TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂ, recapitulare completă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Trunchiul de piramidă se obține tăind o piramidă cu un plan paralel la bază: rămân două baze asemenea și fețe laterale trapezoidale. Mai jos găsești elementele lui, de unde vin formulele ariei și volumului, și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Trunchiul de piramidă: elemente și formule

Imaginează-ți o piramidă obișnuită, cu bază poligonală și vârf sus. Acum taie-o cu un plan orizontal, paralel cu baza. Bucata de jos care rămâne se numește trunchi de piramidă. Are două baze, asemenea și paralele: baza mare (baza originală a piramidei) și baza mică (secțiunea unde ai tăiat). Fețele laterale nu mai sunt triunghiuri, ca la piramidă, ci trapeze. Trunchiul de piramidă apare des în viața reală: acoperișuri, cupe de trofeu, coșuri de flori, vaze.

Baza mare ABCD (latura

a

), baza mică A′B′C′D′ (latura

b

) și înălțimea OO′ =

h

Pentru baze pătrate cu latura mare $a$ și latura mică $b$ , toate formulele pornesc de la $a$ , $b$ și înălțimea $h$ (distanța dintre cele două baze). Fiecare față laterală este un trapez isoscel; înălțimea acelui trapez se numește apotema feței laterale, notată $a_{f}$ . Ca s-o afli, privește distanța pe orizontală dintre mijlocul unei laturi a bazei mari și mijlocul laturii corespunzătoare a bazei mici: este $\frac{a - b}{2}$ . Înălțimea $h$ și această distanță formează un triunghi dreptunghic, deci, cu Pitagora:

$a_{f} =$ $\sqrt{h^{2} + {(\frac{a - b}{2})}^{2}}$

Cu apotema feței calculată, aria laterală este suma ariilor celor 4 trapeze:

$A_{l} =$ $\frac{(P_{1} + P_{2}) \cdot a_{f}}{2}$

unde $P_{1} = 4 a$ este perimetrul bazei mari și $P_{2} = 4 b$ este perimetrul bazei mici. Aria totală adaugă cele două baze pătrate, cu ariile $A_{1} = a^{2}$ și $A_{2} = b^{2}$ :

$A_{t} = A_{l} + A_{1} + A_{2}$

Volumul are formula cea mai surprinzătoare, pentru că e diferența dintre volumele a două piramide asemenea:

$V =$ $\frac{h}{3} (A_{1} + A_{2} + \sqrt{A_{1} \cdot A_{2}})$

Nu trebuie s-o demonstrezi la gimnaziu, doar s-o aplici corect. Termenul $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}}$ este media geometrică a celor două arii și nu este opțional: fără el, volumul calculat iese mai mic decât cel real.

Exerciții rezolvate : trunchiul de piramidă

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Apotema feței lateraleușor

Un trunchi de piramidă are baze pătrate, cu latura bazei mari $a = 10$ cm, latura bazei mici $b = 2$ cm și înălțimea $h = 3$ cm. Calculează apotema feței laterale.

Rezolvare pas cu pas

Distanța pe orizontală dintre laturile corespunzătoare: $\frac{a - b}{2} =$ $\frac{10 - 2}{2} =$ $4$ cm.
Apotema feței: $a_{f} =$ $\sqrt{h^{2} + 4^{2}} =$ $\sqrt{9 + 16} =$ $\sqrt{25} =$ $5$ cm.

Răspuns: $a_{f} = 5$ cm

EXERCIȚIUL 2Aria lateralăușor

Un trunchi de piramidă are baze pătrate, cu latura bazei mari $a = 12$ cm, latura bazei mici $b = 4$ cm și înălțimea $h = 3$ cm. Calculează aria laterală, știind că apotema feței este $a_{f} = 5$ cm.

Rezolvare pas cu pas

Perimetrele bazelor: $P_{1} = 4 \cdot 12 = 48$ cm, $P_{2} = 4 \cdot 4 = 16$ cm.
Aria laterală: $A_{l} =$ $\frac{(48 + 16) \cdot 5}{2} =$ $\frac{320}{2} =$ $160$ cm².

Răspuns: $A_{l} = 160$ cm²

EXERCIȚIUL 3Aria totalămediu

Un trunchi de piramidă are baze pătrate, cu latura bazei mari $a = 15$ cm, latura bazei mici $b = 9$ cm și înălțimea $h = 4$ cm. Calculează aria totală.

Rezolvare pas cu pas

Apotema feței: $a_{f} =$ $\sqrt{16 + 9} =$ $\sqrt{25} =$ $5$ cm (am folosit $\frac{15 - 9}{2} = 3$ ).
Perimetrele: $P_{1} = 60$ cm, $P_{2} = 36$ cm, deci $A_{l} =$ $\frac{96 \cdot 5}{2} =$ $240$ cm².
Ariile bazelor: $A_{1} = 225$ cm², $A_{2} = 81$ cm².
Aria totală: $A_{t} = 240 + 225 + 81 = 546$ cm².

Răspuns: $A_{t} = 546$ cm²

EXERCIȚIUL 4Volumulmediu

Un trunchi de piramidă are baze pătrate, cu latura bazei mari $a = 16$ cm, latura bazei mici $b = 6$ cm și înălțimea $h = 12$ cm. Calculează volumul.

Rezolvare pas cu pas

Ariile bazelor: $A_{1} = 256$ cm², $A_{2} = 36$ cm².
Media geometrică: $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} =$ $\sqrt{9216} =$ $96$ .
Volumul: $V =$ $\frac{12}{3} (256 + 36 + 96) =$ $4 \cdot 388 =$ $1552$ cm³.

Răspuns: $V = 1552$ cm³

EXERCIȚIUL 5Aria laterală și aria totalămediu

Un trunchi de piramidă are baze pătrate, cu latura bazei mari $a = 20$ cm, latura bazei mici $b = 10$ cm și înălțimea $h = 12$ cm. Calculează aria laterală și aria totală.

Rezolvare pas cu pas

Apotema feței: $a_{f} =$ $\sqrt{144 + 25} =$ $\sqrt{169} =$ $13$ cm (am folosit $\frac{20 - 10}{2} = 5$ ).
Perimetrele: $P_{1} = 80$ cm, $P_{2} = 40$ cm, deci $A_{l} =$ $\frac{120 \cdot 13}{2} =$ $780$ cm².
Ariile bazelor: $A_{1} = 400$ cm², $A_{2} = 100$ cm², deci $A_{t} = 780 + 400 + 100 = 1280$ cm².

Răspuns: $A_{l} = 780$ cm²; $A_{t} = 1280$ cm²

EXERCIȚIUL 6Vaza de ceramicăgreu

O vază are forma unui trunchi de piramidă cu baze pătrate: gura vazei are latura $12$ cm, baza vazei are latura $24$ cm, iar înălțimea vazei este $8$ cm. Calculează câtă ceramică e nevoie pentru toată suprafața exterioară (aria totală) și cât poate ține vaza (volumul).

Rezolvare pas cu pas

Apotema feței: $a_{f} =$ $\sqrt{64 + 36} =$ $\sqrt{100} =$ $10$ cm (am folosit $\frac{24 - 12}{2} = 6$ ).
Perimetrele: $P_{1} = 96$ cm, $P_{2} = 48$ cm, deci $A_{l} =$ $\frac{144 \cdot 10}{2} =$ $720$ cm².
Ariile bazelor: $A_{1} = 576$ cm², $A_{2} = 144$ cm², deci $A_{t} = 720 + 576 + 144 = 1440$ cm².
Media geometrică: $\sqrt{576 \cdot 144} =$ $\sqrt{82944} =$ $288$ .
Volumul: $V =$ $\frac{8}{3} (576 + 144 + 288) =$ $\frac{8}{3} \cdot 1008 =$ $2688$ cm³.

Răspuns: $A_{t} = 1440$ cm²; $V = 2688$ cm³

EXERCIȚIUL 7Drumul invers: din volum afli înălțimeagreu

Un trunchi de piramidă cu baze pătrate are ariile bazelor $A_{1} = 64$ cm² și $A_{2} = 16$ cm², iar volumul este $V = 224$ cm³. Calculează înălțimea trunchiului.

Rezolvare pas cu pas

Pornim de la formula volumului și scoatem înălțimea: $h =$ $\frac{3 V}{A_{1} + A_{2} + \sqrt{A_{1} \cdot A_{2}}}$ .
Media geometrică: $\sqrt{64 \cdot 16} =$ $\sqrt{1024} =$ $32$ .
$h =$ $\frac{3 \cdot 224}{64 + 16 + 32} =$ $\frac{672}{112} =$ $6$ cm.

Răspuns: $h = 6$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: toate formulelegreu

Un trunchi de piramidă are baze pătrate, cu latura bazei mari $a = 14$ cm, latura bazei mici $b = 8$ cm și înălțimea $h = 4$ cm. Calculează apotema feței laterale, aria laterală, aria totală și volumul.

Rezolvare pas cu pas

Apotema feței: $a_{f} =$ $\sqrt{16 + 9} =$ $\sqrt{25} =$ $5$ cm (am folosit $\frac{14 - 8}{2} = 3$ ).
Perimetrele: $P_{1} = 56$ cm, $P_{2} = 32$ cm, deci $A_{l} =$ $\frac{88 \cdot 5}{2} =$ $220$ cm².
Ariile bazelor: $A_{1} = 196$ cm², $A_{2} = 64$ cm², deci $A_{t} = 220 + 196 + 64 = 480$ cm².
Media geometrică: $\sqrt{196 \cdot 64} =$ $\sqrt{12544} =$ $112$ .
Volumul: $V =$ $\frac{4}{3} (196 + 64 + 112) =$ $\frac{4}{3} \cdot 372 =$ $496$ cm³.

Răspuns: $a_{f} = 5$ cm; $A_{l} = 220$ cm²; $A_{t} = 480$ cm²; $V = 496$ cm³

Cum recunoști un exercițiu pe trunchiul de piramidă

Enunțul dă două baze (mare și mică) și o înălțime, sau spune direct „trunchi de piramidă”.
Dacă nu ți se dă apotema feței laterale, o calculezi mereu întâi cu Pitagora, din $h$ și din jumătatea diferenței laturilor.
Formula volumului are trei termeni sub paranteză: $A_{1}$ , $A_{2}$ și $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}}$ . Dacă lipsește ultimul termen, calculul e greșit.

Greșeli frecvente la trunchiul de piramidă

Uitarea termenului $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}}$ la volum. Mulți scriu $V =$ $\frac{h}{3} (A_{1} + A_{2})$ și uită complet media geometrică a celor două arii. Formula completă este $V =$ $\frac{h}{3} (A_{1} + A_{2} + \sqrt{A_{1} \cdot A_{2}})$ ; termenul din mijloc nu este opțional.
Adunarea în loc de scădere la apotema feței. La $a_{f} =$ $\sqrt{h^{2} + {(\frac{a - b}{2})}^{2}}$ , unii elevi folosesc $\frac{a + b}{2}$ în loc de $\frac{a - b}{2}$ . Vrei distanța dintre cele două laturi, nu suma lor: distanța înseamnă mereu scădere.
Confundarea trunchiului cu piramida întreagă. Trunchiul de piramidă nu are vârf și are două baze, nu una. Dacă aplici formulele piramidei (cu o singură bază și apotema piramidei) pe un trunchi, rezultatul e greșit.

Exersează : trunchiul de piramidă

Fișă de lucru: Arii și volum, trunchi de piramidă regulată, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții cu figuri Test plane paralele și perpendiculare, clasa a VIII-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre trunchiul de piramidă

Care e diferența dintre piramidă și trunchi de piramidă?

Piramida are un vârf și o singură bază. Trunchiul de piramidă apare când tai piramida cu un plan paralel la bază: dispare vârful și apare a doua bază, mai mică. Fețele laterale nu mai sunt triunghiuri, ci trapeze.

De ce apare un radical în formula volumului?

Formula $V =$ $\frac{h}{3} (A_{1} + A_{2} + \sqrt{A_{1} \cdot A_{2}})$ vine din scăderea a două volume de piramide asemenea. Termenul $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}}$ e media geometrică a celor două arii; nu trebuie demonstrat la gimnaziu, doar aplicat corect.

Formulele funcționează și dacă bazele nu sunt pătrate?

Da, cu o singură schimbare: $P_{1}$ , $P_{2}$ , $A_{1}$ și $A_{2}$ se calculează cu formulele potrivite formei bazei (triunghi, hexagon etc.), iar apotema feței se calculează cu apotemele bazelor, nu cu $\frac{a - b}{2}$ . Vezi exemplul cu bază triunghiulară în articolul cu formulele.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. O piramidă este tăiată de un plan paralel cu baza. Secțiunea obținută față de baza piramidei este:
2. Într-o piramidă cu înălțimea $H$ , un plan paralel cu baza taie înălțimea la distanța $h$ de vârf. Dacă $k = \frac{h}{H}$ , atunci raportul dintre latura secțiunii și latura bazei este:
3. Trunchiul de piramidă se obține:
4. Trunchiul de con are drept baze:
5. Într-o piramidă cu înălțimea $H = 12$ cm, un plan paralel cu baza taie înălțimea la $h = 4$ cm de vârf. Dacă latura bazei este $a = 9$ cm, atunci latura secțiunii este:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 23 mai 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

UNGHIUL A DOUĂ DREPTE ÎN SPAȚIU drepte necoplanare, în cub și piramidă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)