COMPARAREA FRACȚIILOR ordinare și ordonarea lor - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

1. a) Ambele fracții au numitorul $9$, deci compari numărătorii: $5<7$.
2. Așadar ${\displaystyle \frac{5}{9}}<{\displaystyle \frac{7}{9}}$: cinci părți din nouă sunt mai puține decât șapte părți din nouă.
3. b) Numitorul comun este $13$, iar $11>4$, deci ${\displaystyle \frac{11}{13}}>{\displaystyle \frac{4}{13}}$.

Răspuns: a) ${\displaystyle \frac{5}{9}}<{\displaystyle \frac{7}{9}}$; b) ${\displaystyle \frac{11}{13}}>{\displaystyle \frac{4}{13}}$

1. a) Numărătorii sunt egali, deci este mai mare fracția cu numitorul mai mic.
2. $5<8$, deci o cincime este mai mare decât o optime și ${\displaystyle \frac{3}{5}}>{\displaystyle \frac{3}{8}}$.
3. b) Tot numărători egali: $10<12$, deci fracția cu numitorul $10$ este mai mare: ${\displaystyle \frac{7}{12}}<{\displaystyle \frac{7}{10}}$.

Răspuns: a) ${\displaystyle \frac{3}{5}}>{\displaystyle \frac{3}{8}}$; b) ${\displaystyle \frac{7}{12}}<{\displaystyle \frac{7}{10}}$

1. O diviziune mică reprezintă ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. Numeri diviziunile de la $0$ până la fiecare punct.
2. $A$ este la trei diviziuni: ${\displaystyle \frac{3}{4}}$. $B$ este la cinci diviziuni: ${\displaystyle \frac{5}{4}}$.
3. $C$ este la două diviziuni: ${\displaystyle \frac{2}{4}}$, adică ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ după simplificare. $D$ este la șapte diviziuni: ${\displaystyle \frac{7}{4}}$.
4. Pe axă ordinea de la stânga la dreapta este $C$, $A$, $B$, $D$, deci ${\displaystyle \frac{2}{4}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}<{\displaystyle \frac{5}{4}}<{\displaystyle \frac{7}{4}}$. Aceeași ordine o dau și numărătorii: $2<3<5<7$.

Răspuns: $A={\displaystyle \frac{3}{4}}$, $B={\displaystyle \frac{5}{4}}$, $C={\displaystyle \frac{2}{4}}$, $D={\displaystyle \frac{7}{4}}$; ${\displaystyle \frac{2}{4}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}<{\displaystyle \frac{5}{4}}<{\displaystyle \frac{7}{4}}$

1. a) $9>7$, deci ${\displaystyle \frac{9}{7}}$ este supraunitară, adică mai mare decât $1$. $6<11$, deci ${\displaystyle \frac{6}{11}}$ este subunitară, mai mică decât $1$.
2. Rezultă ${\displaystyle \frac{6}{11}}<1<{\displaystyle \frac{9}{7}}$, deci ${\displaystyle \frac{9}{7}}>{\displaystyle \frac{6}{11}}$.
3. b) Ambele fracții sunt subunitare, așa că le compari cu ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. La ${\displaystyle \frac{7}{15}}$: $2\cdot 7=14<15$, deci fracția este mai mică decât o jumătate.
4. La ${\displaystyle \frac{9}{16}}$: $2\cdot 9=18>16$, deci fracția este mai mare decât o jumătate.
5. Așadar ${\displaystyle \frac{7}{15}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{9}{16}}$.

Răspuns: a) ${\displaystyle \frac{9}{7}}>{\displaystyle \frac{6}{11}}$; b) ${\displaystyle \frac{7}{15}}<{\displaystyle \frac{9}{16}}$

1. a) $12$ se împarte exact la $6$ ($12:6=2$), deci $12$ poate fi numitorul comun. Amplifici ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ cu $2$: ${\displaystyle \frac{5}{6}}=$ ${\displaystyle \frac{10}{12}}$.
2. Compari ${\displaystyle \frac{10}{12}}$ cu ${\displaystyle \frac{7}{12}}$: $10>7$, deci ${\displaystyle \frac{5}{6}}>{\displaystyle \frac{7}{12}}$.
3. b) $18:9=2$, deci amplifici ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ cu $2$: ${\displaystyle \frac{4}{9}}=$ ${\displaystyle \frac{8}{18}}$.
4. $8<11$, deci ${\displaystyle \frac{4}{9}}<{\displaystyle \frac{11}{18}}$.

Răspuns: a) ${\displaystyle \frac{5}{6}}>{\displaystyle \frac{7}{12}}$; b) ${\displaystyle \frac{4}{9}}<{\displaystyle \frac{11}{18}}$

1. a) Nici $4$, nici $7$ nu se împarte exact la celălalt, așa că iei numitorul comun $4\cdot 7=28$.
2. Amplifici prima fracție cu $7$ și pe a doua cu $4$: ${\displaystyle \frac{3}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{21}{28}}$ și ${\displaystyle \frac{5}{7}}=$ ${\displaystyle \frac{20}{28}}$.
3. $21>20$, deci ${\displaystyle \frac{3}{4}}>{\displaystyle \frac{5}{7}}$. Diferența e mică, așa că aici chiar ai nevoie de calcul.
4. b) Numitorul comun este $9\cdot 5=45$: ${\displaystyle \frac{7}{9}}=$ ${\displaystyle \frac{35}{45}}$ și ${\displaystyle \frac{4}{5}}=$ ${\displaystyle \frac{36}{45}}$.
5. $35<36$, deci ${\displaystyle \frac{7}{9}}<{\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Răspuns: a) ${\displaystyle \frac{3}{4}}>{\displaystyle \frac{5}{7}}$; b) ${\displaystyle \frac{7}{9}}<{\displaystyle \frac{4}{5}}$

1. Cauți un număr care se împarte exact la $8$, la $10$ și la $3$. Încerci pe rând multiplii lui $10$: $40$ și $80$ se împart la $8$, dar nu la $3$; primul care se împarte exact la toți trei este $120$.
2. Amplifici: ${\displaystyle \frac{5}{8}}=$ ${\displaystyle \frac{75}{120}}$ (cu $15$), ${\displaystyle \frac{7}{10}}=$ ${\displaystyle \frac{84}{120}}$ (cu $12$), ${\displaystyle \frac{2}{3}}=$ ${\displaystyle \frac{80}{120}}$ (cu $40$).
3. Compari numărătorii: $75<80<84$.
4. Deci ${\displaystyle \frac{5}{8}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}<{\displaystyle \frac{7}{10}}$: Ioana a alergat cel mai mult, iar Mihai cel mai puțin.

Răspuns: ${\displaystyle \frac{5}{8}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}<{\displaystyle \frac{7}{10}}$; Ioana a alergat cel mai mult, Mihai cel mai puțin

1. a) Aduci capetele la numitorul $10$, amplificând cu $2$: ${\displaystyle \frac{2}{5}}=$ ${\displaystyle \frac{4}{10}}$ și ${\displaystyle \frac{4}{5}}=$ ${\displaystyle \frac{8}{10}}$.
2. Acum toate fracțiile au numitorul $10$: ${\displaystyle \frac{4}{10}}<{\displaystyle \frac{n}{10}}<{\displaystyle \frac{8}{10}}$, deci $4<n<8$, adică $n\in \{5,6,7\}$.
3. b) Aici necunoscuta e la numitor, așa că aduci capetele la același numărător, $3$, amplificând cu $3$: ${\displaystyle \frac{1}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{12}}$ și ${\displaystyle \frac{1}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{6}}$.
4. Ai ${\displaystyle \frac{3}{12}}<{\displaystyle \frac{3}{k}}<{\displaystyle \frac{3}{6}}$. La numărători egali, fracția mai mare are numitorul mai mic, deci ordinea numitorilor se inversează: $6<k<12$.
5. Rezultă $k\in \{7,$ $8,$ $9,$ $10,$ $11\}$. Verificare pentru $k=7$: ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ este sub jumătate ($6<7$) și peste ${\displaystyle \frac{3}{12}}$, cum se cere.

Răspuns: a) $n\in \{5,6,7\}$; b) $k\in \{7,$ $8,$ $9,$ $10,$ $11\}$