ORDINEA EFECTUĂRII OPERAȚIILOR CU NUMERE REALE radicali, puteri și module - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 11 octombrie 2026

Într-o expresie cu numere reale, radicalul și modulul se calculează ca niște paranteze, apoi urmează puterile, înmulțirile și împărțirile, iar la final adunările și scăderile, unde reduci radicalii asemenea. Mai jos găsești ordinea pas cu pas, capcanele cu radicali și semne și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Ordinea operațiilor când apar radicali

Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale este cea pe care o știi din clasele anterioare. Radicalii nu adaugă un etaj nou, dar trebuie să știi unde se încadrează fiecare simbol.

Parantezele, radicalul și modulul. Bara radicalului și barele modulului grupează tot ce este sub ele, ca o paranteză. Întâi calculezi ce este sub radical: $\sqrt{10^{2} - 6^{2}} =$ $\sqrt{100 - 36} =$ $\sqrt{64} =$ $8$ , nu $10 - 6 = 4$ . La modul, afli semnul numărului dintre bare înainte să scoți barele.
Puterile. ${(\sqrt{3})}^{2} = 3$ , ${(\sqrt{2})}^{5} =$ $4 \sqrt{2}$ , ${(\sqrt{5})}^{- 2} =$ $\frac{1}{5}$ . Paranteza decide baza: ${(- \sqrt{5})}^{2} = 5$ , dar $- {(\sqrt{5})}^{2} = - 5$ .
Înmulțirile și împărțirile, de la stânga la dreapta. Aici aplici regulile de calcul cu radicali: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} =$ $4$ , $\sqrt{50} : \sqrt{2} =$ $5$ .
Adunările și scăderile, de la stânga la dreapta. Reduci doar termenii asemenea: numerele raționale între ele și radicalii cu același număr sub radical între ei. $3 \sqrt{2} + 4$ rămâne așa, nu devine $7 \sqrt{2}$ .

$(),$ $\sqrt{},$ $| | \to a^{n} \to \cdot,$ $: \to +,$ $-$

Distributivitatea este o scurtătură permisă: $\sqrt{3} \cdot (\sqrt{12} - \sqrt{27})$ se poate calcula fie întâi în paranteză, fie înmulțind termen cu termen. Rezultatul trebuie să fie același.

Simplifică radicalii devreme. Dacă vezi $\sqrt{48}$ sau $\sqrt{20}$ , scoate factorii de sub radical înainte să continui ( $\sqrt{48} =$ $4 \sqrt{3}$ ). Așa apar mai repede radicalii asemenea și calculul se scurtează.

Multe exerciții de acest tip cer să arăți că rezultatul este un număr natural sau întreg. Dacă la final îți rămâne un radical, verifică pașii: de obicei radicalii trebuie să se reducă.

Exerciții rezolvate : ordinea efectuării operațiilor cu numere reale

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Produsul radicalilor înaintea adunăriiușor

Calculează: a) $3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ ; b) $\sqrt{50} : \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Înmulțirea are prioritate: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} =$ $\sqrt{16} =$ $4$ .
Rămâne $3 \sqrt{2} + 4$ . Termenii nu sunt asemenea (unul are radical, celălalt nu), deci rezultatul rămâne în această formă.
b) Împărțirea: $\sqrt{50} : \sqrt{2} =$ $\sqrt{25} =$ $5$ . Înmulțirea: $2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} =$ $2 \cdot 3 =$ $6$ .
La final: $5 - 6 = - 1$ .

Răspuns: a) $3 \sqrt{2} + 4$ ; b) $- 1$

EXERCIȚIUL 2Puterile radicalilor, înaintea înmulțiriiușor

Calculează: a) ${(\sqrt{3})}^{2} \cdot 4 - {(\sqrt{2})}^{4} : 2$ ; b) $- {(\sqrt{5})}^{2} + {(- \sqrt{5})}^{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Puterile: ${(\sqrt{3})}^{2} = 3$ și ${(\sqrt{2})}^{4} = 4$ .
Înmulțirea și împărțirea: $3 \cdot 4 = 12$ și $4 : 2 = 2$ . La final: $12 - 2 = 10$ .
b) Primul termen: fără paranteză, minusul nu face parte din bază, deci $- {(\sqrt{5})}^{2} = - 5$ .
Al doilea: baza este $- \sqrt{5}$ , iar exponentul este par, deci ${(- \sqrt{5})}^{2} = 5$ . Rezultatul: $- 5 + 5 = 0$ .

Răspuns: a) $10$ ; b) $0$

EXERCIȚIUL 3Paranteza cu radicali, apoi putereamediu

Calculează $\sqrt{3} \cdot (\sqrt{12} - \sqrt{27}) +$ $2^{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

În paranteză scoți factorii: $\sqrt{12} =$ $2 \sqrt{3}$ și $\sqrt{27} =$ $3 \sqrt{3}$ , deci paranteza este $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} =$ $- \sqrt{3}$ .
Puterea: $2^{2} = 4$ .
Înmulțirea: $\sqrt{3} \cdot (- \sqrt{3}) =$ $- 3$ .
La final: $- 3 + 4 = 1$ .
Cu distributivitatea: $\sqrt{36} - \sqrt{81} + 4 =$ $6 - 9 + 4 =$ $1$ . Același rezultat.

Răspuns: $1$

EXERCIȚIUL 4Modulul unui număr cu radical, calculat primulmediu

Calculează $| 2 \sqrt{3} - 4 | : 2 + \sqrt{3}$ .

Rezolvare pas cu pas

Afli semnul numărului dintre bare. Compari $2 \sqrt{3}$ cu $4$ : $2 \sqrt{3} =$ $\sqrt{12}$ și $4 = \sqrt{16}$ , deci $2 \sqrt{3} < 4$ .
Numărul $2 \sqrt{3} - 4$ este negativ, deci modulul lui este opusul: $| 2 \sqrt{3} - 4 | =$ $4 - 2 \sqrt{3}$ .
Împărțirea: $(4 - 2 \sqrt{3}) : 2 =$ $2 - \sqrt{3}$ . Împarți fiecare termen la $2$ .
La final: $2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} =$ $2$ .

Răspuns: $2$

EXERCIȚIUL 5Puteri cu exponent negativ într-o sumămediu

Calculează ${(\sqrt{2})}^{- 4} \cdot 12 - {(\sqrt{6})}^{- 2} \cdot 18 +$ ${(3 \sqrt{7})}^{0}$ .

Rezolvare pas cu pas

Puterile: ${(\sqrt{2})}^{- 4} =$ $\frac{1}{{(\sqrt{2})}^{4}} =$ $\frac{1}{4}$ și ${(\sqrt{6})}^{- 2} =$ $\frac{1}{6}$ .
Orice număr nenul la puterea $0$ dă $1$ : ${(3 \sqrt{7})}^{0} = 1$ .
Înmulțirile: $\frac{1}{4} \cdot 12 =$ $3$ și $\frac{1}{6} \cdot 18 =$ $3$ .
La final: $3 - 3 + 1 = 1$ .

Răspuns: $1$

EXERCIȚIUL 6Paranteza pătrată cu o putere imparămediu

Calculează $[{(\sqrt{2})}^{5} - 2 \sqrt{2}] : \sqrt{2} +$ ${(- \sqrt{2})}^{4}$ .

Rezolvare pas cu pas

În paranteza pătrată, întâi puterea: ${(\sqrt{2})}^{5} =$ $4 \sqrt{2}$ .
Scăderea, cu radicali asemenea: $4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} =$ $2 \sqrt{2}$ .
În afara parantezei, puterea: ${(- \sqrt{2})}^{4} = 4$ , pozitiv pentru că exponentul este par.
Împărțirea: $2 \sqrt{2} : \sqrt{2} =$ $2$ . La final: $2 + 4 = 6$ .

Răspuns: $6$

EXERCIȚIUL 7Acoladă, paranteză pătrată și un radical raționalgreu

Calculează ${[(\sqrt{5})^{2} - \sqrt{20} \cdot \sqrt{5}] : (- 5) +$ $\sqrt{0,36}} \cdot 10$ .

Rezolvare pas cu pas

În paranteza pătrată: ${(\sqrt{5})}^{2} = 5$ și $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} =$ $\sqrt{100} =$ $10$ , deci paranteza este $5 - 10 = - 5$ .
În acoladă, împărțirea: $(- 5) : (- 5) = 1$ .
Radicalul unui număr rațional: $\sqrt{0,36} =$ $0,6$ , pentru că ${0,6}^{2} = 0,36$ .
Acolada valorează $1 + 0,6 = 1,6$ . La final: $1,6 \cdot 10 = 16$ .

Răspuns: $16$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: arată că numărul este naturalgreu

Arată că numărul $n =$ ${(2 \sqrt{5})}^{2} : 4 +$ $\sqrt{3} \cdot (\sqrt{48} - \sqrt{12}) - (\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)$ este natural.

Rezolvare pas cu pas

Primul termen: puterea ${(2 \sqrt{5})}^{2} =$ $4 \cdot 5 =$ $20$ , apoi $20 : 4 = 5$ .
Al doilea: în paranteză, $\sqrt{48} =$ $4 \sqrt{3}$ și $\sqrt{12} =$ $2 \sqrt{3}$ , deci $4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} =$ $2 \sqrt{3}$ . Apoi $\sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} =$ $6$ .
Al treilea: înmulțești parantezele termen cu termen, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} +$ $\sqrt{2} - \sqrt{2} - 1 =$ $2 - 1 =$ $1$ .
La final: $n = 5 + 6 - 1 = 10$ , număr natural.

Răspuns: $n =$ $10 \in ℕ$

Cum îți dai seama de unde începi

Vezi un radical peste o sumă sau o diferență, ca $\sqrt{10^{2} - 6^{2}}$ ? Calculezi întâi tot ce este sub radical, abia apoi extragi radicalul.
Vezi bare de modul în jurul unui număr cu radical? Compari întâi cele două numere (de exemplu prin pătrate), ca să afli semnul, și abia apoi scoți barele.
Enunțul cere „arată că numărul este natural”? Simplifici radicalii la fiecare pas și te aștepți ca la final toți radicalii să se reducă.

Greșeli frecvente la ordinea efectuării operațiilor cu numere reale

Desparți radicalul unei sume. $\sqrt{10^{2} - 6^{2}}$ nu este $10 - 6$ . Radicalul se aplică rezultatului de sub el: $\sqrt{64} = 8$ .
Aduni un număr cu un radical. $3 \sqrt{2} + 4$ nu este $7 \sqrt{2}$ și nici $7$ . Se reduc doar termenii asemenea, adică radicalii cu același număr sub radical.
Scoți barele modulului fără să verifici semnul. $| 2 \sqrt{3} - 4 |$ nu este $2 \sqrt{3} - 4$ , pentru că acest număr este negativ. Corect: $4 - 2 \sqrt{3}$ .

Exersează : ordinea efectuării operațiilor cu numere reale

Fișă de lucru: Ridicarea la putere a numerelor reale, ordinea efectuării operațiilor, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Radicali, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Adunarea și scăderea numerelor reale, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre ordinea efectuării operațiilor cu numere reale

Radicalul se calculează înaintea puterilor sau după?

Radicalul grupează ce este sub el, ca o paranteză, deci întâi calculezi sub radical. În $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ faci puterile de sub radical, apoi suma, apoi radicalul: $\sqrt{25} = 5$ .

Rezultatul meu are radical, dar enunțul spune că e natural. Unde am greșit?

Cel mai des la un semn: un minus din fața unei paranteze sau un modul scos fără să verifici semnul. Refă calculul pe etaje și verifică dacă radicalii asemenea se reduc.

Pot folosi distributivitatea în loc să calculez paranteza?

Da, rezultatul este același. Alege drumul cu numere mai mici: uneori e mai simplu să reduci întâi radicalii din paranteză, alteori să înmulțești termen cu termen.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este valoarea expresiei ${(- 3)}^{4}$ ?
2. Care este valoarea expresiei $- 2^{4}$ ?
3. Care este valoarea expresiei $3^{2} + 4 \cdot 2^{3}$ ?
4. Care este valoarea expresiei ${(2 + 3)}^{2} - 4 \cdot 3$ ?
5. Care este valoarea expresiei $2 \cdot 3^{2} - {(1 + 2)}^{3} \div 9$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 11 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

RADICAL DIN 72 descompus în factori - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR REALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

RAȚIONALIZAREA NUMITORULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

ECUAȚII DE GRADUL 2 INCOMPLETE fără discriminant - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 1: Numere reale

PATRULATERUL CONVEX suma unghiurilor și diagonalele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună