DISTANȚE ÎN CORPURI GEOMETRICE între puncte, la drepte și la plane - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 12 octombrie 2026

Într-un corp geometric, distanța de la un punct la o dreaptă sau la un plan este lungimea perpendicularei duse din punct, iar ca s-o calculezi cauți triunghiul dreptunghic în care ea este catetă sau înălțime. Mai jos găsești cum alegi perpendiculara pentru fiecare tip de distanță și 8 exerciții rezolvate pas cu pas în cub, paralelipiped, prismă și piramidă, de la ușor la greu.

Tipurile de distanțe și cum găsești segmentul potrivit

În geometria în spațiu, distanța este întotdeauna lungimea celui mai scurt segment dintre două figuri. Pentru punct și dreaptă sau punct și plan, cel mai scurt segment este perpendiculara. Orice alt segment este ipotenuză într-un triunghi dreptunghic, deci este mai lung.

A A^{'}

este distanța de la

A^{'}

la bază,

D^{'} C

este distanța de la

D^{'}

la dreapta

B C

(pentru că

B C ⟂ (D C C^{'})

), iar

A C^{'}

este distanța dintre vârfurile

A

și

C^{'}

Între două puncte: lungimea segmentului care le unește. În corpuri, de obicei o diagonală: diagonala unei fețe sau diagonala corpului. La paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile $a$ , $b$ , $c$ , diagonala este $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ , iar la cubul cu muchia $a$ este $a \sqrt{3}$ .
De la un punct la o dreaptă: lungimea perpendicularei din punct pe dreaptă. Dacă dreapta este perpendiculară pe un plan care conține punctul, perpendiculara se vede imediat (exercițiul 2). Altfel, folosești teorema celor trei perpendiculare: proiectezi punctul pe un plan care conține dreapta, duci din proiecție perpendiculara pe dreaptă și unești.
De la un punct la un plan: lungimea perpendicularei pe plan. Ca s-o construiești, cauți o dreaptă din plan perpendiculară pe un plan care trece prin punct; în acel plan duci perpendiculara pe dreapta de intersecție.
De la o dreaptă paralelă cu un plan la acel plan și între două plane paralele: distanța de la orice punct al dreptei (sau al primului plan) la celălalt plan. Toate punctele sunt la fel de departe, deci alegi punctul cel mai comod.

Când distanța este înălțimea unui triunghi dreptunghic, o afli din aria lui, scrisă în două feluri:

$h =$ $\frac{c_{1} \cdot c_{2}}{i p}$

unde $c_{1}$ , $c_{2}$ sunt catetele, iar $i p$ este ipotenuza. Această formulă apare des la distanța de la centrul bazei unei piramide la o față laterală și la distanța de la un vârf al cubului la un plan care taie cubul.

Ce perpendiculare ai gata făcute în corpuri: muchiile laterale ale prismei drepte (deci și ale cubului și paralelipipedului) sunt perpendiculare pe baze; înălțimea piramidei regulate cade în centrul bazei; apotema piramidei regulate este perpendiculară pe latura bazei; în paralelipipedul dreptunghic, o muchie a bazei este perpendiculară pe cele două fețe laterale care o întâlnesc doar într-un capăt (de exemplu, $B C ⟂ (A B B^{'})$ și $B C ⟂ (D C C^{'})$ ).

Exerciții rezolvate : distanțe în corpuri geometrice

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Cele mai depărtate vârfuri ale unei cutiiușor

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 3$ cm, $B C = 2$ cm și $A A^{'} = 6$ cm. Calculează distanța de la $A$ la $C$ , distanța de la $A$ la $C^{'}$ și distanța de la $B^{'}$ la $D$ .

Rezolvare pas cu pas

$A C$ este diagonala dreptunghiului $A B C D$ : $A C^{2} =$ $3^{2} + 2^{2} =$ $13$ , deci $A C = \sqrt{13}$ cm.
$C C^{'} ⟂ (A B C)$ , deci triunghiul $A C C^{'}$ este dreptunghic în $C$ : $A C^{' 2} = 13 + 36 = 49$ , deci $A C^{'} = 7$ cm.
Cu formula diagonalei: $\sqrt{3^{2} + 2^{2} + 6^{2}} =$ $\sqrt{49} =$ $7$ cm, același rezultat.
$B^{'} D$ este tot o diagonală a paralelipipedului, iar toate cele patru diagonale au aceeași lungime: $B^{'} D = 7$ cm.

Răspuns: $A C = \sqrt{13}$ cm, $A C^{'} = B^{'} D = 7$ cm

EXERCIȚIUL 2Distanța la o muchie, în cubușor

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de $5$ cm. Calculează: a) distanța de la $A^{'}$ la planul $(A B C)$ ; b) distanța de la $D^{'}$ la dreapta $B C$ ; c) distanța de la $A$ la dreapta $C C^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $A^{'} A ⟂ (A B C)$ , deci distanța este muchia: $5$ cm.
b) $B C ⟂ C D$ și $B C ⟂ C C^{'}$ , deci $B C ⟂ (D C C^{'})$ . Dreapta $C D^{'}$ este în acest plan, deci $B C ⟂ C D^{'}$ : perpendiculara din $D^{'}$ pe $B C$ are piciorul în $C$ .
Distanța este $D^{'} C$ , diagonala feței $D C C^{'} D^{'}$ : $D^{'} C = 5 \sqrt{2}$ cm.
c) $C C^{'} ⟂ (A B C)$ , deci $C C^{'} ⟂ C A$ : perpendiculara din $A$ pe $C C^{'}$ are piciorul în $C$ , iar distanța este $A C = 5 \sqrt{2}$ cm.

Răspuns: a) $5$ cm; b) $D^{'} C = 5 \sqrt{2}$ cm; c) $A C = 5 \sqrt{2}$ cm

EXERCIȚIUL 3De la vârful de sus la latura opusă, în prismăușor

Prisma triunghiulară regulată $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ are latura bazei de $6$ cm și muchia laterală de $3$ cm, iar $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează distanța dintre planele bazelor, distanța de la $A$ la dreapta $B C$ și distanța de la $A^{'}$ la dreapta $B C$ .

Rezolvare pas cu pas

Bazele sunt paralele, iar muchia $A A^{'}$ este perpendiculară pe ele: distanța dintre plane este $A A^{'} = 3$ cm.
În triunghiul echilateral $A B C$ , mediana $A M$ este și înălțime: distanța de la $A$ la $B C$ este $A M =$ $\frac{6 \sqrt{3}}{2} =$ $3 \sqrt{3}$ cm.
$B C ⟂ A M$ și $B C ⟂ A A^{'}$ (muchia e perpendiculară pe bază), deci $B C ⟂ (A A^{'} M)$ și $B C ⟂ A^{'} M$ . Distanța de la $A^{'}$ la $B C$ este $A^{'} M$ .
Triunghiul $A^{'} A M$ este dreptunghic în $A$ : $A^{'} M^{2} = 9 + 27 = 36$ , deci $A^{'} M = 6$ cm.

Răspuns: $3$ cm; $A M = 3 \sqrt{3}$ cm; $A^{'} M = 6$ cm

EXERCIȚIUL 4Prisma hexagonală: muchii și fețe opusemediu

Prisma hexagonală regulată $A B C D E F A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'}$ are latura bazei de $4$ cm și muchia laterală de $6$ cm. Calculează: a) distanța dintre dreptele paralele $A A^{'}$ și $D D^{'}$ ; b) distanța de la $A^{'}$ la $D$ ; c) distanța dintre planele fețelor laterale opuse $(A B B^{'} A^{'})$ și $(D E E^{'} D^{'})$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $A D$ este o diagonală mare a hexagonului regulat, deci $A D = 2 \cdot 4 = 8$ cm. $A D ⟂ A A^{'}$ și $A D ⟂ D D^{'}$ (muchiile sunt perpendiculare pe bază), deci $A D$ este perpendiculara comună: distanța este $8$ cm.
b) Triunghiul $A^{'} A D$ este dreptunghic în $A$ : $A^{'} D^{2} =$ $36 + 64 =$ $100$ , deci $A^{'} D = 10$ cm.
c) $A B ∥ D E$ și $A A^{'} ∥ D D^{'}$ , deci cele două fețe sunt în plane paralele. Distanța dintre ele este distanța dintre laturile paralele $A B$ și $D E$ ale hexagonului, măsurată pe un segment din bază perpendicular pe ambele (acel segment este perpendicular și pe muchiile laterale).
Hexagonul este format din șase triunghiuri echilaterale cu latura $4$ cm. Distanța dintre două laturi opuse este de două ori înălțimea unui astfel de triunghi: $2 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{2} =$ $4 \sqrt{3}$ cm.

Răspuns: a) $8$ cm; b) $10$ cm; c) $4 \sqrt{3}$ cm

EXERCIȚIUL 5Trei distanțe în aceeași piramidămediu

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are latura bazei de $6 \sqrt{3}$ cm și înălțimea $V O = 4$ cm, unde $O$ este centrul bazei, iar $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează distanța de la $O$ la dreapta $B C$ , distanța de la $V$ la dreapta $B C$ și distanța de la $V$ la vârful $A$ .

Rezolvare pas cu pas

Înălțimea bazei: $A M =$ $\frac{6 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} =$ $9$ cm. $O$ este centrul de greutate, deci $O M =$ $\frac{9}{3} =$ $3$ cm și $O A = 6$ cm.
$O M ⟂ B C$ (este pe înălțimea $A M$ ), deci distanța de la $O$ la $B C$ este $O M = 3$ cm.
$V O ⟂ (A B C)$ și $O M ⟂ B C$ . Din teorema celor trei perpendiculare, $V M ⟂ B C$ : distanța de la $V$ la $B C$ este apotema $V M$ . În triunghiul $V O M$ : $V M^{2} = 16 + 9 = 25$ , $V M = 5$ cm.
Distanța de la $V$ la $A$ este muchia laterală. În triunghiul $V O A$ : $V A^{2} = 16 + 36 = 52$ , deci $V A = 2 \sqrt{13}$ cm.

Răspuns: $O M = 3$ cm, $V M = 5$ cm, $V A = 2 \sqrt{13}$ cm

EXERCIȚIUL 6O muchie paralelă cu un plan diagonalmediu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 8$ cm, $B C = 6$ cm și $A A^{'} = 4$ cm. a) Arată că dreapta $D D^{'}$ este paralelă cu planul $(A C C^{'} A^{'})$ . b) Calculează distanța de la dreapta $D D^{'}$ la planul $(A C C^{'} A^{'})$ .

Paralelismul și perpendicularitatea nu se citesc din desen: le arăți în rezolvare.

Rezolvare pas cu pas

a) $D D^{'} ∥ A A^{'}$ , iar $A A^{'}$ este în planul $(A C C^{'} A^{'})$ . O dreaptă paralelă cu o dreaptă din plan, care nu este în plan, este paralelă cu planul.
b) Toate punctele dreptei sunt la aceeași distanță de plan, deci calculezi distanța de la $D$ . Duci $D E ⟂ A C$ , cu $E \in A C$ .
$D E ⟂ A C$ și $D E ⟂ A A^{'}$ (pentru că $A A^{'} ⟂ (A B C)$ ), iar $A C$ și $A A^{'}$ sunt concurente în planul diagonal. Deci $D E ⟂ (A C C^{'} A^{'})$ .
În triunghiul $A D C$ , dreptunghic în $D$ : $A C =$ $\sqrt{36 + 64} =$ $10$ cm, iar $D E =$ $\frac{A D \cdot D C}{A C} =$ $\frac{6 \cdot 8}{10} =$ $4,8$ cm.
Înălțimea paralelipipedului nu a contat: distanța rămâne $4,8$ cm pentru orice $A A^{'}$ .

Răspuns: a) $D D^{'} ∥ A A^{'} \subset (A C C^{'})$ ; b) $4,8$ cm

EXERCIȚIUL 7Centrul și un vârf al bazei față de o față lateralăgreu

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are latura bazei de $12 \sqrt{3}$ cm și înălțimea $V O = 8$ cm, iar $M$ este mijlocul lui $B C$ . a) Arată că $B C ⟂ (V A M)$ . b) Calculează distanța de la $O$ la planul $(V B C)$ . c) Calculează distanța de la vârful $A$ la planul $(V B C)$ .

Perpendiculara din A pe planul (VBC) nu este desenată: piciorul ei cade pe prelungirea lui MV, dincolo de V.

Rezolvare pas cu pas

a) $B C ⟂ A M$ (înălțime în triunghiul echilateral) și $B C ⟂ V O$ ( $V O ⟂ (A B C)$ ). $A M$ și $V O$ sunt concurente în $O$ , deci $B C ⟂ (V A M)$ .
b) $A M =$ $\frac{12 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} =$ $18$ cm, $O M = 6$ cm, iar $V M =$ $\sqrt{64 + 36} =$ $10$ cm. În planul $(V A M)$ duci $O P ⟂ V M$ . Cum $B C ⟂ (V A M)$ , și $O P ⟂ B C$ , deci $O P ⟂ (V B C)$ .
În triunghiul $V O M$ , dreptunghic în $O$ : $O P =$ $\frac{V O \cdot O M}{V M} =$ $\frac{8 \cdot 6}{10} =$ $4,8$ cm.
c) La fel, perpendiculara $A Q$ din $A$ pe dreapta $V M$ este perpendiculară pe $(V B C)$ . $A Q ∥ O P$ , iar punctele $M$ , $O$ , $A$ sunt coliniare, cu $M A = 3 \cdot M O$ .
Triunghiurile $M O P$ și $M A Q$ sunt asemenea (au unghiul din $M$ comun și câte un unghi drept), deci $A Q =$ $3 \cdot O P =$ $14,4$ cm.

Răspuns: a) $B C ⟂ (V A M)$ ; b) $4,8$ cm; c) $14,4$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: distanța de la un vârf la planul A'BDgreu

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de $6$ cm, iar $O$ este centrul bazei $A B C D$ . a) Calculează distanța de la $A^{'}$ la dreapta $B D$ . b) Arată că distanța de la $A$ la planul $(A^{'} B D)$ este $2 \sqrt{3}$ cm. c) Calculează distanța de la $C$ la planul $(A^{'} B D)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $A O ⟂ B D$ (diagonalele pătratului) și $A^{'} A ⟂ (A B C)$ . Din teorema celor trei perpendiculare, $A^{'} O ⟂ B D$ : distanța este $A^{'} O$ .
$A O =$ $\frac{6 \sqrt{2}}{2} =$ $3 \sqrt{2}$ cm. În triunghiul $A^{'} A O$ , dreptunghic în $A$ : $A^{'} O^{2} = 36 + 18 = 54$ , deci $A^{'} O = 3 \sqrt{6}$ cm.
b) $B D ⟂ A O$ și $B D ⟂ A A^{'}$ , deci $B D ⟂ (A A^{'} O)$ . Duci $A P ⟂ A^{'} O$ , cu $P \in A^{'} O$ . Atunci $A P ⟂ B D$ și $A P ⟂ A^{'} O$ , două drepte concurente din planul $(A^{'} B D)$ : $A P ⟂ (A^{'} B D)$ .
$A P =$ $\frac{A A^{'} \cdot A O}{A^{'} O} =$ $\frac{6 \cdot 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{6}} =$ $\frac{6}{\sqrt{3}} =$ $2 \sqrt{3}$ cm.
c) Fie $C Q$ perpendiculara din $C$ pe planul $(A^{'} B D)$ . $A P$ și $C Q$ sunt perpendiculare pe același plan, deci paralele, și determină un plan care taie $(A^{'} B D)$ după dreapta $P Q$ . Punctul $O$ este pe $A C$ și în $(A^{'} B D)$ , deci $O \in P Q$ .
Triunghiurile dreptunghice $A P O$ și $C Q O$ au ipotenuzele egale ( $O A = O C$ ) și unghiurile din $O$ opuse la vârf, deci sunt congruente: $C Q = A P = 2 \sqrt{3}$ cm.

Răspuns: a) $A^{'} O = 3 \sqrt{6}$ cm; b) $2 \sqrt{3}$ cm; c) $2 \sqrt{3}$ cm

Cum recunoști ce distanță ți se cere

„Distanța de la $X$ la $Y$ ”, cu două vârfuri: cauți segmentul care le unește și un triunghi dreptunghic în care el este ipotenuză (de obicei o diagonală).
„Distanța de la un punct la o dreaptă”: verifici întâi dacă dreapta este perpendiculară pe o față care conține punctul; dacă nu, proiectezi punctul și folosești teorema celor trei perpendiculare.
„Distanța la un plan” sau „între plane paralele”: cauți o dreaptă din plan perpendiculară pe un plan prin punct, apoi duci perpendiculara pe dreapta de intersecție și o calculezi ca înălțime într-un triunghi dreptunghic.

Greșeli frecvente la distanțe în corpuri geometrice

Iei un segment oblic drept distanță. Distanța este doar perpendiculara. De la $V$ la $B C$ este apotema $V M$ , nu muchia $V B$ , care este mai lungă.
Pui piciorul perpendicularei într-un vârf „la ochi”. Desenul în perspectivă înșală. Justifică de fiecare dată unghiul drept: o dreaptă perpendiculară pe un plan, criteriul cu două drepte concurente sau teorema celor trei perpendiculare.
Calculezi distanța de la o dreaptă la un plan dintr-un punct oarecare, fără să verifici paralelismul. Doar dacă dreapta este paralelă cu planul toate punctele ei sunt la aceeași distanță. Arată întâi paralelismul, apoi alege punctul cel mai comod.

Exersează : distanțe în corpuri geometrice

Fișă de lucru: Distanțe și măsuri de unghiuri în corpurile geometrice, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Corpuri geometrice, clasa a VIII-acu barem (PDF) Test: Geometrie în spațiu, clasa a VIII-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre distanțe în corpuri geometrice

Distanța de la un punct la un plan se poate calcula fără să găsesc piciorul perpendicularei?

În acest capitol, nu: construiești perpendiculara și o calculezi într-un triunghi dreptunghic. Mai târziu, la volume, vei învăța și o metodă cu volumul piramidei.

De ce distanța dintre două plane paralele e aceeași oriunde aș măsura?

Pentru că perpendicularele comune dintre ele sunt paralele și formează dreptunghiuri cu planele, deci au toate aceeași lungime.

Cum știu că am ales segmentul bun?

Verifică două lucruri: segmentul pleacă din punctul dat și este perpendicular pe dreaptă (sau pe două drepte concurente din plan). Dacă poți justifica ambele, ai găsit distanța.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Un cub are muchia de lungime 6 cm. Care este lungimea diagonalei unei fețe a cubului?
2. Un cub are muchia de lungime 6 cm. Care este lungimea diagonalei spațiale (mari) a cubului?
3. În paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile $a = 3$ cm, $b = 4$ cm, $c = 12$ cm, care este lungimea diagonalei spațiale?
4. La o piramidă pătrată regulată cu baza de latură $a = 6$ cm și înălțimea $H = 4$ cm, cât măsoară apotema feței laterale (înălțimea unui triunghi lateral)?
5. Într-un con circular drept cu raza bazei $r = 5$ cm și înălțimea $h = 5$ cm, care este măsura unghiului dintre generatoare și planul bazei?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 12 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

INTERSECȚIA GRAFICELOR A DOUĂ FUNCȚII și intersecția cu axele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

ARIA TRIUNGHIULUI FORMAT DE GRAFIC CU AXELE de coordonate, perimetrul și distanța la origine - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

VOLUMUL PIRAMIDEI cu orice bază, regulată sau nu - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

ARIA LATERALĂ, ARIA TOTALĂ ȘI VOLUMUL CONULUI circular drept - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

TRUNCHIUL DE CON generatoare, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

VOLUMUL ȘI ARIA SFEREI: formule, emisfera și raza - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună