UNGHIUL A DOUĂ DREPTE ÎN SPAȚIU drepte necoplanare, în cub și piramidă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 4 octombrie 2026

Ca să afli unghiul a două drepte care nu se intersectează, înlocuiești una dintre ele cu o dreaptă paralelă care o taie pe cealaltă; unghiul dintre dreptele concurente obținute este unghiul căutat. Mai jos găsești pozițiile a două drepte în spațiu, metoda în trei pași și 8 exerciții rezolvate pas cu pas în cub și piramidă, de la ușor la greu.

Pozițiile a două drepte și cum se măsoară unghiul dintre ele

În spațiu, două drepte distincte pot fi:

Dreptele

A B

și

C C^{'}

sunt necoplanare.

B B^{'} ∥ C C^{'}

, deci unghiul lor este

∠ A B B^{'}

, de

90^{\circ}

concurente: au un singur punct comun (sunt în același plan);
paralele: sunt în același plan și nu au puncte comune;
necoplanare (se mai spune că „se încrucișează”): nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă, deci nu se intersectează, dar nici nu sunt paralele.

La dreptele concurente, unghiul lor este cel mai mic dintre unghiurile formate în punctul comun. Pentru celelalte două cazuri se folosește paralelismul:

$a^{'} ∥ a,$ $a^{'} \cap b \neq \emptyset \Rightarrow$ $m (∠ (a, b)) =$ $m (∠ (a^{'}, b))$

Cu alte cuvinte, muți dreapta $a$ paralel cu ea însăși până când taie dreapta $b$ . Măsura unghiului nu depinde de paralela aleasă. Două drepte paralele formează un unghi de $0^{\circ}$ , iar unghiul a două drepte are întotdeauna cel mult $90^{\circ}$ . Dacă unghiul are $90^{\circ}$ , dreptele se numesc perpendiculare, chiar dacă nu se intersectează.

Metoda în trei pași:

alegi una dintre drepte și cauți o paralelă cu ea care taie cealaltă dreaptă: o latură opusă a unui pătrat sau dreptunghi, o diagonală a feței opuse, o linie mijlocie;
justifici paralelismul (laturi opuse ale unui paralelogram, linia mijlocie într-un triunghi, două drepte paralele cu a treia);
recunoști triunghiul în care se află unghiul: echilateral ( $60^{\circ}$ ), dreptunghic isoscel ( $45^{\circ}$ ), dreptunghic (reciproca teoremei lui Pitagora sau un raport trigonometric).

În cub, două drepte paralele cu a treia sunt paralele între ele: de exemplu $A B ∥ D C$ și $D C ∥ D^{'} C^{'}$ , deci $A B ∥ D^{'} C^{'}$ . Așa „muți” o muchie pe fața opusă.

Exerciții rezolvate : unghiul a două drepte în spațiu

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Poziția și unghiul, pentru trei perechi de drepteușor

În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , precizează poziția dreptelor și măsura unghiului dintre ele pentru perechile: a) $A D$ și $B^{'} C^{'}$ ; b) $A A^{'}$ și $C^{'} D^{'}$ ; c) $A C$ și $B^{'} D^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $A D ∥ B C$ (laturi opuse ale pătratului $A B C D$ ) și $B C ∥ B^{'} C^{'}$ (laturi opuse ale pătratului $B C C^{'} B^{'}$ ). Două drepte paralele cu a treia sunt paralele, deci $A D ∥ B^{'} C^{'}$ și unghiul lor este de $0^{\circ}$ .
b) $A A^{'}$ și $C^{'} D^{'}$ nu au puncte comune și nu sunt paralele: sunt necoplanare. Cum $A A^{'} ∥ D D^{'}$ , unghiul căutat este $∠ D D^{'} C^{'}$ , un unghi al pătratului $D C C^{'} D^{'}$ , deci $90^{\circ}$ .
c) $A C$ este în baza de jos, $B^{'} D^{'}$ în baza de sus: sunt necoplanare. $B B^{'} ∥ D D^{'}$ și $B B^{'} = D D^{'}$ , deci $B D D^{'} B^{'}$ este paralelogram și $B^{'} D^{'} ∥ B D$ .
Unghiul dintre $A C$ și $B^{'} D^{'}$ este unghiul dintre $A C$ și $B D$ . Diagonalele pătratului sunt perpendiculare, deci unghiul este de $90^{\circ}$ .

Răspuns: a) paralele, $0^{\circ}$ ; b) necoplanare, $90^{\circ}$ ; c) necoplanare, $90^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2O diagonală de față și o muchieușor

În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , calculează măsura unghiului dintre dreptele $A^{'} B$ și $D C$ .

Rezolvare pas cu pas

Dreptele $A^{'} B$ și $D C$ nu sunt în același plan, deci muți una dintre ele. $D C ∥ A B$ (laturi opuse ale pătratului $A B C D$ ), iar $A B$ taie $A^{'} B$ în $B$ .
Unghiul căutat este $∠ A^{'} B A$ .
Triunghiul $A^{'} A B$ este dreptunghic în $A$ și isoscel ( $A A^{'} = A B$ , muchii ale cubului). Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic isoscel au $45^{\circ}$ .

Răspuns: $45^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Trei diagonale de față egalemediu

În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , calculează măsura unghiului dintre dreptele $A^{'} B$ și $B^{'} D^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

$B D D^{'} B^{'}$ este paralelogram ( $B B^{'} ∥ D D^{'}$ și $B B^{'} = D D^{'}$ ), deci $B^{'} D^{'} ∥ B D$ . Unghiul căutat este unghiul dintre $A^{'} B$ și $B D$ , adică $∠ A^{'} B D$ .
Laturile triunghiului $A^{'} B D$ sunt diagonale ale unor fețe ale cubului: $A^{'} B$ (fața $A B B^{'} A^{'}$ ), $B D$ (baza), $D A^{'}$ (fața $A D D^{'} A^{'}$ ).
Fețele sunt pătrate congruente, deci $A^{'} B = B D = D A^{'}$ : triunghiul $A^{'} B D$ este echilateral.
Rezultă $m (∠ A^{'} B D) =$ $60^{\circ}$ .

Răspuns: $60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 4Un unghi aflat cu tangentamediu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $B C = 2 \sqrt{3}$ cm și $B B^{'} = 6$ cm. Calculează măsura unghiului dintre dreptele $B^{'} C$ și $A D$ .

Rezolvare pas cu pas

$A D ∥ B C$ (laturi opuse ale dreptunghiului $A B C D$ ), iar $B C$ taie $B^{'} C$ în $C$ . Unghiul căutat este $∠ B^{'} C B$ .
Fața $B C C^{'} B^{'}$ este dreptunghi, deci triunghiul $B^{'} B C$ este dreptunghic în $B$ .
$tg (∠ B^{'} C B) =$ $\frac{B B^{'}}{B C} =$ $\frac{6}{2 \sqrt{3}} =$ $\frac{3}{\sqrt{3}} =$ $\sqrt{3}$ .
Unghiul ascuțit cu tangenta $\sqrt{3}$ are $60^{\circ}$ .

Răspuns: $60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Linia mijlocie mută dreapta în altă fațămediu

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are toate muchiile de $8$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $A B$ , respectiv $V B$ . Calculează lungimea segmentului $M N$ și măsura unghiului dintre dreptele $M N$ și $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

În triunghiul $V A B$ , $M N$ unește mijloacele a două laturi, deci este linie mijlocie: $M N ∥ V A$ și $M N =$ $\frac{V A}{2} =$ $4$ cm.
Dreptele $M N$ și $A C$ sunt necoplanare. Cum $M N ∥ V A$ și $V A$ taie $A C$ în $A$ , unghiul căutat este $∠ V A C$ .
Toate muchiile sunt egale, deci fața $V A C$ este triunghi echilateral și $m (∠ V A C) =$ $60^{\circ}$ .

Răspuns: $M N = 4$ cm, unghiul are $60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 6Piramida cu toate muchiile egalemediu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are toate muchiile de $10$ cm. a) Calculează măsura unghiului dintre dreptele $V A$ și $B C$ . b) Calculează măsura unghiului dintre dreptele $V A$ și $V C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $V A$ și $B C$ sunt necoplanare. $B C ∥ A D$ (laturi opuse ale pătratului), deci unghiul căutat este $∠ V A D$ .
Triunghiul $V A D$ are toate laturile de $10$ cm, deci este echilateral: $m (∠ V A D) =$ $60^{\circ}$ .
b) $V A$ și $V C$ sunt concurente în $V$ ; lucrezi în triunghiul $V A C$ . Diagonala pătratului: $A C = 10 \sqrt{2}$ cm, deci $A C^{2} = 200$ .
$V A^{2} + V C^{2} =$ $100 + 100 =$ $200 =$ $A C^{2}$ . Din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul $V A C$ este dreptunghic în $V$ , deci unghiul are $90^{\circ}$ .

Răspuns: a) $60^{\circ}$ ; b) $90^{\circ}$ , deci $V A ⟂ V C$

EXERCIȚIUL 7Un unghi care nu este din tabelgreu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei de $6$ cm și muchia laterală de $5$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $V B$ , respectiv $V C$ , iar $P$ este mijlocul lui $A D$ . a) Calculează $M N$ . b) Calculează cosinusul unghiului dintre dreptele $M N$ și $V A$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $M N$ este linie mijlocie în triunghiul $V B C$ : $M N ∥ B C$ și $M N =$ $\frac{6}{2} =$ $3$ cm.
b) $M N ∥ B C$ și $B C ∥ A D$ , deci $M N ∥ A D$ . $A D$ taie $V A$ în $A$ , așa că unghiul căutat este $∠ V A D$ .
Triunghiul $V A D$ este isoscel ( $V A = V D = 5$ cm), deci mediana $V P$ este și înălțime: triunghiul $V P A$ este dreptunghic în $P$ , cu $A P = 3$ cm.
$\cos (∠ V A D) =$ $\frac{A P}{V A} =$ $\frac{3}{5}$ . Verificare: $V P^{2} = 25 - 9 = 16$ , $V P = 4$ cm, deci triunghiul $V P A$ are laturile $3$ , $4$ , $5$ .
Unghiul nu este de $30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ sau $60^{\circ}$ , de aceea se cere o funcție trigonometrică a lui, nu măsura.

Răspuns: a) $M N = 3$ cm; b) $\cos = \frac{3}{5}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: triunghiul AB'C din cubgreu

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de $6$ cm. a) Arată că dreptele $A^{'} C^{'}$ și $A C$ sunt paralele. b) Calculează perimetrul triunghiului $A B^{'} C$ . c) Determină măsura unghiului dintre dreptele $A^{'} C^{'}$ și $B^{'} C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $A A^{'} ∥ C C^{'}$ și $A A^{'} = C C^{'}$ (muchii laterale ale cubului), deci patrulaterul $A C C^{'} A^{'}$ este paralelogram (de fapt dreptunghi). Laturile lui opuse sunt paralele: $A^{'} C^{'} ∥ A C$ .
b) $A C$ , $A B^{'}$ și $B^{'} C$ sunt diagonale ale unor fețe pătrate cu latura $6$ cm, deci fiecare are $6 \sqrt{2}$ cm.
Perimetrul triunghiului $A B^{'} C$ este $3 \cdot 6 \sqrt{2} =$ $18 \sqrt{2}$ cm.
c) $A^{'} C^{'}$ și $B^{'} C$ sunt necoplanare. Cum $A^{'} C^{'} ∥ A C$ , unghiul căutat este $∠ A C B^{'}$ .
Triunghiul $A B^{'} C$ are toate laturile egale, deci este echilateral și $m (∠ A C B^{'}) =$ $60^{\circ}$ .

Răspuns: a) $A^{'} C^{'} ∥ A C$ ; b) $18 \sqrt{2}$ cm; c) $60^{\circ}$

Cum alegi paralela potrivită

Dacă una dintre drepte este o muchie a cubului sau a paralelipipedului, o înlocuiești cu muchia paralelă care pleacă dintr-un punct al celeilalte drepte (laturi opuse ale unei fețe).
Dacă una dintre drepte este o diagonală de față, o înlocuiești cu diagonala paralelă de pe fața opusă: $B^{'} D^{'} ∥ B D$ , $A^{'} C^{'} ∥ A C$ , $A B^{'} ∥ D C^{'}$ .
Dacă apar mijloace de muchii, caută o linie mijlocie: ea este paralelă cu a treia latură a triunghiului și are jumătate din lungimea ei.

Greșeli frecvente la unghiul a două drepte în spațiu

Dai ca răspuns un unghi obtuz. Unghiul a două drepte are cel mult $90^{\circ}$ . Dacă triunghiul în care lucrezi îți dă, de exemplu, $120^{\circ}$ , răspunsul este suplementul lui, $60^{\circ}$ .
Măsori unghiul „de pe desen” între două drepte care nu se taie. Pe figură, două drepte necoplanare par uneori că se intersectează. Punctul acela nu există în spațiu: trebuie să muți una dintre drepte printr-o paralelă justificată.
Crezi că două drepte care nu se intersectează sunt paralele. În spațiu, dreptele fără puncte comune pot fi paralele sau necoplanare. $A A^{'}$ și $C^{'} D^{'}$ din cub nu se taie, dar nu sunt paralele: formează un unghi de $90^{\circ}$ .

Exersează : unghiul a două drepte în spațiu

Fișă de lucru: Paralelism, unghiul a două drepte în spațiu, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Geometrie în spațiu, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Unghiul a două drepte în spațiu, partea a II-aclasa a VIII-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre unghiul a două drepte în spațiu

Ce sunt dreptele necoplanare?

Sunt două drepte pentru care nu există un plan care să le conțină pe amândouă. Nu se intersectează și nici nu sunt paralele. În cub, de exemplu, muchia $A B$ și muchia $C C^{'}$ .

Cât poate avea unghiul a două drepte în spațiu?

Între $0^{\circ}$ și $90^{\circ}$ . Dreptele paralele formează un unghi de $0^{\circ}$ , iar dreptele care formează un unghi de $90^{\circ}$ sunt perpendiculare, chiar dacă nu au un punct comun.

Contează pe care dintre cele două drepte o mut?

Nu, rezultatul este același. Alege dreapta pentru care găsești cel mai ușor o paralelă care o taie pe cealaltă și care formează un triunghi cunoscut: echilateral, dreptunghic isoscel sau dreptunghic cu laturi date.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Două drepte din spațiu sunt paralele dacă și numai dacă:
2. Dacă dreapta $d_{1}$ este paralelă cu dreapta $d_{2}$ și dreapta $d_{2}$ este paralelă cu dreapta $d_{3}$ , atunci:
3. Unghiul a două drepte încrucișate (metrice) în spațiu se determină prin:
4. Unghiul a două drepte în spațiu este întotdeauna cuprins în intervalul:
5. Două drepte din spațiu care nu sunt coplanare și nu au niciun punct comun se numesc:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 4 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

CILINDRUL CIRCULAR DREPT: arie laterală, arie totală și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)