ÎNMULȚIREA ȘI ÎMPĂRȚIREA NUMERELOR REALE cu radicali, coeficienți și semne - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 14 octombrie 2026

Ca să înmulțești două numere reale cu radicali, stabilești semnul, apoi înmulțești coeficienții între ei și numerele de sub radical între ele: $(- 2 \sqrt{7}) \cdot 3 \sqrt{2} =$ $- 6 \sqrt{14}$ . La împărțire faci la fel, cu împărțiri. Mai jos găsești regulile, distributivitatea, produsul a două paranteze și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Regulile de înmulțire și împărțire cu numere reale

Numerele reale se înmulțesc și se împart după aceleași reguli ca numerele raționale. Ce apare nou sunt radicalii, pe care îi tratezi cu regulile de calcul cu radicali (pentru $a, b \geq 0$ , respectiv $b > 0$ la împărțire).

1. Semnul. Semne egale dau plus, semne diferite dau minus: $(- \sqrt{3}) \cdot \sqrt{5} =$ $- \sqrt{15}$ , iar $(- \sqrt{2}) \cdot (- \sqrt{7}) =$ $\sqrt{14}$ . Stabilești semnul primul, ca să nu-l pierzi pe drum.

2. Produsul și câtul radicalilor. Radicalii se înmulțesc și se împart „sub același radical”:

$a \sqrt{b} \cdot c \sqrt{d} =$ $(a \cdot c) \sqrt{b \cdot d}$

La împărțire, cu $c \neq 0$ și $d > 0$ : $a \sqrt{b} : c \sqrt{d} =$ $(a : c) \sqrt{b : d}$ . De exemplu, $10 \sqrt{15} : 5 \sqrt{3} =$ $2 \sqrt{5}$ . Numerele din fața radicalilor (coeficienții) se înmulțesc sau se împart între ele, iar numerele de sub radical între ele.

3. Simplifici la final. După înmulțire, verifici dacă sub radical a apărut un pătrat perfect pe care îl poți scoate: $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} =$ $\sqrt{16} =$ $4$ , iar $\sqrt{60} =$ $\sqrt{4 \cdot 15} =$ $2 \sqrt{15}$ . Orice radical înmulțit cu el însuși dă numărul de sub radical: $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} =$ $6$ .

4. Proprietățile înmulțirii rămân valabile: este comutativă și asociativă, $1$ este element neutru, iar orice număr real nenul are un invers. Cea mai folosită este distributivitatea față de adunare și scădere: $a (b + c) = a b + a c$ . Cu ea înmulțești un număr cu o paranteză, termen cu termen.

5. Produsul a două paranteze. Aplici distributivitatea de două ori: fiecare termen din prima paranteză înmulțește fiecare termen din a doua, apoi reduci termenii asemenea.

$(a + b) (c + d) =$ $a c + a d + b c + b d$

6. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa ei, ca la numerele raționale. Împărțirea la $0$ nu are sens.

Atenție: regulile de la punctul 2 sunt pentru înmulțire și împărțire. La adunare nu se adună numerele de sub radical: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ nu este $\sqrt{5}$ .

Exerciții rezolvate : înmulțirea și împărțirea numerelor reale

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Întâi semnul, apoi radicaliiușor

Calculează: a) $(- \sqrt{3}) \cdot \sqrt{5}$ ; b) $(- 2 \sqrt{7}) \cdot (- 3 \sqrt{2})$ ; c) $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Semne diferite, deci rezultatul este negativ. Radicalii: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} =$ $\sqrt{15}$ . Rezultatul: $- \sqrt{15}$ .
b) Semne egale, deci rezultatul este pozitiv. Coeficienții: $2 \cdot 3 = 6$ . Radicalii: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{2} =$ $\sqrt{14}$ . Rezultatul: $6 \sqrt{14}$ .
c) $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} =$ $\sqrt{36} =$ $6$ . Un radical înmulțit cu el însuși dă numărul de sub radical.

Răspuns: a) $- \sqrt{15}$ ; b) $6 \sqrt{14}$ ; c) $6$

EXERCIȚIUL 2Produse care dau numere naturaleușor

Calculează: a) $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}$ ; b) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$ ; c) $\sqrt{0,2} \cdot \sqrt{20}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} =$ $\sqrt{16} =$ $4$ .
b) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} =$ $\sqrt{81} =$ $9$ .
c) Înmulțești numerele de sub radical: $0,2 \cdot 20 = 4$ , deci $\sqrt{0,2} \cdot \sqrt{20} =$ $\sqrt{4} =$ $2$ .
Doi radicali iraționali pot avea un produs natural. Asta se întâmplă când produsul numerelor de sub radical este pătrat perfect.

Răspuns: a) $4$ ; b) $9$ ; c) $2$

EXERCIȚIUL 3Câtul a doi radicali, cu coeficiențiușor

Calculează: a) $\sqrt{72} : \sqrt{2}$ ; b) $(- 10 \sqrt{15}) : 5 \sqrt{3}$ ; c) $3 \sqrt{14} : (- \sqrt{7})$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Împarți numerele de sub radical: $72 : 2 = 36$ , deci $\sqrt{72} : \sqrt{2} =$ $\sqrt{36} =$ $6$ .
b) Semne diferite, deci câtul este negativ. Coeficienții: $10 : 5 = 2$ . Radicalii: $\sqrt{15} : \sqrt{3} =$ $\sqrt{5}$ . Rezultatul: $- 2 \sqrt{5}$ .
c) Semne diferite, deci câtul este negativ. $- \sqrt{7}$ are coeficientul $1$ : $3 : 1 = 3$ și $\sqrt{14} : \sqrt{7} =$ $\sqrt{2}$ . Rezultatul: $- 3 \sqrt{2}$ .

Răspuns: a) $6$ ; b) $- 2 \sqrt{5}$ ; c) $- 3 \sqrt{2}$

EXERCIȚIUL 4Simplifici după înmulțiremediu

Calculează și scrie rezultatul cât mai simplu: a) $2 \sqrt{6} \cdot 3 \sqrt{10}$ ; b) $\sqrt{12} \cdot \sqrt{18}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Coeficienții: $2 \cdot 3 = 6$ . Radicalii: $\sqrt{6} \cdot \sqrt{10} =$ $\sqrt{60}$ . Deci produsul este $6 \sqrt{60}$ .
$60 = 4 \cdot 15$ , iar $4$ este pătrat perfect: $\sqrt{60} =$ $2 \sqrt{15}$ . Rezultatul: $6 \cdot 2 \sqrt{15} =$ $12 \sqrt{15}$ .
b) Drumul 1: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{18} =$ $\sqrt{216}$ , iar $216 = 36 \cdot 6$ , deci $\sqrt{216} =$ $6 \sqrt{6}$ .
Drumul 2, cu numere mai mici: scoți întâi factorii, $\sqrt{12} =$ $2 \sqrt{3}$ și $\sqrt{18} =$ $3 \sqrt{2}$ . Apoi $2 \sqrt{3} \cdot 3 \sqrt{2} =$ $6 \sqrt{6}$ . Același rezultat.

Răspuns: a) $12 \sqrt{15}$ ; b) $6 \sqrt{6}$

EXERCIȚIUL 5Distributivitatea cu radicalimediu

Calculează: a) $\sqrt{5} \cdot (\sqrt{20} - \sqrt{5})$ ; b) $- \sqrt{2} \cdot (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Înmulțești $\sqrt{5}$ cu fiecare termen din paranteză: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$ .
$\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} =$ $\sqrt{100} =$ $10$ și $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} =$ $5$ . Rezultatul: $10 - 5 = 5$ .
b) Factorul din fața parantezei este negativ, deci schimbă semnul fiecărui termen: $- \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} +$ $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}$ .
$- \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} =$ $- 3 \cdot 2 =$ $- 6$ și $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} =$ $\sqrt{12} =$ $2 \sqrt{3}$ . Rezultatul: $- 6 + 2 \sqrt{3}$ .

Răspuns: a) $5$ ; b) $- 6 + 2 \sqrt{3}$

EXERCIȚIUL 6Produsul a două parantezemediu

Calculează: a) $(\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} - 1)$ ; b) $(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Fiecare termen din prima paranteză înmulțește fiecare termen din a doua: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 +$ $2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot 1$ .
Calculezi: $3 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2$ . Reduci termenii asemenea: $3 - 2 = 1$ și $- \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} =$ $\sqrt{3}$ . Rezultatul: $1 + \sqrt{3}$ .
b) La fel: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} +$ $\sqrt{5} - \sqrt{5} - 1 =$ $5 - 1 =$ $4$ .
La b) termenii cu radical s-au anulat, pentru că parantezele diferă doar prin semnul lui $1$ . De aceea produsul este un număr natural.

Răspuns: a) $1 + \sqrt{3}$ ; b) $4$

EXERCIȚIUL 7Tip Evaluare Națională: produsul a două numere realegreu

Se consideră numerele $a =$ $3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} : \sqrt{3}$ și $b =$ $(\sqrt{75} - \sqrt{27}) : \sqrt{3}$ . Arată că $a \cdot b$ este număr natural.

Rezolvare pas cu pas

Calculezi $a$ de la stânga la dreapta: $3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} =$ $3 \sqrt{12}$ , iar $\sqrt{12} =$ $2 \sqrt{3}$ , deci $3 \sqrt{12} =$ $6 \sqrt{3}$ .
Apoi $6 \sqrt{3} : \sqrt{3} =$ $6$ . Deci $a = 6$ .
Pentru $b$ , întâi paranteza: $\sqrt{75} =$ $5 \sqrt{3}$ și $\sqrt{27} =$ $3 \sqrt{3}$ , deci $\sqrt{75} - \sqrt{27} =$ $2 \sqrt{3}$ .
Apoi $2 \sqrt{3} : \sqrt{3} =$ $2$ . Deci $b = 2$ .
$a \cdot b =$ $6 \cdot 2 =$ $12$ , număr natural.

Răspuns: $a = 6$ , $b = 2$ , $a \cdot b =$ $12 \in ℕ$

EXERCIȚIUL 8Împărțirea la o fracție cu radicalgreu

a) Calculează $\frac{2 \sqrt{5}}{3} : \frac{\sqrt{5}}{6}$ . b) Calculează $(- \frac{\sqrt{12}}{5}) \cdot \frac{10}{\sqrt{3}}$ . c) Află numărul real $x$ pentru care $x \cdot \sqrt{2} =$ $\sqrt{18}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Împărțirea la o fracție este înmulțirea cu inversa ei: $\frac{2 \sqrt{5}}{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{5}}$ .
Simplifici $\sqrt{5}$ cu $\sqrt{5}$ și $6$ cu $3$ : rămâne $2 \cdot 2 = 4$ .
b) Semne diferite, deci rezultatul este negativ. Înmulțești numărătorii și numitorii: $\frac{10 \sqrt{12}}{5 \sqrt{3}}$ .
$10 : 5 = 2$ și $\sqrt{12} : \sqrt{3} =$ $\sqrt{4} =$ $2$ . Rezultatul: $- 2 \cdot 2 = - 4$ .
c) Factorul necunoscut se află împărțind produsul la factorul cunoscut: $x =$ $\sqrt{18} : \sqrt{2} =$ $\sqrt{9} =$ $3$ .

Răspuns: a) $4$ ; b) $- 4$ ; c) $x = 3$

Cum recunoști ce regulă aplici

Ai un produs sau un cât de radicali, cu sau fără coeficienți? Stabilești semnul, apoi lucrezi separat cu coeficienții și separat cu numerele de sub radical.
Un număr stă în fața unei paranteze care conține o sumă sau o diferență? Aplici distributivitatea și înmulțești termen cu termen.
Ai două paranteze înmulțite? Înmulțești fiecare termen din prima cu fiecare termen din a doua și reduci la final termenii asemenea.

Greșeli frecvente la înmulțirea și împărțirea numerelor reale

Înmulțești coeficientul cu numărul de sub radical. $2 \sqrt{6} \cdot 3 \sqrt{10}$ nu este $\sqrt{2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 10}$ . Coeficienții rămân în afara radicalului: $6 \sqrt{60} =$ $12 \sqrt{15}$ .
Uiți semnul la distributivitate. În $- \sqrt{2} \cdot (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})$ , minusul din față înmulțește ambii termeni, deci al doilea devine $+ \sqrt{12}$ , nu $- \sqrt{12}$ .
Lași rezultatul nesimplificat. $\sqrt{216}$ este corect, dar nu este forma finală. Scoți factorii de sub radical: $\sqrt{216} =$ $6 \sqrt{6}$ . La teste, forma nesimplificată poate pierde puncte.

Exersează : înmulțirea și împărțirea numerelor reale

Fișă de lucru: Înmulțirea și împărțirea numerelor reale, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Radicali, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Înmulțirea și împărțirea numerelor reale, partea 2clasa a VII-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre înmulțirea și împărțirea numerelor reale

Pot înmulți un radical cu un număr fără radical?

Da. Numărul se pune în fața radicalului, ca un coeficient: $4 \cdot \sqrt{3} =$ $4 \sqrt{3}$ . Nu îl bagi sub radical, decât dacă vrei să introduci factorul, și atunci intră ridicat la pătrat: $4 \sqrt{3} =$ $\sqrt{48}$ .

Ce fac dacă după împărțire îmi rămâne un radical la numitor?

Exercițiile din această lecție sunt alese astfel încât radicalii să se simplifice. Când nu se simplifică, ca în $\frac{6}{\sqrt{5}}$ , aplici raționalizarea numitorului, pe care o înveți câteva lecții mai târziu.

Are și un număr cu radical un invers?

Da, orice număr real diferit de $0$ are un invers, iar produsul lor este $1$ . Inversul lui $\frac{\sqrt{5}}{6}$ este $\frac{6}{\sqrt{5}}$ , pentru că $\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} =$ $1$ . Doar $0$ nu are invers.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este rezultatul înmulțirii $(- 3) \cdot (- 5)$ ?
2. Cât este $(- 4) \cdot 7$ ?
3. Care este rezultatul împărțirii $(- 36) : (- 9)$ ?
4. Calculează $\frac{2}{3} \cdot (- \frac{3}{4})$ .
5. Care este rezultatul expresiei $(- 2) \cdot 3 \cdot (- 1) \cdot (- 4)$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 14 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

RADICAL DIN 72 descompus în factori - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR REALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

RIDICAREA LA PUTERE A NUMERELOR REALE puteri de radicali și exponent întreg - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

ORDINEA EFECTUĂRII OPERAȚIILOR CU NUMERE REALE radicali, puteri și module - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

RAȚIONALIZAREA NUMITORULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună