale unui paralelogram sunt suplementare, dacă un unghi are $90^{\circ}$ , atunci toate patru au $90^{\circ}$ . În figură, diagonalele $A C$ și $B D$ se taie în $O$ , iar cele patru jumătăți sunt marcate ca fiind congruente.

În dreptunghiul

A B C D

, diagonalele sunt congruente și se taie în

O

în părți egale:

O A = O B = O C = O D

Dreptunghiul are toate proprietățile paralelogramului și încă două, care îl deosebesc de el:

Laturile opuse sunt paralele și congruente: $A B ∥ C D$ , $A B = C D$ , $A D ∥ B C$ , $A D = B C$ .
Toate unghiurile sunt drepte. Fiecare diagonală împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice congruente, de exemplu $A B C$ și $C D A$ .
Diagonalele se înjumătățesc (ca la orice paralelogram) și, în plus, sunt congruente: $A C = B D$ .
De aici rezultă $O A = O B = O C = O D$ , deci triunghiurile $A O B$ , $B O C$ , $C O D$ și $D O A$ sunt isoscele, cu vârful în $O$ .
Dreptunghiul are două axe de simetrie: dreptele care trec prin mijloacele a două laturi opuse.

Diagonala o calculezi cu teorema lui Pitagora în triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $B$ . Dacă notezi lungimea cu $L$ și lățimea cu $l$ :

$d = \sqrt{L^{2} + l^{2}}$

Perimetrul și aria le știi din clasa a V-a: $P = 2 (L + l)$ și $A = L \cdot l$ .

Cum arăți că un patrulater este dreptunghi. Ajunge una dintre condițiile de mai jos:

este un paralelogram care are un unghi drept;
este un paralelogram cu diagonalele congruente;
este un patrulater cu trei unghiuri drepte (al patrulea iese tot $90^{\circ}$ , din suma de $360^{\circ}$ ).

Atenție: diagonalele dreptunghiului nu sunt, în general, perpendiculare și nu sunt bisectoarele unghiurilor. Unghiul dintre ele depinde de cât de „lung” este dreptunghiul.

Exerciții rezolvate : dreptunghiul

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Diagonala din lungime și lățimeușor

Dreptunghiul $A B C D$ are lungimea $A B = 12$ cm și lățimea $B C = 5$ cm. Calculează lungimea diagonalei $A C$ și distanța de la punctul de intersecție a diagonalelor până la vârful $A$ .

Rezolvare pas cu pas

Unghiul $B$ al dreptunghiului este drept, deci triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$ , iar $A C$ este ipotenuza lui.
Din teorema lui Pitagora: $A C^{2} =$ $A B^{2} + B C^{2} =$ $144 + 25 =$ $169$ , deci $A C = 13$ cm.
Diagonalele se înjumătățesc, deci punctul lor de intersecție $O$ este mijlocul lui $A C$ : $O A =$ $\frac{13}{2} =$ $6,5$ cm.

Răspuns: $A C = 13$ cm și $O A = 6,5$ cm

EXERCIȚIUL 2Unghiurile pe care le face o diagonalăușor

În dreptunghiul $A B C D$ , diagonalele se intersectează în $O$ , iar $m (∠ B A C) =$ $35^{\circ}$ . Calculează $m (∠ A C D)$ , $m (∠ B C A)$ și $m (∠ A O B)$ .

Rezolvare pas cu pas

Laturile $A B$ și $C D$ sunt paralele, iar $A C$ este o secantă. Unghiurile $B A C$ și $A C D$ sunt alterne interne, deci $m (∠ A C D) =$ $35^{\circ}$ .
Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$ , deci unghiurile ascuțite sunt complementare: $m (∠ B C A) =$ $90^{\circ} - 35^{\circ} =$ $55^{\circ}$ .
Diagonalele sunt congruente și se înjumătățesc, deci $O A = O B$ , iar triunghiul $A O B$ este isoscel cu baza $A B$ .
Unghiurile de la bază sunt congruente: $m (∠ O B A) =$ $m (∠ O A B) =$ $35^{\circ}$ . Atunci $m (∠ A O B) =$ $180^{\circ} - 35^{\circ} - 35^{\circ} =$ $110^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A C D) =$ $35^{\circ}$ , $m (∠ B C A) =$ $55^{\circ}$ , $m (∠ A O B) =$ $110^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Triunghiul isoscel AOBușor

Dreptunghiul $A B C D$ are $A B = 16$ cm și $B C = 12$ cm, iar diagonalele lui se intersectează în $O$ . Calculează perimetrul triunghiului $A O B$ .

Rezolvare pas cu pas

Calculezi întâi diagonala, din triunghiul dreptunghic $A B C$ : $A C^{2} =$ $16^{2} + 12^{2} =$ $256 + 144 =$ $400$ , deci $A C = 20$ cm.
Diagonalele dreptunghiului sunt congruente: $B D = A C = 20$ cm.
Ele se înjumătățesc, deci $O A =$ $O B =$ $\frac{20}{2} =$ $10$ cm.
Perimetrul triunghiului $A O B$ este $O A + O B + A B =$ $10 + 10 + 16 =$ $36$ cm.

Răspuns: Perimetrul triunghiului $A O B$ este $36$ cm

EXERCIȚIUL 4Diagonale care se taie sub 60 de grademediu

În dreptunghiul $A B C D$ , diagonalele se intersectează în $O$ , $m (∠ A O B) =$ $60^{\circ}$ și $A C = 14$ cm. Calculează laturile $A B$ și $B C$ și aria dreptunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Diagonalele sunt congruente și se înjumătățesc, deci $O A =$ $O B =$ $\frac{14}{2} =$ $7$ cm.
Triunghiul $A O B$ este isoscel și are unghiul din vârf de $60^{\circ}$ . Unghiurile de la bază au câte $\frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} =$ $60^{\circ}$ , deci triunghiul este echilateral.
Rezultă $A B = O A = 7$ cm.
În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $B$ : $B C^{2} =$ $A C^{2} - A B^{2} =$ $196 - 49 =$ $147$ , deci $B C =$ $\sqrt{147} =$ $\sqrt{49 \cdot 3} =$ $7 \sqrt{3}$ cm.
Aria dreptunghiului este $A B \cdot B C =$ $7 \cdot 7 \sqrt{3} =$ $49 \sqrt{3}$ cm².

Răspuns: $A B = 7$ cm, $B C = 7 \sqrt{3}$ cm, aria $= 49 \sqrt{3}$ cm²

EXERCIȚIUL 5Arată că paralelogramul este dreptunghimediu

Paralelogramul $A B C D$ are $A B = 9$ cm, $A D = 12$ cm și diagonala $A C = 15$ cm. Arată că $A B C D$ este dreptunghi și calculează lungimea diagonalei $B D$ .

Figura arată deja un dreptunghi, dar unghiul drept nu este o dată a problemei: el trebuie demonstrat, de aceea nu este marcat.

Rezolvare pas cu pas

Într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente, deci $B C = A D = 12$ cm.
În triunghiul $A B C$ compari pătratul laturii celei mai lungi cu suma pătratelor celorlalte două: $A B^{2} + B C^{2} =$ $81 + 144 =$ $225$ și $A C^{2} = 15^{2} = 225$ .
Cele două rezultate sunt egale, deci, din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$ .
Paralelogramul $A B C D$ are un unghi drept, deci este dreptunghi.
Diagonalele dreptunghiului sunt congruente: $B D = A C = 15$ cm.

Răspuns: $A B C D$ este dreptunghi (are unghiul $B$ drept); $B D = 15$ cm

EXERCIȚIUL 6Laturile din perimetru și raportmediu

Un dreptunghi are perimetrul de $56$ cm, iar lungimea și lățimea lui sunt direct proporționale cu numerele $4$ și $3$ . Calculează laturile, diagonala și aria dreptunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Notezi lungimea cu $4 k$ și lățimea cu $3 k$ . Semiperimetrul este $L + l =$ $\frac{56}{2} =$ $28$ cm.
Atunci $4 k + 3 k = 28$ , adică $7 k = 28$ , deci $k = 4$ .
Lungimea este $L = 4 \cdot 4 = 16$ cm, iar lățimea este $l = 3 \cdot 4 = 12$ cm.
Diagonala: $d^{2} =$ $16^{2} + 12^{2} =$ $256 + 144 =$ $400$ , deci $d = 20$ cm.
Aria: $A =$ $16 \cdot 12 =$ $192$ cm².

Răspuns: $L = 16$ cm, $l = 12$ cm, $d = 20$ cm, aria $= 192$ cm²

EXERCIȚIUL 7Din triunghiul dreptunghic se face un dreptunghigreu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A B = 6$ cm și $A C = 8$ cm. Punctul $M$ este mijlocul ipotenuzei $B C$ , iar $D$ este simetricul lui $A$ față de $M$ . a) Arată că $A B D C$ este dreptunghi. b) Calculează lungimea medianei $A M$ .

Segmentele

B D

și

C D

sunt punctate pentru că le construiești tu în rezolvare. Unghiul drept din

A

este dat în enunț.

Rezolvare pas cu pas

a) $M$ este mijlocul lui $B C$ și, pentru că $D$ este simetricul lui $A$ față de $M$ , $M$ este și mijlocul lui $A D$ .
Patrulaterul $A B D C$ are diagonalele $A D$ și $B C$ care se înjumătățesc, deci este paralelogram.
Unghiul $B A C$ al acestui paralelogram este drept, deci $A B D C$ este dreptunghi.
b) Din teorema lui Pitagora în triunghiul $A B C$ : $B C^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $B C = 10$ cm.
Diagonalele dreptunghiului $A B D C$ sunt congruente: $A D = B C = 10$ cm. Mediana $A M$ este jumătate din diagonala $A D$ , deci $A M = 5$ cm.
Observă că ai regăsit teorema medianei: în triunghiul dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză.

Răspuns: a) $A B D C$ este paralelogram cu un unghi drept, deci dreptunghi; b) $A M = 5$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: perpendiculara din A pe diagonalăgreu

Dreptunghiul $A B C D$ are $A D = 6$ cm și $m (∠ A D B) =$ $60^{\circ}$ . Diagonalele se intersectează în $O$ , iar $A E ⟂ B D$ , cu $E$ pe $B D$ . a) Calculează lungimile diagonalei $B D$ și ale laturii $A B$ . b) Calculează $D E$ , $B E$ și $A E$ . c) Arată că $E$ este mijlocul segmentului $D O$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Triunghiul $A B D$ este dreptunghic în $A$ și are $m (∠ A D B) =$ $60^{\circ}$ , deci $m (∠ A B D) =$ $30^{\circ}$ .
Cateta $A D$ se opune unghiului de $30^{\circ}$ , deci este jumătate din ipotenuză: $B D = 2 \cdot 6 = 12$ cm.
Din teorema lui Pitagora: $A B^{2} =$ $144 - 36 =$ $108$ , deci $A B =$ $\sqrt{108} =$ $6 \sqrt{3}$ cm.
b) În triunghiul $A E D$ , dreptunghic în $E$ , $m (∠ A D E) =$ $60^{\circ}$ , deci $m (∠ D A E) =$ $30^{\circ}$ . Cateta $D E$ se opune unghiului de $30^{\circ}$ : $D E =$ $\frac{6}{2} =$ $3$ cm.
Atunci $B E =$ $B D - D E =$ $12 - 3 =$ $9$ cm, iar din Pitagora în triunghiul $A E D$ : $A E^{2} = 36 - 9 = 27$ , deci $A E = 3 \sqrt{3}$ cm.
c) Diagonalele se înjumătățesc, deci $D O =$ $\frac{12}{2} =$ $6$ cm. Punctul $E$ este pe $D O$ și $D E = 3$ cm, adică jumătate din $D O$ , deci $E$ este mijlocul lui $D O$ .

Răspuns: a) $B D = 12$ cm, $A B = 6 \sqrt{3}$ cm; b) $D E = 3$ cm, $B E = 9$ cm, $A E = 3 \sqrt{3}$ cm; c) $D E =$ $3 =$ $\frac{D O}{2}$

Cum recunoști un exercițiu pe dreptunghi

Se cere diagonala sau o latură și ai celelalte două lungimi: lucrezi cu Pitagora în unul dintre triunghiurile dreptunghice formate de o diagonală.
Apare punctul de intersecție a diagonalelor: scrie imediat $O A = O B = O C = O D$ și caută un triunghi isoscel (sau echilateral, dacă vezi un unghi de $60^{\circ}$ ).
Ți se cere să arăți că un paralelogram este dreptunghi: caută un unghi drept (eventual prin reciproca lui Pitagora) sau arată că diagonalele sunt congruente.

Greșeli frecvente la dreptunghi

Crezi că diagonalele dreptunghiului sunt perpendiculare. În general nu sunt. Ele sunt congruente și se înjumătățesc, dar unghiul dintre ele poate fi $60^{\circ}$ , $110^{\circ}$ sau oricât, în funcție de laturi.
Iei diagonala drept bisectoare a unghiului drept. Unghiul $B A C$ nu are $45^{\circ}$ decât dacă laturile $A B$ și $B C$ sunt egale. Calculează-l din datele problemei, nu din desen.
Spui că un patrulater cu diagonale congruente este dreptunghi. Condiția merge doar pentru un paralelogram. Întâi arăți că patrulaterul este paralelogram (de exemplu, diagonalele se înjumătățesc), apoi folosești diagonalele congruente.

Exersează : dreptunghiul

Fișă de lucru: Dreptunghiul, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Patrulatere, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Dreptunghiul, partea a II-aclasa a VII-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre dreptunghi

Cum arăt că un paralelogram este dreptunghi?

Arăți că are un unghi drept sau că diagonalele lui sunt congruente. Dacă știi doar laturile și o diagonală, verifici unghiul drept cu reciproca teoremei lui Pitagora.

Diagonalele dreptunghiului sunt și perpendiculare?

Nu, în general. Diagonalele dreptunghiului sunt congruente și se înjumătățesc. Perpendiculare devin doar într-un caz particular, pe care îl studiezi mai târziu în același capitol.

De ce punctul de intersecție a diagonalelor este la fel de departe de toate vârfurile?

Pentru că diagonalele au aceeași lungime și fiecare este tăiată în două jumătăți egale. Toate cele patru jumătăți au deci aceeași lungime: $O A = O B = O C = O D$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele afirmații definește corect dreptunghiul?
2. Într-un dreptunghi cu laturile $a$ și $b$ , diagonala $d$ se calculează cu formula:
3. Care dintre următoarele proprietăți este adevărată pentru diagonalele unui dreptunghi?
4. Un dreptunghi are laturile de $6$ cm și $8$ cm. Care este lungimea diagonalei sale?
5. Care dintre următoarele figuri geometrice este întotdeauna un dreptunghi?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 8 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

LINIA MIJLOCIE ÎN TRIUNGHI, definiție și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

MEDIANA UNUI TRIUNGHI: definiție și centrul de greutate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ROMBUL: proprietăți, arie și perimetru - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

PĂTRATUL proprietăți, diagonala și unghiurile de 45° - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

LINIA MIJLOCIE ÎN TRAPEZ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ARIILE FIGURILOR GEOMETRICE: toate formulele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună