Numere prime — definiție, proprietăți și exemple pentru elevi

Știai că 1 nu e număr prim? Majoritatea elevilor presupun că da — pare cel mai "simplu" număr, cel mai mic, cel mai curat. Și totuși nu e. Asta-i una dintre cele mai comune confuzii cu numerele prime și, dacă nu o lămurești de la început, îți complică tot ce urmează. De fapt, numerele prime sunt o idee surprinzător de simplă, ascunsă în spatele unui nume care sună mai complicat decât e. Practic, unele numere nu se lasă împărțite decât la 1 și la ele înseși — și ălea sunt numerele prime. Nu au "factori" în plus. Sunt, în felul lor, indivizibile. Hai să vedem exact ce înseamnă asta, cum le recunoști, și de ce contează.

Ce este, de fapt, un număr prim?

Să zicem că ai 7 bomboane și vrei să le împarți egal între mai mulți prieteni — fără să rămână nicio bomboană restantă. Poți să dai câte una la 7 prieteni. Sau le ții pe toate tu, adică "împarți" la 1. Atât. Nu există altă variantă. 7 nu se împarte exact la 2, la 3, la 4, la 5, la 6. Niciun rest zero. Asta înseamnă că 7 e număr prim — are exact doi divizori: 1 și el însuși. Acum ia 6 bomboane. Le poți da câte 2 la 3 prieteni, sau câte 3 la 2 prieteni. 6 are mai mulți divizori: 1, 2, 3 și 6. Deci 6 nu e număr prim. Se numește număr compus. Practic, diferența e simplă: câți divizori are numărul tău?

Cum verifici dacă un număr e prim?

Metoda pe care o folosești depinde de cât de mare e numărul. Pentru numere mici — sub 50, să zicem — o poți face manual. Încerci să-l împarți la fiecare număr mai mic decât el, pornind de la 2. Dacă nicio împărțire nu iese exact (fără rest), e prim. Dar nu trebuie să încerci chiar toate numerele până la  $p-1$ . E de ajuns să verifici până la  $\sqrt{p}$  — rădăcina pătrată a lui  $p$ . De ce? Pentru că dacă  $p$  ar avea un divizor mai mare decât  $\sqrt{p}$ , atunci ar exista automat și un divizor mai mic — și l-ai fi găsit deja. Pare abstract acum, dar în exemple se vede imediat. O altă metodă clasică pentru a găsi toate numerele prime până la un număr dat este Ciurul lui Eratostene — o metodă veche de peste 2000 de ani care funcționează perfect și azi.

Exemplu rezolvat pas cu pas

Greșeli frecvente

Exerciții rezolvate

1. Care dintre numerele 11, 15, 19, 21 sunt numere prime? (Răspuns: 11 și 19 sunt prime; 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7 sunt compuse)
2. Verifică dacă 91 este număr prim. (Răspuns: Nu — 91 = 7 × 13;  $\sqrt{91}\approx \mathrm{9,5}$ , iar 91 ÷ 7 = 13 exact)
3. Câte numere prime există între 50 și 70? Enumeră-le. (Răspuns: 53, 59, 61, 67 — patru numere prime)

Întrebări frecvente