REGULI DE CALCUL CU PUTERI pentru produs, cât și putere la putere - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 28 septembrie 2026

Când înmulțești puteri cu aceeași bază, păstrezi baza și aduni exponenții: $a^{m} \cdot a^{n} =$ $a^{m + n}$ . La împărțire scazi exponenții, iar la putere la putere îi înmulțești. Mai jos găsești toate regulile de calcul cu puteri și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cele șase reguli de calcul cu puteri

Regulile de mai jos te scapă de calcule lungi. În loc să scrii toți factorii unul după altul, lucrezi doar cu exponenții. Peste tot, $a$ , $b$ , $m$ și $n$ sunt numere naturale.

1. Înmulțirea puterilor cu aceeași bază. Baza rămâne aceeași, exponenții se adună:

$a^{m} \cdot a^{n} =$ $a^{m + n}$

De ce: $2^{3} \cdot 2^{4}$ înseamnă 3 factori de 2 înmulțiți cu încă 4 factori de 2, adică 7 factori de 2 în total. Deci $2^{3} \cdot 2^{4} =$ $2^{7} =$ $128$ .

2. Împărțirea puterilor cu aceeași bază. Baza rămâne aceeași, exponenții se scad (primul minus al doilea):

$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$

Aici $a \neq 0$ și $m \geq n$ , ca scăderea exponenților să se poată face în numere naturale.

3. Puterea unei puteri. Exponenții se înmulțesc:

${(a^{m})}^{n} =$ $a^{m \cdot n}$

4. Puterea unui produs. Fiecare factor se ridică la puterea respectivă:

${(a \cdot b)}^{n} =$ $a^{n} \cdot b^{n}$

Regula merge și invers: dacă ai două puteri cu același exponent, le poți înmulți bazele, $a^{n} \cdot b^{n} =$ ${(a \cdot b)}^{n}$ .

5. Puterea unui cât. La fel, pentru împărțire exactă ( $b \neq 0$ și $a$ se împarte exact la $b$ ):

${(a : b)}^{n} =$ $a^{n} : b^{n}$

6. Exponenții 1 și 0. Orice număr la puterea întâi este chiar numărul: $a^{1} = a$ . Orice număr diferit de zero la puterea zero este 1: $a^{0} = 1$ . Din definiția puterii mai rezultă $1^{n} = 1$ pentru orice $n$ și $0^{n} = 0$ pentru $n \neq 0$ .

Important: regulile 1 și 2 cer aceeași bază, iar regula 4 folosită invers cere același exponent. Pentru adunarea și scăderea puterilor nu există o regulă de felul acesta: $2^{3} + 2^{4}$ nu este $2^{7}$ .

Ordinea în care aplici regulile. Într-un exercițiu cu mai multe operații, păstrezi ordinea obișnuită: întâi parantezele, apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, de la stânga la dreapta. Practic, rezolvi întâi puterea unei puteri din paranteze, apoi strângi totul într-o singură putere cu regulile 1 și 2 și abia la final calculezi valoarea. Așa lucrezi cu numere mici, chiar dacă rezultatul intermediar ar avea zeci de cifre.

Un sfat pentru verificare: dacă nu ești sigur de o regulă, încearcă-o pe numere mici, pe care le poți calcula de mână. De exemplu, $2^{2} \cdot 2^{3} =$ $4 \cdot 8 =$ $32$ , iar $2^{5} = 32$ , deci regula produsului se confirmă.

Exerciții rezolvate : regulile de calcul cu puteri

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aduni exponențiiușor

Scrie ca o singură putere: a) $5^{3} \cdot 5^{4}$ ; b) $2 \cdot 2^{6} \cdot 2^{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Bazele sunt egale (5), deci păstrăm baza și adunăm exponenții: $5^{3} \cdot 5^{4} =$ $5^{3 + 4} =$ $5^{7}$ .
b) Primul factor, $2$ , are exponentul 1, chiar dacă nu îl scriem: $2 = 2^{1}$ .
Adunăm toți exponenții: $2^{1} \cdot 2^{6} \cdot 2^{2} =$ $2^{1 + 6 + 2} =$ $2^{9}$ .

Răspuns: a) $5^{7}$ ; b) $2^{9}$

EXERCIȚIUL 2Scazi exponențiiușor

Scrie ca o singură putere și, unde se poate, calculează: a) $7^{9} : 7^{4}$ ; b) $10^{8} : 10^{8}$ ; c) $3^{6} : 3^{5}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Aceeași bază, deci scădem exponenții: $7^{9} : 7^{4} =$ $7^{9 - 4} =$ $7^{5}$ .
b) $10^{8} : 10^{8} =$ $10^{8 - 8} =$ $10^{0} =$ $1$ . Are sens: orice număr diferit de zero împărțit la el însuși dă 1.
c) $3^{6} : 3^{5} =$ $3^{6 - 5} =$ $3^{1} =$ $3$ .

Răspuns: a) $7^{5}$ ; b) $1$ ; c) $3$

EXERCIȚIUL 3Înmulțești exponențiiușor

Scrie ca o singură putere: a) ${(3^{2})}^{5}$ ; b) ${(2^{4})}^{3}$ . Calculează apoi valoarea de la punctul b).

Rezolvare pas cu pas

a) La puterea unei puteri, exponenții se înmulțesc: ${(3^{2})}^{5} =$ $3^{2 \cdot 5} =$ $3^{10}$ .
b) ${(2^{4})}^{3} =$ $2^{4 \cdot 3} =$ $2^{12}$ .
Calculăm: $2^{10} = 1024$ , deci $2^{12} =$ $1024 \cdot 2 \cdot 2 =$ $4096$ .

Răspuns: a) $3^{10}$ ; b) $2^{12} = 4096$

EXERCIȚIUL 4Puterea unui produs, în ambele sensurimediu

Calculează: a) ${(2 \cdot 5)}^{4}$ ; b) $4^{3} \cdot 25^{3}$ , fără să calculezi separat $4^{3}$ și $25^{3}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Calculăm întâi produsul din paranteză: $2 \cdot 5 = 10$ , deci ${(2 \cdot 5)}^{4} =$ $10^{4} =$ $10 000$ .
Același rezultat îl dă regula: $2^{4} \cdot 5^{4} =$ $16 \cdot 625 =$ $10 000$ .
b) Cele două puteri au același exponent, 3, deci putem înmulți bazele: $4^{3} \cdot 25^{3} =$ ${(4 \cdot 25)}^{3}$ .
$4 \cdot 25 = 100$ , iar $100^{3} = 1 000 000$ .

Răspuns: a) $10 000$ ; b) $1 000 000$

EXERCIȚIUL 5Puterea unui câtmediu

Calculează: a) ${(12 : 3)}^{2}$ în două moduri; b) $36^{5} : 9^{5}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Primul mod: întâi împărțirea din paranteză, $12 : 3 = 4$ , apoi $4^{2} = 16$ .
Al doilea mod, cu regula: $12^{2} : 3^{2} =$ $144 : 9 =$ $16$ . Rezultatele coincid.
b) Puterile au același exponent, 5, iar 36 se împarte exact la 9, deci: $36^{5} : 9^{5} =$ ${(36 : 9)}^{5} =$ $4^{5}$ .
$4^{5} =$ $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 =$ $1024$ .

Răspuns: a) $16$ ; b) $1024$

EXERCIȚIUL 6Trei reguli în același calculmediu

Calculează ${(5^{3})}^{4} \cdot 5^{2} : 5^{11}$ .

Rezolvare pas cu pas

Începem cu paranteza: ${(5^{3})}^{4} =$ $5^{3 \cdot 4} =$ $5^{12}$ .
Înmulțirea: $5^{12} \cdot 5^{2} =$ $5^{12 + 2} =$ $5^{14}$ .
Împărțirea: $5^{14} : 5^{11} =$ $5^{14 - 11} =$ $5^{3}$ .
Valoarea: $5^{3} = 125$ .

Răspuns: $125$

EXERCIȚIUL 7Baze diferite aduse la aceeași bazăgreu

Calculează $9^{4} \cdot 27^{2} : 3^{12}$ .

Rezolvare pas cu pas

Bazele sunt diferite, dar toate sunt puteri ale lui 3: $9 = 3^{2}$ și $27 = 3^{3}$ .
$9^{4} = {(3^{2})}^{4} = 3^{8}$ , iar $27^{2} = {(3^{3})}^{2} = 3^{6}$ .
Expresia devine $3^{8} \cdot 3^{6} : 3^{12} =$ $3^{14} : 3^{12}$ .
$3^{14} : 3^{12} =$ $3^{2} =$ $9$ .

Răspuns: $9$

EXERCIȚIUL 8Afli exponentul necunoscutgreu

Află numărul natural $n$ pentru care ${(2^{3})}^{n} : 2^{5} =$ $2^{10}$ .

Rezolvare pas cu pas

Scriem membrul stâng ca o singură putere: ${(2^{3})}^{n} =$ $2^{3 \cdot n}$ , apoi $2^{3 \cdot n} : 2^{5} =$ $2^{3 \cdot n - 5}$ .
Două puteri ale lui 2 sunt egale doar dacă au exponenți egali, deci $3 \cdot n - 5 = 10$ .
Rezolvăm: $3 \cdot n = 15$ , de unde $n = 5$ .
Verificare: ${(2^{3})}^{5} = 2^{15}$ și $2^{15} : 2^{5} =$ $2^{10}$ .

Răspuns: $n = 5$

Cum recunoști ce regulă aplici

Între puteri este semnul înmulțirii sau al împărțirii și bazele sunt egale: lucrezi cu exponenții (îi aduni sau îi scazi).
O putere este pusă în paranteză și ridicată din nou la o putere: înmulțești exponenții.
Bazele sunt diferite, dar exponenții sunt egali: înmulțești sau împarți bazele și păstrezi exponentul. Dacă nici bazele, nici exponenții nu sunt egali, încearcă să scrii bazele ca puteri ale aceluiași număr.

Greșeli frecvente la regulile de calcul cu puteri

Înmulțești exponenții la produsul puterilor. $2^{3} \cdot 2^{4}$ este $2^{7}$ , nu $2^{12}$ . Exponenții se înmulțesc doar la puterea unei puteri, ${(2^{3})}^{4} = 2^{12}$ .
Înmulțești și bazele. La $5^{3} \cdot 5^{4}$ baza rămâne 5. Rezultatul nu este $25^{7}$ .
Aplici regula la adunare. $3^{2} + 3^{3}$ nu este $3^{5}$ . Calculezi fiecare putere și aduni: $9 + 27 = 36$ .

Exersează : regulile de calcul cu puteri

Fișă de lucru: Puteri, clasa a V-aPDF de printat, 6 exerciții, cu rezolvări Test: Puteri, clasa a V-acu barem (PDF) Lecția video: Reguli de calcul cu puteri, partea a 2-aclasa a V-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre regulile de calcul cu puteri

Când adun exponenții și când îi înmulțesc?

Îi aduni când înmulțești două puteri cu aceeași bază: $a^{m} \cdot a^{n} =$ $a^{m + n}$ . Îi înmulțești când o putere este ridicată la altă putere: ${(a^{m})}^{n} =$ $a^{m \cdot n}$ .

De ce orice număr la puterea 0 este 1?

Din regula împărțirii: $a^{n} : a^{n} = a^{0}$ , dar un număr diferit de zero împărțit la el însuși dă 1. Deci $a^{0} = 1$ . Excepție: $0^{0}$ nu are sens.

Pot folosi regulile dacă bazele sunt diferite?

Doar dacă exponenții sunt egali, ca la $4^{3} \cdot 25^{3} =$ $100^{3}$ , sau dacă bazele se pot scrie ca puteri ale aceluiași număr, ca la $9 = 3^{2}$ și $27 = 3^{3}$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 28 septembrie 2026

Exerciții rezolvate la matematică

VOLUMUL PIRAMIDEI cu orice bază, regulată sau nu - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

28 septembrie 2026

PRODUSUL CARTEZIAN și sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

28 septembrie 2026

OPERAȚII CU INTERVALE pe axa numerelor - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

28 septembrie 2026

MODULUL UNUI NUMĂR real, pe axă și în calcule - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

28 septembrie 2026

MIJLOCUL UNUI SEGMENT și simetricul unui punct față de alt punct - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

28 septembrie 2026

COARDE ȘI ARCE ÎN CERC proprietăți, distanța de la centru la coardă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

28 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună