ARIA TRIUNGHIULUI FORMAT DE GRAFIC CU AXELE de coordonate, perimetrul și distanța la origine - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 12 octombrie 2026

Graficul funcției $f (x) = a x + b$ taie axele în $A$ (pe $O x$ ) și $B$ (pe $O y$ ), iar triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ , deci aria lui este $\frac{O A \cdot O B}{2}$ . Lungimile $O A$ și $O B$ sunt modulele coordonatelor nenule ale punctelor. Mai jos găsești și perimetrul, distanța de la origine la grafic și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum afli vârfurile, aria și celelalte elemente ale triunghiului

Graficul unei funcții liniare $f (x) = a x + b$ , cu $a \neq 0$ și $b \neq 0$ , este o dreaptă care taie ambele axe în puncte diferite de origine. Cele două puncte de intersecție și originea $O$ sunt vârfurile unui triunghi dreptunghic, cu unghiul drept în $O$ , pentru că axele sunt perpendiculare. În figură, $f (x) =$ $- \frac{3}{4} x + 3$ .

Triunghiul

A O B

are catetele pe axe:

O A = 4

și

O B = 3

. Ipotenuza

A B

este bucata din graficul lui

f

dintre axe.

Pasul 1: vârfurile. Pe axa $O x$ ordonata este $0$ , deci rezolvi $f (x) = 0$ și obții $A$ . Pe axa $O y$ abscisa este $0$ , deci calculezi $f (0) = b$ și obții $B (0, b)$ . În exemplu: $- \frac{3}{4} x + 3 =$ $0$ dă $x = 4$ , deci $A (4, 0)$ , iar $f (0) = 3$ , deci $B (0, 3)$ .

Pasul 2: catetele. Catetele sunt segmentele de pe axe. O lungime nu poate fi negativă, așa că iei modulul coordonatei: $O A = | x_{A} |$ și $O B = | y_{B} |$ . În exemplu, $O A = 4$ și $O B = 3$ .

Pasul 3: aria. Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor:

$𝒜_{A O B} =$ $\frac{O A \cdot O B}{2}$

În exemplu, $𝒜 =$ $\frac{4 \cdot 3}{2} =$ $6$ unități de arie.

Ce se mai cere des. Ipotenuza $A B$ o afli cu teorema lui Pitagora, $A B^{2} = O A^{2} + O B^{2}$ , iar perimetrul este $O A + O B + A B$ . Distanța de la origine la grafic este înălțimea din unghiul drept, pe care o știi din clasa a VII-a:

$d (O, A B) =$ $\frac{O A \cdot O B}{A B}$

În exemplu, $A B = 5$ , perimetrul este $12$ , iar distanța de la $O$ la grafic este $\frac{12}{5} =$ $2,4$ .

Când nu există triunghi. Dacă $b = 0$ , graficul trece prin origine, iar ambele puncte de pe axe coincid cu $O$ . Dacă $a = 0$ , graficul este paralel cu $O x$ și nu o taie. În ambele cazuri nu se formează un triunghi.

Exerciții rezolvate : triunghiul format de grafic cu axele

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Vârfurile triunghiului și ariaușor

Se consideră funcția $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = x + 5$ . Determină coordonatele punctelor în care graficul taie axele și aria triunghiului format de grafic cu axele de coordonate.

Rezolvare pas cu pas

Intersecția cu $O x$ : rezolvi $x + 5 = 0$ , deci $x = - 5$ . Punctul este $A (- 5, 0)$ .
Intersecția cu $O y$ : $f (0) = 0 + 5 = 5$ . Punctul este $B (0, 5)$ .
Catetele: $O A = | - 5 | = 5$ și $O B = 5$ . Triunghiul este dreptunghic isoscel.
Aria: $𝒜 =$ $\frac{5 \cdot 5}{2} =$ $\frac{25}{2} =$ $12,5$ unități de arie.

Răspuns: $A (- 5, 0)$ , $B (0, 5)$ , aria $12,5$

EXERCIȚIUL 2Triunghi sub axa Ox: lungimile rămân pozitiveușor

Calculează aria triunghiului format de graficul funcției $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = - 2 x - 8$ , cu axele de coordonate.

Rezolvare pas cu pas

Intersecția cu $O y$ : $f (0) = - 8$ , deci $B (0, - 8)$ .
Intersecția cu $O x$ : $- 2 x - 8 = 0$ , deci $- 2 x = 8$ și $x = - 4$ . Punctul este $A (- 4, 0)$ .
Ambele coordonate sunt negative, deci triunghiul se află în cadranul al III-lea. Lungimile se iau însă cu modul: $O A = | - 4 | = 4$ și $O B = | - 8 | = 8$ .
Aria: $𝒜 =$ $\frac{4 \cdot 8}{2} =$ $16$ unități de arie.

Răspuns: $16$

EXERCIȚIUL 3Perimetrul, cu teorema lui Pitagoramediu

Pentru funcția $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) =$ $\frac{12}{5} x - 12$ , calculează perimetrul și aria triunghiului format de grafic cu axele de coordonate.

Rezolvare pas cu pas

Intersecția cu $O y$ : $f (0) = - 12$ , deci $B (0, - 12)$ și $O B = 12$ .
Intersecția cu $O x$ : $\frac{12}{5} x - 12 =$ $0$ , deci $\frac{12}{5} x = 12$ și $x = 5$ . Punctul este $A (5, 0)$ , iar $O A = 5$ .
Ipotenuza, cu teorema lui Pitagora: $A B^{2} =$ $5^{2} + 12^{2} =$ $25 + 144 =$ $169$ , deci $A B = 13$ .
Perimetrul: $5 + 12 + 13 = 30$ . Aria: $\frac{5 \cdot 12}{2} =$ $30$ .
Perimetrul și aria au aceeași valoare numerică, dar se măsoară în unități diferite: unități de lungime, respectiv unități de arie.

Răspuns: perimetrul $30$ , aria $30$

EXERCIȚIUL 4Distanța de la origine la graficmediu

Se consideră funcția $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) =$ $- \frac{4}{3} x + 8$ . Calculează distanța de la originea $O$ a sistemului de axe la graficul funcției.

Rezolvare pas cu pas

Distanța de la $O$ la grafic este lungimea perpendicularei din $O$ pe dreaptă, adică înălțimea din unghiul drept al triunghiului $A O B$ .
Vârfurile: $f (0) = 8$ , deci $B (0, 8)$ ; din $- \frac{4}{3} x + 8 =$ $0$ rezultă $x = 6$ , deci $A (6, 0)$ . Catetele sunt $O A = 6$ și $O B = 8$ .
Ipotenuza: $A B^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $A B = 10$ .
Înălțimea: $d =$ $\frac{O A \cdot O B}{A B} =$ $\frac{6 \cdot 8}{10} =$ $\frac{48}{10} =$ $4,8$ .

Răspuns: $4,8$

EXERCIȚIUL 5Citești funcția și aria din graficmediu

În figură este reprezentat graficul unei funcții $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = a x + b$ . Citește coordonatele punctelor $A$ și $B$ , determină $a$ și $b$ , apoi calculează aria triunghiului $A O B$ .

Coordonatele punctelor se citesc pe caroiaj: fiecare pătrățel are latura de o unitate.

Rezolvare pas cu pas

Din figură: $A$ este pe $O x$ , la $2$ unități în stânga originii, deci $A (- 2, 0)$ . $B$ este pe $O y$ , la $4$ unități deasupra, deci $B (0, 4)$ .
Punctul de pe $O y$ îți dă direct $b$ : $f (0) = b = 4$ .
Punctul $A$ este pe grafic, deci $f (- 2) = 0$ : $- 2 a + 4 = 0$ , de unde $a = 2$ . Funcția este $f (x) = 2 x + 4$ .
Catetele sunt $O A = 2$ și $O B = 4$ , deci aria este $\frac{2 \cdot 4}{2} =$ $4$ unități de arie.

Răspuns: $f (x) = 2 x + 4$ , aria $4$

EXERCIȚIUL 6Afli parametrul din ariemediu

Se consideră funcția $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = x + m$ , unde $m > 0$ . Determină $m$ știind că aria triunghiului format de grafic cu axele de coordonate este $18$ .

Rezolvare pas cu pas

Vârfurile depind de $m$ . Din $f (0) = m$ rezultă $B (0, m)$ . Din $x + m = 0$ rezultă $x = - m$ , deci $A (- m, 0)$ .
Cum $m > 0$ , lungimile sunt $O A = | - m | = m$ și $O B = m$ .
Aria: $\frac{m \cdot m}{2} =$ $18$ , deci $m^{2} = 36$ .
Ecuația $m^{2} = 36$ are soluțiile $6$ și $- 6$ , dar enunțul cere $m > 0$ . Rămâne $m = 6$ .

Răspuns: $m = 6$

EXERCIȚIUL 7Graficul trece printr-un punct dat, apoi ariagreu

Graficul funcției $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = a x + 6$ , trece prin punctul $P (2, 3)$ . Determină $a$ și aria triunghiului format de grafic cu axele de coordonate.

Rezolvare pas cu pas

Punctul $P$ este pe grafic, deci $f (2) = 3$ : $2 a + 6 = 3$ , de unde $2 a = - 3$ și $a = - \frac{3}{2}$ .
Funcția este $f (x) =$ $- \frac{3}{2} x + 6$ . Intersecția cu $O y$ : $B (0, 6)$ .
Intersecția cu $O x$ : $- \frac{3}{2} x + 6 =$ $0$ , deci $\frac{3}{2} x = 6$ și $x = 4$ . Punctul este $A (4, 0)$ .
Aria: $\frac{O A \cdot O B}{2} =$ $\frac{4 \cdot 6}{2} =$ $12$ unități de arie. Punctul $P$ nu este vârf al triunghiului; el a servit doar ca să afli $a$ .

Răspuns: $a = - \frac{3}{2}$ , aria $12$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: arie, perimetru și distanțăgreu

Se consideră funcția $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = - x + 4$ . Graficul taie axa $O x$ în $A$ și axa $O y$ în $B$ . a) Determină coordonatele punctelor $A$ și $B$ . b) Calculează aria și perimetrul triunghiului $A O B$ . c) Calculează distanța de la punctul $O$ la dreapta $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $f (0) = 4$ , deci $B (0, 4)$ . Din $- x + 4 = 0$ rezultă $x = 4$ , deci $A (4, 0)$ .
b) Catetele sunt egale, $O A = O B = 4$ , deci triunghiul este dreptunghic isoscel. Aria: $\frac{4 \cdot 4}{2} =$ $8$ .
Ipotenuza: $A B^{2} = 16 + 16 = 32$ , deci $A B =$ $\sqrt{32} =$ $4 \sqrt{2}$ . Perimetrul: $4 + 4 + 4 \sqrt{2} =$ $8 + 4 \sqrt{2}$ .
c) Distanța este înălțimea din unghiul drept: $d =$ $\frac{O A \cdot O B}{A B} =$ $\frac{16}{4 \sqrt{2}} =$ $\frac{4}{\sqrt{2}}$ .
Raționalizezi numitorul: $\frac{4}{\sqrt{2}} =$ $\frac{4 \sqrt{2}}{2} =$ $2 \sqrt{2}$ . În triunghiul dreptunghic isoscel, înălțimea din unghiul drept este și mediană, deci $d =$ $\frac{A B}{2} =$ $2 \sqrt{2}$ , același rezultat.

Răspuns: a) $A (4, 0)$ , $B (0, 4)$ ; b) aria $8$ , perimetrul $8 + 4 \sqrt{2}$ ; c) $2 \sqrt{2}$

Cum recunoști un exercițiu cu triunghiul format de grafic și axe

Enunțul spune „triunghiul format de graficul funcției cu axele de coordonate” sau „triunghiul $A O B$ ”, unde $A$ și $B$ sunt pe axe? Primul pas este mereu intersecția cu fiecare axă.
Se cere „distanța de la origine la grafic” sau „distanța de la $O$ la dreapta $A B$ ”? Este înălțimea din unghiul drept, $\frac{O A \cdot O B}{A B}$ .
Aria este dată, iar funcția are un parametru? Scrii vârfurile cu parametrul, pui aria egală cu numărul dat și rezolvi ecuația obținută.

Greșeli frecvente la triunghiul format de grafic cu axele

Folosești coordonatele negative ca lungimi. Pentru $A (- 4, 0)$ și $B (0, - 8)$ catetele sunt $4$ și $8$ , nu $- 4$ și $- 8$ . Iei modulul fiecărei coordonate; așa nu riști să obții o arie cu semnul minus.
Inversezi condițiile pentru axe. Pentru axa $O x$ pui $f (x) = 0$ , iar pentru axa $O y$ pui $x = 0$ . Dacă le inversezi, obții puncte care nu sunt pe axele potrivite.
Iei ipotenuza drept înălțime. Distanța de la $O$ la grafic nu este $A B$ și nici una dintre catete. Este perpendiculara din $O$ pe $A B$ , adică $\frac{O A \cdot O B}{A B}$ , mai mică decât fiecare catetă.

Exersează : triunghiul format de grafic cu axele

Fișă de lucru: Funcții, exerciții, triunghiul format de axele de coordonate și graficul funcției, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Funcții, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Triunghiul format de axe și grafic, partea a 2-a, exercițiu de Evaluare Naționalăclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre triunghiul format de grafic cu axele

Ce fac dacă graficul trece prin origine?

Atunci $b = 0$ , iar punctele de pe axe coincid cu $O$ . Nu se formează niciun triunghi, deci nu ai ce arie să calculezi. De aceea, în aceste exerciții, termenul liber $b$ este mereu diferit de zero.

Contează în ce cadran se află triunghiul?

Nu pentru arie. Cadranul depinde de semnele coordonatelor lui $A$ și $B$ , dar catetele le iei cu modul, deci aria iese mereu pozitivă și se calculează la fel.

Pot afla ipotenuza fără teorema lui Pitagora?

Poți folosi formula distanței dintre două puncte, $A B =$ $\sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ . Pentru punctele de pe axe, ea dă exact același calcul ca teorema lui Pitagora.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Graficul funcției de gradul I $f (x) = 2 x + 4$ intersectează axa $O y$ în punctul:
2. Graficul funcției $f (x) = 3 x - 6$ intersectează axa $O x$ în punctul:
3. Fie funcția $f (x) = - x + 5$ . Triunghiul format de graficul funcției și axele de coordonate are vârfurile în punctele:
4. Care este aria triunghiului format de graficul funcției $f (x) = 2 x - 4$ și axele de coordonate?
5. Graficul funcției $f (x) = m x + n$ formează un triunghi cu axele de coordonate. Care condiție trebuie îndeplinită?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 12 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

FUNCȚIA LINIARĂ f(x) = ax + b, graficul și rolul lui a și b - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

INTERSECȚIA GRAFICELOR A DOUĂ FUNCȚII și intersecția cu axele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

DISTANȚE ÎN CORPURI GEOMETRICE între puncte, la drepte și la plane - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

VOLUMUL PIRAMIDEI cu orice bază, regulată sau nu - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

ARIA LATERALĂ, ARIA TOTALĂ ȘI VOLUMUL CONULUI circular drept - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

TRUNCHIUL DE CON generatoare, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună