RIDICAREA LA PUTERE A NUMERELOR REALE puteri de radicali și exponent întreg - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 14 octombrie 2026

La puterile unui radical folosești ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ : la exponent par radicalul dispare, la exponent impar rămâne un radical, de exemplu ${(\sqrt{2})}^{6} = 8$ și ${(\sqrt{2})}^{5} =$ $4 \sqrt{2}$ . Mai jos găsești regulile pentru exponent întreg, semnul puterii și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Puterile unui număr real: reguli și cazuri

Pentru un număr real $a$ și un număr natural $n \geq 2$ , $a^{n}$ este produsul a $n$ factori egali cu $a$ . Prin convenție, $a^{1} = a$ și, pentru $a \neq 0$ , $a^{0} = 1$ . Totul este ca la numerele raționale; ce se schimbă este că baza poate fi un radical.

1. Puterile unui radical. Pornești de la definiția radicalului, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} =$ $a$ pentru $a \geq 0$ :

${(\sqrt{a})}^{2} =$ $a$

exponent par: grupezi factorii câte doi și radicalul dispare: ${(\sqrt{5})}^{4} =$ ${(\sqrt{5})}^{2} \cdot {(\sqrt{5})}^{2} =$ $5 \cdot 5 =$ $25$ ;
exponent impar: după ce grupezi câte doi, rămâne un singur radical: ${(\sqrt{3})}^{3} =$ ${(\sqrt{3})}^{2} \cdot \sqrt{3} =$ $3 \sqrt{3}$ .

2. Semnul puterii. O bază negativă la exponent par dă un rezultat pozitiv, iar la exponent impar un rezultat negativ: ${(- \sqrt{5})}^{2} = 5$ , dar ${(- \sqrt{5})}^{3} =$ $- 5 \sqrt{5}$ . Fără paranteză, minusul nu face parte din bază: $- {(\sqrt{5})}^{2} = - 5$ .

3. Puterea unui produs și a unui cât. Ridici la putere fiecare factor: ${(2 \sqrt{3})}^{2} =$ $2^{2} \cdot {(\sqrt{3})}^{2} =$ $4 \cdot 3 =$ $12$ , iar ${(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} =$ $\frac{6}{4} =$ $\frac{3}{2}$ .

4. Exponentul negativ. Pentru $a \neq 0$ și $n$ natural, puterea cu exponent negativ este inversul puterii cu exponent pozitiv:

$a^{- n} =$ $\frac{1}{a^{n}}$

De exemplu, ${(\sqrt{5})}^{- 2} =$ $\frac{1}{{(\sqrt{5})}^{2}} =$ $\frac{1}{5}$ . La o fracție, exponentul negativ o răstoarnă: ${(\frac{a}{b})}^{- n} =$ ${(\frac{b}{a})}^{n}$ .

5. Regulile de calcul cu puteri rămân aceleași pentru exponenți întregi: $a^{m} \cdot a^{n} =$ $a^{m + n}$ , $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ , ${(a^{m})}^{n} =$ $a^{m \cdot n}$ . Ele te scutesc de calcule lungi, mai ales când aduci mai multe numere la aceeași bază.

Exerciții rezolvate : ridicarea la putere a numerelor reale

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Radical la exponent parușor

Calculează: a) ${(\sqrt{7})}^{2}$ ; b) ${(\sqrt{5})}^{4}$ ; c) ${(\sqrt{2})}^{6}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Din definiția radicalului: ${(\sqrt{7})}^{2} = 7$ .
b) Grupezi factorii câte doi: ${(\sqrt{5})}^{4} =$ ${(\sqrt{5})}^{2} \cdot {(\sqrt{5})}^{2} =$ $5 \cdot 5 =$ $25$ .
c) Trei perechi: ${(\sqrt{2})}^{6} =$ $2 \cdot 2 \cdot 2 =$ $2^{3} =$ $8$ . În general, ${(\sqrt{a})}^{2 k} =$ $a^{k}$ .

Răspuns: a) $7$ ; b) $25$ ; c) $8$

EXERCIȚIUL 2Radical la exponent imparușor

Calculează: a) ${(\sqrt{3})}^{3}$ ; b) ${(\sqrt{2})}^{5}$ ; c) ${(- \sqrt{5})}^{3}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Pui deoparte un factor: ${(\sqrt{3})}^{3} =$ ${(\sqrt{3})}^{2} \cdot \sqrt{3} =$ $3 \sqrt{3}$ .
b) ${(\sqrt{2})}^{5} =$ ${(\sqrt{2})}^{4} \cdot \sqrt{2} =$ $4 \sqrt{2}$ .
c) Baza este negativă, iar exponentul $3$ este impar, deci rezultatul este negativ: ${(- \sqrt{5})}^{3} =$ $- {(\sqrt{5})}^{3} =$ $- 5 \sqrt{5}$ .

Răspuns: a) $3 \sqrt{3}$ ; b) $4 \sqrt{2}$ ; c) $- 5 \sqrt{5}$

EXERCIȚIUL 3Puterea unui produs cu radicalușor

Calculează: a) ${(2 \sqrt{3})}^{2}$ ; b) ${(- 3 \sqrt{2})}^{2}$ ; c) ${(\sqrt{2} \cdot \sqrt{5})}^{4}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Ridici la pătrat fiecare factor: $2^{2} \cdot {(\sqrt{3})}^{2} =$ $4 \cdot 3 =$ $12$ .
b) Exponentul este par, deci rezultatul este pozitiv: ${(- 3)}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2} =$ $9 \cdot 2 =$ $18$ .
c) Întâi produsul din paranteză: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} =$ $\sqrt{10}$ . Apoi ${(\sqrt{10})}^{4} =$ $10^{2} =$ $100$ .

Răspuns: a) $12$ ; b) $18$ ; c) $100$

EXERCIȚIUL 4Exponent negativ și exponent zeromediu

Calculează: a) ${(\sqrt{5})}^{- 2}$ ; b) ${(2 \sqrt{2})}^{- 2}$ ; c) ${(- \sqrt{3})}^{- 4}$ ; d) ${(\sqrt{7})}^{0}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Exponentul negativ înseamnă inversul: ${(\sqrt{5})}^{- 2} =$ $\frac{1}{{(\sqrt{5})}^{2}} =$ $\frac{1}{5}$ .
b) ${(2 \sqrt{2})}^{2} =$ $4 \cdot 2 =$ $8$ , deci ${(2 \sqrt{2})}^{- 2} =$ $\frac{1}{8}$ .
c) Exponentul $- 4$ este par, deci semnul bazei nu contează: ${(- \sqrt{3})}^{4} = 9$ , iar ${(- \sqrt{3})}^{- 4} =$ $\frac{1}{9}$ .
d) Orice număr real nenul la puterea $0$ este $1$ : ${(\sqrt{7})}^{0} = 1$ .

Răspuns: a) $\frac{1}{5}$ ; b) $\frac{1}{8}$ ; c) $\frac{1}{9}$ ; d) $1$

EXERCIȚIUL 5Regulile de calcul cu puteri, cu baza radicalmediu

Calculează folosind regulile de calcul cu puteri: a) ${(\sqrt{3})}^{5} \cdot {(\sqrt{3})}^{3}$ ; b) ${(\sqrt{2})}^{11} : {(\sqrt{2})}^{7}$ ; c) ${({(\sqrt{5})}^{2})}^{3}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Aceeași bază, deci aduni exponenții: ${(\sqrt{3})}^{5 + 3} =$ ${(\sqrt{3})}^{8} =$ $3^{4} =$ $81$ .
b) Scazi exponenții: ${(\sqrt{2})}^{11 - 7} =$ ${(\sqrt{2})}^{4} =$ $4$ . Nu mai calculezi separat ${(\sqrt{2})}^{11}$ .
c) Putere la putere: înmulțești exponenții, ${(\sqrt{5})}^{6} =$ $5^{3} =$ $125$ . Sau, mai scurt, ${(\sqrt{5})}^{2} = 5$ și $5^{3} = 125$ .

Răspuns: a) $81$ ; b) $4$ ; c) $125$

EXERCIȚIUL 6Fracții cu radical ridicate la puteremediu

Calculează: a) ${(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$ ; b) ${(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{- 2}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Ridici la pătrat numărătorul și numitorul: $\frac{{(\sqrt{6})}^{2}}{2^{2}} =$ $\frac{6}{4} =$ $\frac{3}{2}$ .
b) Exponentul negativ răstoarnă fracția: ${(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{- 2} =$ ${(\frac{5}{\sqrt{10}})}^{2}$ .
Ridici la pătrat: $\frac{5^{2}}{{(\sqrt{10})}^{2}} =$ $\frac{25}{10} =$ $\frac{5}{2}$ . Radicalul de la numitor a dispărut prin ridicarea la pătrat.

Răspuns: a) $\frac{3}{2}$ ; b) $\frac{5}{2}$

EXERCIȚIUL 7Aduci totul la baza √2greu

Scrie ca o putere a lui $\sqrt{2}$ și apoi calculează: $4 \cdot {(\sqrt{2})}^{3} \cdot 2^{- 1}$ .

Rezolvare pas cu pas

Scrii fiecare factor ca putere a lui $\sqrt{2}$ . Cum ${(\sqrt{2})}^{2} = 2$ , ai $4 =$ $2^{2} =$ ${(\sqrt{2})}^{4}$ .
$2^{- 1} =$ ${({(\sqrt{2})}^{2})}^{- 1} =$ ${(\sqrt{2})}^{- 2}$ .
Produsul devine ${(\sqrt{2})}^{4} \cdot {(\sqrt{2})}^{3} \cdot {(\sqrt{2})}^{- 2} =$ ${(\sqrt{2})}^{4 + 3 - 2} =$ ${(\sqrt{2})}^{5}$ .
Calculezi: ${(\sqrt{2})}^{5} =$ $4 \sqrt{2}$ . Verificare pe drumul direct: $4 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} =$ $4 \sqrt{2}$ .

Răspuns: ${(\sqrt{2})}^{5} =$ $4 \sqrt{2}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: compari puteri și arăți că un număr e naturalgreu

a) Compară ${(\sqrt{2})}^{10}$ cu ${(\sqrt{3})}^{6}$ și ${(\sqrt{5})}^{- 2}$ cu ${(\sqrt{2})}^{- 4}$ . b) Arată că numărul $a =$ ${(\sqrt{3})}^{6} - {(\sqrt{2})}^{8} +$ ${(2 \sqrt{2})}^{- 2} \cdot 8$ este natural.

Rezolvare pas cu pas

a) ${(\sqrt{2})}^{10} =$ $2^{5} =$ $32$ și ${(\sqrt{3})}^{6} =$ $3^{3} =$ $27$ . Cum $32 > 27$ , ${(\sqrt{2})}^{10} > {(\sqrt{3})}^{6}$ .
${(\sqrt{5})}^{- 2} =$ $\frac{1}{5}$ și ${(\sqrt{2})}^{- 4} =$ $\frac{1}{4}$ . Fracțiile au același numărător, iar $5 > 4$ , deci $\frac{1}{5} < \frac{1}{4}$ .
b) Calculezi fiecare putere: ${(\sqrt{3})}^{6} = 27$ , ${(\sqrt{2})}^{8} =$ $2^{4} =$ $16$ și ${(2 \sqrt{2})}^{- 2} =$ $\frac{1}{8}$ .
Înmulțirea are prioritate: $\frac{1}{8} \cdot 8 =$ $1$ . Apoi $a = 27 - 16 + 1 = 12$ , număr natural.

Răspuns: a) ${(\sqrt{2})}^{10} > {(\sqrt{3})}^{6}$ ; ${(\sqrt{5})}^{- 2} < {(\sqrt{2})}^{- 4}$ ; b) $a = 12$

Cum recunoști ce caz de putere ai

Baza este un radical? Te uiți la exponent: dacă e par, radicalul dispare; dacă e impar, rămâne un radical înmulțit cu un număr.
Exponentul este negativ? Inversezi baza (sau răstorni fracția) și continui cu exponentul pozitiv.
Ai produse sau câturi de puteri cu aceeași bază, sau numere care se pot scrie ca puteri ale aceluiași radical? Folosești regulile de calcul cu puteri înainte să calculezi.

Greșeli frecvente la ridicarea la putere a numerelor reale

Crezi că exponentul negativ face rezultatul negativ. ${(\sqrt{5})}^{- 2} =$ $\frac{1}{5}$ , nu $- 5$ . Exponentul negativ inversează baza, nu schimbă semnul.
Pierzi radicalul la exponent impar. ${(\sqrt{2})}^{5}$ nu este $2^{5}$ și nici $4$ . După ce grupezi patru factori, rămâne un $\sqrt{2}$ : rezultatul este $4 \sqrt{2}$ .
Ridici la putere doar o parte din produs. ${(2 \sqrt{3})}^{2}$ nu este $2 \cdot 3 = 6$ . Și coeficientul se ridică la pătrat: $4 \cdot 3 = 12$ .

Exersează : ridicarea la putere a numerelor reale

Fișă de lucru: Ridicarea la putere a numerelor reale, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Radicali, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Ridicarea la putere a numerelor reale, ordinea efectuării operațiilorclasa a VII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre ridicarea la putere a numerelor reale

Cât face

{(\sqrt{3})}^{- 1}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ , adică inversul lui $\sqrt{3}$ . Forma fără radical la numitor o obții prin raționalizarea numitorului, care vine imediat după lecțiile despre puteri.

De ce

{(\sqrt{a})}^{2} = a

, dar nu pot scrie mereu

\sqrt{a^{2}} = a

În prima, $\sqrt{a}$ există doar pentru $a \geq 0$ , deci egalitatea este mereu adevărată. În a doua, sub radical poate sta și pătratul unui număr negativ: $\sqrt{{(- 3)}^{2}} =$ $\sqrt{9} =$ $3$ , nu $- 3$ . Pentru $a < 0$ , rezultatul este opusul lui $a$ .

Cât face

0

la o putere negativă?

Nu are sens. $0^{- 2}$ ar însemna $\frac{1}{0^{2}} =$ $\frac{1}{0}$ , iar împărțirea la $0$ nu există. De aceea regula $a^{- n} =$ $\frac{1}{a^{n}}$ se scrie cu condiția $a \neq 0$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este valoarea expresiei $2^{- 3}$ ?
2. Care este valoarea expresiei ${(- 3)}^{4}$ ?
3. Care este valoarea expresiei ${(- 2)}^{- 3}$ ?
4. Calculează $5^{0}$ .
5. Care dintre următoarele egalități este adevărată?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 14 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR REALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

ÎNMULȚIREA ȘI ÎMPĂRȚIREA NUMERELOR REALE cu radicali, coeficienți și semne - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

ORDINEA EFECTUĂRII OPERAȚIILOR CU NUMERE REALE radicali, puteri și module - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

RAȚIONALIZAREA NUMITORULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

ECUAȚII DE GRADUL 2 INCOMPLETE fără discriminant - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 1: Numere reale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună