de Echipa Școala Virtuală16 august 2026

Formulele trunchiului de piramidă: 5 exerciții rezolvate

Q: Care e diferența dintre apotema laterală și apotema bazei?

Apotema bazei a e distanța de la centrul poligonului bazei până la mijlocul unei laturi — e în interiorul bazei. Apotema laterală al e înălțimea feței trapezoidale laterale — e pe fața trunchiului. Sunt lucruri diferite. La formula ariei laterale folosești mereu al , nu apotema bazei.

Ai deschis problema și ai văzut cuvântul „trunchi de piramidă" — și instantaneu ai simțit că e ceva complicat. Te înțeleg perfect. Sunt trei formule diferite, cu litere mari și mici amestecate, și nu e deloc clar de ce ai nevoie de toate. Dar uite ce e amuzant: formulele trunchiului de piramidă sunt de fapt mai logice decât par. Dacă știi cum arată corpul geometric, formulele vin de la sine. Practic, un trunchi de piramidă e o piramidă căreia i-ai „tăiat" vârful cu un plan paralel la bază. Rămâi cu două baze — una mare, una mică — și cu fețele laterale între ele. Odată ce vizualizezi asta, totul se leagă. Hai să vedem împreună cum funcționează fiecare formulă, pas cu pas.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este un trunchi de piramidă și cum îl recunoști
Vei ști să calculezi aria laterală, aria totală și volumul
Vei vedea cele mai frecvente greșeli — și cum să le eviți
Vei rezolva 5 exerciții complete, pas cu pas, cu logica explicată

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, un trunchi de piramidă

Imaginează-ți o piramidă normală — cu o bază pătrată sau triunghiulară și un vârf sus. Acum taie vârful cu un cuțit imaginar, paralel cu baza. Ce rămâne? Un corp cu două baze: una mare jos, una mică sus, și niște fețe trapezoidale între ele. Asta e trunchiul de piramidă. Baza mare o notăm cu $B$ , baza mică cu $b$ , înălțimea trunchiului cu $h$ , iar apotema feței laterale cu $a_{l}$ — adică distanța de la mijlocul unei laturi a bazei mici până la mijlocul laturii corespunzătoare din baza mare. Dacă trunchiul are baza pătrată, latura bazei mari e $l$ și latura bazei mici e $l^{'}$ . Nu e nicio magie — e doar geometrie vizuală. Dacă desenezi corpul înainte să calculezi, jumătate din confuzie dispare.

💡 Regula de bază

Un trunchi de piramidă are două baze paralele și congruente ca formă (dar de mărimi diferite) și fețe laterale trapezoidale. Formulele principale sunt: aria laterală $A_{l}$ , aria totală $A_{t} = A_{l} + B + b$ , și volumul $V = \frac{h}{3} (B + b + \sqrt{B \cdot b})$ — unde $B$ și $b$ sunt ariile celor două baze.

Formulele, explicate pe rând

Să nu le aruncăm pe toate odată. Hai să luăm fiecare formulă separat și să vedem de unde vine.

Aria laterală — fețele laterale ale trunchiului sunt trapeze. La un trunchi de piramidă regulată (cu baza regulată), toate fețele laterale sunt trapeze isoscele identice. Aria unui trapez e $\frac{(s u m a b a z e l o r) \cdot \hat{ı} n \overset{˘}{a} l ț i m e}{2}$ . Suma bazelor unui trapez lateral e $l + l^{'}$ (laturi ale celor două baze), iar înălțimea trapezului e apotema laterală $a_{l}$ . Dacă baza are $n$ laturi:

A_{l} = n \cdot \frac{(l + l^{'}) \cdot a_{l}}{2}

Sau, mai compact, folosind perimetrele celor două baze $P$ și $p$ :

A_{l} = \frac{(P + p) \cdot a_{l}}{2}

Aria totală — adaugi cele două baze:

A_{t} = A_{l} + B + b

Volumul — aceasta e formula care surprinde cel mai mult. Nu e o medie simplă a celor două baze înmulțită cu înălțimea. E puțin mai subtilă:

V = \frac{h}{3} (B + b + \sqrt{B \cdot b})

De ce $\sqrt{B \cdot b}$ ? Pentru că volumul trunchiului e diferența dintre volumul piramidei mari și cel al piramidei mici tăiate — și când faci calculul, apare exact acest termen. Nu trebuie să memorezi demonstrația, dar e bine să știi că formula nu e inventată.

💡 Regula de bază

Reține cele trei formule cheie pentru un trunchi de piramidă regulată cu baza $n$ -gonală, perimetrele $P$ și $p$ , ariile bazelor $B$ și $b$ , apotema laterală $a_{l}$ și înălțimea $h$ :

$A_{l} = \frac{(P + p) \cdot a_{l}}{2}$ | $A_{t} = A_{l} + B + b$ | $V = \frac{h}{3} (B + b + \sqrt{B \cdot b})$

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Un trunchi de piramidă regulată cu baza pătrată are latura bazei mari $l = 6$ cm, latura bazei mici $l^{'} = 3$ cm, apotema laterală $a_{l} = 5$ cm și înălțimea $h = 4$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.

🔢 Rezolvare

Pasul 1 — Perimetrele bazelor:

P = 4 \cdot 6 = 24 cm, p = 4 \cdot 3 = 12 cm

Pasul 2 — Aria laterală:

A_{l} = \frac{(P + p) \cdot a_{l}}{2} = \frac{(24 + 12) \cdot 5}{2} = \frac{36 \cdot 5}{2} = \frac{180}{2} = 90 {cm}^{2}

Pasul 3 — Ariile bazelor:

B = 6^{2} = 36 {cm}^{2}, b = 3^{2} = 9 {cm}^{2}

Pasul 4 — Aria totală:

A_{t} = A_{l} + B + b = 90 + 36 + 9 = 135 {cm}^{2}

Pasul 5 — Volumul:

V = \frac{h}{3} (B + b + \sqrt{B \cdot b}) = \frac{4}{3} (36 + 9 + \sqrt{36 \cdot 9})

\sqrt{36 \cdot 9} = \sqrt{324} = 18

V = \frac{4}{3} (36 + 9 + 18) = \frac{4}{3} \cdot 63 = \frac{252}{3} = 84 {cm}^{3}

✅ Explicație

Primul lucru pe care l-am calculat sunt perimetrele — pentru că formula ariei laterale le cere pe ele, nu laturile direct. Apoi am aplicat formulele în ordine logică: mai întâi aria laterală, apoi ariile bazelor, abia după aceea aria totală și volumul. La volum, cheia e să calculezi $\sqrt{B \cdot b}$ înainte de a aduna — mulți sar peste asta și greșesc.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: La volum, unii elevii înlocuiesc $\sqrt{B \cdot b}$ cu $\frac{B + b}{2}$ sau pur și simplu îl omit. Adică scriu $V = \frac{h}{3} (B + b)$ — ceea ce e formula volumului unui trunchi de con sau o inventare personală.

✅ Corect: Formula completă e $V = \frac{h}{3} (B + b + \sqrt{B \cdot b})$ . Termenul $\sqrt{B \cdot b}$ nu dispare — e acolo pentru că matematica o cere. Calculează-l separat, ca pe un subpunct distinct.

❌ Greșeala #2: La aria totală, unii uită să adune ambele baze — adaugă doar una. Sau confundă apotema laterală $a_{l}$ (a feței) cu apotema bazei $a$ (a poligonului de la bază). Sunt lucruri diferite și nu sunt interschimbabile.

✅ Corect: $A_{t} = A_{l} + B + b$ — două baze, amândouă adăugate. Iar apotema laterală $a_{l}$ e înălțimea feței trapezoidale, nu apotema poligonului bazei. Verifică în enunț ce îți dă problema și notează clar pe desen.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Un trunchi de piramidă regulată cu baza pătrată are latura bazei mari $l = 8$ cm, latura bazei mici $l^{'} = 4$ cm și apotema laterală $a_{l} = 6$ cm. Calculează aria laterală.

Vezi rezolvarea pas cu pas

P = 4 \cdot 8 = 32 cm, p = 4 \cdot 4 = 16 cm

A_{l} = \frac{(P + p) \cdot a_{l}}{2} = \frac{(32 + 16) \cdot 6}{2} = \frac{48 \cdot 6}{2} = \frac{288}{2} = 144 {cm}^{2}

Calculezi întâi perimetrele celor două baze, apoi aplici direct formula. Nimic mai mult.

Răspuns: $A_{l} = 144 {cm}^{2}$

Exercițiul 2. Un trunchi de piramidă regulată cu baza pătrată are $l = 6$ cm, $l^{'} = 2$ cm și $a_{l} = 5$ cm. Calculează aria totală.

Vezi rezolvarea pas cu pas

P = 4 \cdot 6 = 24 cm, p = 4 \cdot 2 = 8 cm

A_{l} = \frac{(24 + 8) \cdot 5}{2} = \frac{32 \cdot 5}{2} = \frac{160}{2} = 80 {cm}^{2}

B = 6^{2} = 36 {cm}^{2}, b = 2^{2} = 4 {cm}^{2}

A_{t} = 80 + 36 + 4 = 120 {cm}^{2}

Aria totală înseamnă fețele laterale plus ambele baze. Greșeala clasică e să uiți una dintre baze — verifică mereu că ai adunat trei termeni.

Răspuns: $A_{t} = 120 {cm}^{2}$

Exercițiul 3. Un trunchi de piramidă regulată cu baza pătrată are $l = 6$ cm, $l^{'} = 3$ cm și înălțimea $h = 4$ cm. Calculează volumul.

Vezi rezolvarea pas cu pas

B = 6^{2} = 36 {cm}^{2}, b = 3^{2} = 9 {cm}^{2}

\sqrt{B \cdot b} = \sqrt{36 \cdot 9} = \sqrt{324} = 18

V = \frac{4}{3} (36 + 9 + 18) = \frac{4}{3} \cdot 63 = \frac{252}{3} = 84 {cm}^{3}

Calculezi $\sqrt{B \cdot b}$ ca pas separat — asta te salvează de greșeli. Abia după ce ai toate cele trei valori, le aduni și înmulțești cu $\frac{h}{3}$ .

Răspuns: $V = 84 {cm}^{3}$

Exercițiul 4. Un trunchi de piramidă regulată cu baza triunghiulară echilaterală are latura bazei mari $l = 6$ cm și latura bazei mici $l^{'} = 3$ cm. Apotema laterală este $a_{l} = 7$ cm. Calculează aria laterală și, știind că aria unui triunghi echilateral cu latura $a$ este $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , calculează aria totală.

Vezi rezolvarea pas cu pas

P = 3 \cdot 6 = 18 cm, p = 3 \cdot 3 = 9 cm

A_{l} = \frac{(18 + 9) \cdot 7}{2} = \frac{27 \cdot 7}{2} = \frac{189}{2} = 94,5 {cm}^{2}

B = \frac{6^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} {cm}^{2}

b = \frac{3^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} {cm}^{2}

A_{t} = 94,5 + 9 \sqrt{3} + \frac{9 \sqrt{3}}{4} = 94,5 + \frac{36 \sqrt{3}}{4} + \frac{9 \sqrt{3}}{4} = 94,5 + \frac{45 \sqrt{3}}{4}

A_{t} = 94,5 + \frac{45 \sqrt{3}}{4} \approx 94,5 + 19,49 \approx 113,99 {cm}^{2}

Baza triunghiulară schimbă perimetrele (3 laturi, nu 4), dar formula ariei laterale rămâne aceeași. Ariile bazelor ies cu $\sqrt{3}$ — asta e normal, nu e o greșeală.

Răspuns: $A_{l} = 94,5 {cm}^{2}$ ; $A_{t} = 94,5 + \frac{45 \sqrt{3}}{4} {cm}^{2} \approx 114 {cm}^{2}$

Exercițiul 5. Provocare: Un trunchi de piramidă regulată cu baza pătrată are $l = 10$ cm, $l^{'} = 4$ cm, apotema laterală $a_{l} = 8$ cm și înălțimea $h = 6$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul. Rotunjește la două zecimale acolo unde e necesar.

Vezi rezolvarea pas cu pas

P = 4 \cdot 10 = 40 cm, p = 4 \cdot 4 = 16 cm

A_{l} = \frac{(40 + 16) \cdot 8}{2} = \frac{56 \cdot 8}{2} = \frac{448}{2} = 224 {cm}^{2}

B = 10^{2} = 100 {cm}^{2}, b = 4^{2} = 16 {cm}^{2}

A_{t} = 224 + 100 + 16 = 340 {cm}^{2}

\sqrt{B \cdot b} = \sqrt{100 \cdot 16} = \sqrt{1600} = 40

V = \frac{6}{3} (100 + 16 + 40) = 2 \cdot 156 = 312 {cm}^{3}

La volumul acesta, $\sqrt{1600} = 40$ iese exact — nu trebuie rotunjire. Observi că $\frac{h}{3} = \frac{6}{3} = 2$ , deci calculul se simplifică frumos. Când numerele dau curat, verifică-ți pașii — de obicei e semn că ai rezolvat corect.

Răspuns: $A_{l} = 224 {cm}^{2}$ ; $A_{t} = 340 {cm}^{2}$ ; $V = 312 {cm}^{3}$

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre apotema laterală și apotema bazei?

Apotema bazei $a$ e distanța de la centrul poligonului bazei până la mijlocul unei laturi — e în interiorul bazei. Apotema laterală $a_{l}$ e înălțimea feței trapezoidale laterale — e pe fața trunchiului. Sunt lucruri diferite. La formula ariei laterale folosești mereu $a_{l}$ , nu apotema bazei.

De ce la volum apare radical — B⋅b ?

Formula volumului vine din calculul diferenței dintre două piramide: cea mare și cea mică tăiată. Când faci scăderea, apare matematic termenul $\sqrt{B \cdot b}$ — e un rezultat al algebrei, nu ceva adăugat arbitrar. Nu trebuie să demonstrezi asta la școală, dar e bine să știi că formula are sens și nu e inventată.

Cum știu dacă un trunchi de piramidă e regulat?

Un trunchi de piramidă e regulat dacă ambele baze sunt poligoane regulate (cu toate laturile egale) și sunt paralele și centrate una față de cealaltă. Practic, dacă problema spune „trunchi de piramidă regulată cu baza pătrată", înseamnă că ambele baze sunt pătrate și toate fețele laterale sunt trapeze isoscele identice.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Descrierea în versuri — teorie și exemple pentru clasele 5-8

16 august 2026

Aria laterală și volumul conului: formule și exemple

16 august 2026

Contextul de comunicare explicat cu exemple, clasele 5-8

15 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună