PIRAMIDA: ELEMENTE, numărul de vârfuri, muchii și fețe, desenul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 14 octombrie 2026

O piramidă are o bază (un poligon) și fețe laterale triunghiulare care se întâlnesc într-un punct, vârful. Dacă baza are $n$ laturi, piramida are $n + 1$ vârfuri, $2 n$ muchii și $n + 1$ fețe. Mai jos găsești numele tuturor elementelor, piramida regulată și apotema ei, regulile de desen, desfășurarea și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Elementele piramidei: ce sunt și cum le numărăm

O piramidă este un corp geometric mărginit de un poligon, numit bază, și de triunghiuri care au o latură comună cu baza și un vârf comun, aflat în afara planului bazei. Piramida se notează cu vârful urmat de vârfurile bazei: $V A B C D$ are vârful $V$ și baza $A B C D$ .

Piramida patrulateră regulată

V A B C D

: vârful

V

, baza

A B C D

cu centrul

O

, înălțimea

V O

și apotema

V M

, înălțimea feței laterale

V B C

. Muchiile din spate sunt punctate.

Elementele piramidei $V A B C D$ :

vârful piramidei: punctul $V$ , comun tuturor fețelor laterale;
baza: poligonul $A B C D$ ; vârfurile lui sunt vârfurile bazei;
muchiile bazei: laturile bazei, $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ ;
muchiile laterale: segmentele care unesc vârful cu vârfurile bazei, $V A$ , $V B$ , $V C$ , $V D$ ;
fețele laterale: triunghiurile $V A B$ , $V B C$ , $V C D$ , $V D A$ ;
înălțimea: segmentul dus din vârf perpendicular pe planul bazei (o vei studia pe larg în lecția despre înălțimea piramidei).

Cum numărăm. Dacă baza are $n$ laturi, are și $n$ vârfuri. Fiecare vârf al bazei dă o muchie laterală și fiecare latură a bazei dă o față laterală. De aici:

vârfuri: $n + 1$ (cele $n$ ale bazei și vârful $V$ );
muchii: $2 n$ ( $n$ ale bazei și $n$ laterale);
fețe: $n + 1$ ( $n$ fețe laterale și baza).

$M = 2 n$

Numărul de muchii este mereu par. Numărul de vârfuri este mereu egal cu numărul de fețe.

După bază, piramida este triunghiulară, patrulateră, pentagonală, hexagonală și așa mai departe. Piramida triunghiulară se mai numește tetraedru (are patru fețe, toate triunghiuri, și oricare dintre ele poate fi considerată bază).

Piramida regulată are baza un poligon regulat, iar piciorul înălțimii este centrul bazei. Atunci toate muchiile laterale sunt congruente și fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente. Înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârful $V$ , se numește apotema piramidei (în figură, $V M$ ). Nu o confunda cu apotema bazei ( $O M$ ), care stă în planul bazei, de la centru până la mijlocul unei laturi.

Cum desenezi o piramidă. Desenezi întâi baza „culcată”, văzută oblic (un pătrat devine un paralelogram), alegi centrul bazei, ridici vârful deasupra lui și unești vârful cu vârfurile bazei. Muchiile care nu se văd, pentru că sunt în spatele altor fețe, se trasează punctat; cele vizibile, cu linie continuă.

Desfășurarea unei piramide este figura plană obținută când „deschizi” piramida pe muchii: baza, cu câte un triunghi lipit de fiecare latură. Dacă o decupezi din carton și o pliezi, obții piramida.

Exerciții rezolvate : elementele piramidei

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Numește fiecare elementușor

Pentru piramida $V A B C D$ din figură, numește: a) vârful piramidei și baza; b) muchiile laterale și muchiile bazei; c) fețele laterale. d) Câte muchii are piramida în total?

Rezolvare pas cu pas

a) Vârful este punctul comun tuturor triunghiurilor laterale: $V$ . Baza este patrulaterul $A B C D$ , fața care nu trece prin $V$ .
b) Muchiile laterale pleacă din vârf: $V A$ , $V B$ , $V C$ , $V D$ . Muchiile bazei sunt laturile patrulaterului: $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ .
c) Fiecare latură a bazei, împreună cu vârful $V$ , formează o față laterală: $V A B$ , $V B C$ , $V C D$ , $V D A$ .
d) Adunăm: $4$ muchii laterale și $4$ muchii ale bazei, adică $8$ muchii.

Răspuns: a) vârful $V$ , baza $A B C D$ ; b) $V A, V B, V C, V D$ și $A B, B C, C D, D A$ ; c) $V A B, V B C, V C D, V D A$ ; d) $8$ muchii

EXERCIȚIUL 2Piramida pentagonală, număratăușor

Baza piramidei $V A B C D E$ este pentagonul $A B C D E$ . Câte vârfuri, câte muchii și câte fețe are piramida? Câte dintre fețe sunt triunghiuri?

Rezolvare pas cu pas

Baza are $n = 5$ laturi, deci $5$ vârfuri. Cu vârful $V$ , piramida are $5 + 1 = 6$ vârfuri.
Muchii: $5$ ale bazei ( $A B, B C, C D, D E, E A$ ) și $5$ laterale ( $V A, \dots, V E$ ), deci $2 \cdot 5 = 10$ muchii.
Fețe: $5$ fețe laterale și baza, deci $6$ fețe.
Fețele laterale sunt triunghiuri, iar baza este un pentagon. Așadar $5$ fețe sunt triunghiuri.

Răspuns: $6$ vârfuri, $10$ muchii, $6$ fețe, dintre care $5$ triunghiuri

EXERCIȚIUL 3Din numărul de muchii afli bazaușor

O piramidă are $18$ muchii. Ce poligon are la bază? Câte vârfuri și câte fețe laterale are?

Rezolvare pas cu pas

Numărul de muchii este $2 n$ , unde $n$ este numărul de laturi ale bazei: $2 n = 18$ , deci $n = 9$ .
Baza este un poligon cu $9$ laturi (un nonagon).
Vârfuri: $n + 1 = 10$ . Fețe laterale: câte una pentru fiecare latură a bazei, deci $9$ (cu baza, $10$ fețe în total).

Răspuns: baza are $9$ laturi; $10$ vârfuri și $9$ fețe laterale

EXERCIȚIUL 4Există o astfel de piramidă?mediu

Stabilește dacă există o piramidă care are: a) $15$ muchii; b) $9$ fețe; c) $7$ vârfuri și $14$ muchii. Când există, spune ce poligon are la bază.

Rezolvare pas cu pas

a) Muchiile sunt $2 n$ , deci numărul lor este par. $15$ este impar, așa că nu există o piramidă cu $15$ muchii.
b) Fețele sunt $n + 1 = 9$ , deci $n = 8$ . Există: piramida octogonală, cu baza un poligon cu $8$ laturi.
c) Din vârfuri, $n + 1 = 7$ dă $n = 6$ . Din muchii, $2 n = 14$ dă $n = 7$ . Cele două condiții cer baze diferite, deci nu există o asemenea piramidă.

Răspuns: a) nu; b) da, baza are $8$ laturi; c) nu

EXERCIȚIUL 5Apotema din fața lateralămediu

Piramida pentagonală regulată $V A B C D E$ are latura bazei de $10$ cm și muchia laterală de $13$ cm, iar $M$ este mijlocul muchiei $A B$ . a) Ce fel de triunghi este fața $V A B$ ? b) Calculează apotema piramidei, $V M$ . c) Calculează aria unei fețe laterale și suma ariilor celor cinci fețe laterale.

Rezolvare pas cu pas

a) Piramida este regulată, deci muchiile laterale sunt congruente: $V A = V B = 13$ cm. Fața $V A B$ este un triunghi isoscel cu baza $A B = 10$ cm.
b) În triunghiul isoscel, mediana $V M$ este și înălțime, deci $V M ⟂ A B$ și $A M = 5$ cm.
În triunghiul $V M A$ , dreptunghic în $M$ : $V M^{2} =$ $13^{2} - 5^{2} =$ $169 - 25 =$ $144$ , deci $V M = 12$ cm.
c) Aria feței $V A B$ este $\frac{A B \cdot V M}{2} =$ $\frac{10 \cdot 12}{2} =$ $60$ cm².
Cele cinci fețe laterale sunt triunghiuri congruente, deci suma ariilor lor este $5 \cdot 60 = 300$ cm².

Răspuns: a) isoscel; b) $V M = 12$ cm; c) $60$ cm², respectiv $300$ cm²

EXERCIȚIUL 6O piramidă care nu este regulatămediu

Piramida $V A B C D$ are baza dreptunghiul $A B C D$ , cu $A B = 8$ cm și $B C = 6$ cm, iar toate muchiile laterale au $9$ cm. a) Este piramida regulată? b) Calculează suma lungimilor tuturor muchiilor. c) Calculează perimetrele fețelor $V A B$ și $V B C$ și spune care fețe laterale sunt congruente.

Rezolvare pas cu pas

a) Nu. Pentru o piramidă regulată, baza trebuie să fie un poligon regulat, iar un dreptunghi cu laturile $8$ cm și $6$ cm nu are toate laturile egale. Muchiile laterale egale nu sunt suficiente.
b) Muchiile bazei: $2 \cdot (8 + 6) = 28$ cm. Muchiile laterale: $4 \cdot 9 = 36$ cm. Suma: $28 + 36 = 64$ cm.
c) $P_{V A B} =$ $9 + 9 + 8 =$ $26$ cm și $P_{V B C} =$ $9 + 9 + 6 =$ $24$ cm.
Fețele $V A B$ și $V C D$ au laturile $9$ , $9$ , $8$ , deci sunt congruente (cazul LLL). La fel $V B C$ și $V D A$ , cu laturile $9$ , $9$ , $6$ .

Răspuns: a) nu; b) $64$ cm; c) $26$ cm și $24$ cm; $V A B \equiv V C D$ și $V B C \equiv V D A$

EXERCIȚIUL 7Desfășurarea, decupată din cartongreu

Andrei vrea să construiască din carton o piramidă patrulateră regulată $V A B C D$ cu latura bazei de $6$ cm și muchia laterală de $5$ cm. Desenează desfășurarea ca în figură: pătratul $A B C D$ și câte un triunghi isoscel pe fiecare latură. a) Ce lungime are conturul desfășurării? b) De câți cm² de carton are nevoie (fără clapele de lipire)?

Punctele

E

F

G

H

din desfășurare ajung toate în vârful

V

al piramidei după pliere.

Rezolvare pas cu pas

a) Conturul desfășurării este format doar din laturile egale ale celor patru triunghiuri: $A E,$ $E B,$ $B F,$ $F C,$ $C G,$ $G D,$ $D H,$ $H A$ . Laturile pătratului sunt în interior, pe ele se pliază.
Sunt $8$ segmente de câte $5$ cm, deci conturul are $8 \cdot 5 = 40$ cm. Fiecare muchie laterală a piramidei apare de două ori pe contur, pentru că la pliere două laturi se lipesc una de alta.
b) În triunghiul isoscel $A E B$ , înălțimea din $E$ cade în mijlocul lui $A B$ și împarte baza în două segmente de $3$ cm. Ea are $\sqrt{5^{2} - 3^{2}} =$ $\sqrt{16} =$ $4$ cm; aceasta este apotema piramidei.
Aria unui triunghi: $\frac{6 \cdot 4}{2} =$ $12$ cm². Aria pătratului: $6^{2} = 36$ cm².
Cartonul necesar: $36 + 4 \cdot 12 =$ $36 + 48 =$ $84$ cm².

Răspuns: a) $40$ cm; b) $84$ cm²

EXERCIȚIUL 8Fețe laterale echilaterale: ce bază poate avea piramida?greu

Toate fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri echilaterale. a) Arată că baza poate avea cel mult $5$ laturi. b) Pentru piramida patrulateră $V A B C D$ de acest fel, cu latura bazei de $6$ cm, calculează suma lungimilor tuturor muchiilor și apotema piramidei.

Rezolvare pas cu pas

a) În desfășurare, cele $n$ fețe laterale se așază una lângă alta în jurul vârfului $V$ . Fiecare are în $V$ un unghi de $60^{\circ}$ , deci în jurul lui $V$ se adună $60^{\circ} \cdot n$ .
Ca fețele să se poată ridica și închide într-un vârf, ele trebuie să nu acopere un unghi complet: $60^{\circ} \cdot n < 360^{\circ}$ , deci $n < 6$ . Baza are $3$ , $4$ sau $5$ laturi.
Pentru $n = 6$ , cele șase triunghiuri echilaterale formează chiar un hexagon regulat plan (la hexagonul regulat, distanța de la centru la un vârf este egală cu latura): vârful $V$ ar cădea în planul bazei și nu mai avem piramidă.
b) Fețele sunt echilaterale, deci și muchiile laterale au $6$ cm. Piramida are $8$ muchii de câte $6$ cm: suma este $8 \cdot 6 = 48$ cm.
Apotema este înălțimea triunghiului echilateral cu latura $6$ cm: $\frac{6 \sqrt{3}}{2} =$ $3 \sqrt{3}$ cm.

Răspuns: a) $60^{\circ} \cdot n < 360^{\circ}$ , deci $n \leq 5$ ; b) $48$ cm și apotema $3 \sqrt{3}$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe elementele piramidei

Ți se cere să numești vârful, baza, muchiile sau fețele: citești notația piramidei, prima literă este vârful, celelalte sunt vârfurile bazei, în ordine.
Apar numere de vârfuri, muchii sau fețe: notezi cu $n$ numărul de laturi ale bazei și folosești $n + 1$ , $2 n$ , $n + 1$ ; dacă $n$ nu iese număr natural, piramida nu există.
Se dau latura bazei și muchia laterală a unei piramide regulate: lucrezi în fața laterală, un triunghi isoscel, unde apotema este înălțimea dusă din vârf.

Greșeli frecvente la elementele piramidei

Numeri baza de două ori sau o uiți. Fețele sunt $n$ laterale plus o bază, deci $n + 1$ . La muchii nu adaugi nimic pentru bază în afară de laturile ei: $n + n = 2 n$ .
Confunzi apotema piramidei cu muchia laterală. Muchia laterală $V B$ merge spre un vârf al bazei, apotema $V M$ merge spre mijlocul unei laturi și este perpendiculară pe ea. Apotema este mai scurtă: e catetă, iar muchia laterală e ipotenuză în triunghiul $V M B$ .
Crezi că muchiile laterale egale fac piramida regulată. Trebuie și ca baza să fie un poligon regulat. Peste un dreptunghi care nu e pătrat poți avea muchii laterale egale, dar piramida nu e regulată, iar fețele ei laterale nu sunt toate congruente.

Exersează : elementele piramidei

Fișă de lucru: Piramida, învățăm să desenăm, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Corpuri geometrice, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția următoare: Piramida triunghiulară regulatăclasa a VIII-a, lecție video

Din același capitol

Întrebări frecvente despre elementele piramidei

Ce este apotema piramidei?

Este înălțimea unei fețe laterale a piramidei regulate, dusă din vârf pe o muchie a bazei. Cade în mijlocul muchiei, pentru că fața laterală este un triunghi isoscel.

Câte muchii are o piramidă cu baza un poligon cu

n

laturi?

Are $2 n$ muchii: $n$ muchii ale bazei și $n$ muchii laterale. De aceea numărul de muchii al unei piramide este întotdeauna par.

De ce se desenează unele muchii punctat?

Pentru că sunt ascunse în spatele altor fețe, din locul din care privești piramida. Convenția te ajută să citești corect desenul: liniile continue sunt în față, cele punctate în spate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. O piramidă este un corp geometric format dintr-o bază poligonală și fețe laterale care sunt:
2. Cum se numește punctul în care se întâlnesc toate fețele laterale ale unei piramide?
3. Câte muchii laterale are o piramidă cu baza un pentagon (poligon cu 5 laturi)?
4. O piramidă cu baza un triunghi se numește:
5. Când desenăm o piramidă dreaptă cu baza un pătrat, vârful piramidei se reprezintă:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 14 octombrie 2026