DESCOMPUNEREA ÎN FACTORI CU FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT pătratul unui binom și diferența de pătrate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 12 octombrie 2026

La descompunerea cu formule de calcul prescurtat citești formulele de la dreapta la stânga: $a^{2} - b^{2} =$ $(a - b) (a + b)$ și $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} =$ ${(a \pm b)}^{2}$ . Toată greutatea stă în a recunoaște forma, chiar și când $a$ sau $b$ este un radical, o fracție sau o paranteză. Mai jos găsești semnele după care o recunoști și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cele trei forme pe care trebuie să le recunoști

Formulele de calcul prescurtat le-ai folosit până acum ca să desfaci paranteze. La descompunerea în factori faci drumul invers: pleci de la o sumă și ajungi la un produs. Sunt trei forme de recunoscut.

1. Diferența de pătrate. Doi termeni, amândoi pătrate, cu minus între ei:

$a^{2} - b^{2} =$ $(a - b) (a + b)$

Ca să o aplici, scrii fiecare termen ca pătrat: $16 x^{2} = {(4 x)}^{2}$ , $\frac{1}{9} =$ ${(\frac{1}{3})}^{2}$ . În clasa a VIII-a lucrezi în $ℝ$ , deci și un număr care nu este pătrat perfect se poate scrie ca pătrat: $5 = {(\sqrt{5})}^{2}$ . Asta înseamnă că $x^{2} - 5$ se descompune, chiar dacă $5$ nu este pătrat perfect.

2. Pătratul sumei și 3. pătratul diferenței. Trei termeni: doi sunt pătrate, iar al treilea este dublul produsului bazelor lor:

$a^{2} + 2 a b + b^{2} =$ ${(a + b)}^{2}$

$a^{2} - 2 a b + b^{2} =$ ${(a - b)}^{2}$

Testul pentru trei termeni. Găsești bazele celor două pătrate, $a$ și $b$ , calculezi $2 a b$ și îl compari cu termenul din mijloc. Dacă se potrivește, semnul din mijloc îți spune care formulă e: plus pentru pătratul sumei, minus pentru pătratul diferenței. Dacă nu se potrivește, trinomul nu este pătratul unui binom. De exemplu, la $x^{2} + 6 x + 4$ , bazele sunt $x$ și $2$ , dar $2 \cdot x \cdot 2 =$ $4 x$ , nu $6 x$ .

Ce NU se descompune cu formulele. O sumă de două pătrate, ca $x^{2} + 9$ , nu are formulă în numere reale. Un trinom care nu trece testul nu este un pătrat perfect, chiar dacă primul și ultimul termen sunt pătrate.

Înainte de formule, factorul comun. Dacă toți termenii au un factor comun, îl scoți întâi. Abia ce rămâne în paranteză are șansa să arate ca o formulă.

Exerciții rezolvate : descompunerea cu formule de calcul prescurtat

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Care formulă se potrivește?ușor

Descompune în factori, dacă se poate, folosind formulele de calcul prescurtat: a) $36 - x^{2}$ ; b) $x^{2} + 16 x + 64$ ; c) $x^{2} + 64$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Doi termeni, amândoi pătrate, cu minus între ei: $36 = 6^{2}$ . Este diferența de pătrate, cu $a = 6$ și $b = x$ : $36 - x^{2} =$ $(6 - x) (6 + x)$ . Ordinea contează: primul pătrat este cel din fața minusului.
b) Trei termeni. Pătratele sunt $x^{2}$ și $64 = 8^{2}$ , deci bazele sunt $x$ și $8$ . Testul: $2 \cdot x \cdot 8 =$ $16 x$ , exact termenul din mijloc, cu plus.
Deci $x^{2} + 16 x + 64 =$ ${(x + 8)}^{2}$ .
c) Sunt două pătrate, dar cu plus între ele. Diferența de pătrate cere minus, iar pentru o sumă de pătrate nu există formulă. Expresia $x^{2} + 64$ nu se descompune cu formulele învățate.

Răspuns: a) $(6 - x) (6 + x)$ ; b) ${(x + 8)}^{2}$ ; c) nu se descompune

EXERCIȚIUL 2Pătratul unui binom cu două litere și cu fracțiiușor

Descompune în factori: a) $49 a^{2} - 28 a b + 4 b^{2}$ ; b) $\frac{x^{2}}{4} + x + 1$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $49 a^{2} = {(7 a)}^{2}$ și $4 b^{2} = {(2 b)}^{2}$ , deci bazele sunt $7 a$ și $2 b$ .
Testul: $2 \cdot 7 a \cdot 2 b =$ $28 a b$ , exact termenul din mijloc, cu minus. Rezultă $49 a^{2} - 28 a b + 4 b^{2} =$ ${(7 a - 2 b)}^{2}$ .
b) $\frac{x^{2}}{4} =$ ${(\frac{x}{2})}^{2}$ și $1 = 1^{2}$ , deci bazele sunt $\frac{x}{2}$ și $1$ .
Testul: $2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1 =$ $x$ , adică termenul din mijloc. Rezultă $\frac{x^{2}}{4} + x + 1 =$ ${(\frac{x}{2} + 1)}^{2}$ .

Răspuns: a) ${(7 a - 2 b)}^{2}$ ; b) ${(\frac{x}{2} + 1)}^{2}$

EXERCIȚIUL 3Diferența de pătrate cu radicaliușor

Descompune în factori în $ℝ$ : a) $x^{2} - 7$ ; b) $3 x^{2} - 2$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Numărul $7$ nu este pătrat perfect, dar în $ℝ$ îl poți scrie ca pătrat: $7 = {(\sqrt{7})}^{2}$ .
Expresia devine $x^{2} - {(\sqrt{7})}^{2} =$ $(x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$ .
b) Scrii ambii termeni ca pătrate: $3 x^{2} = {(\sqrt{3} x)}^{2}$ și $2 = {(\sqrt{2})}^{2}$ .
Rezultă $3 x^{2} - 2 =$ $(\sqrt{3} x - \sqrt{2}) (\sqrt{3} x + \sqrt{2})$ . Verificare: ${(\sqrt{3} x)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2} =$ $3 x^{2} - 2$ .

Răspuns: a) $(x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$ ; b) $(\sqrt{3} x - \sqrt{2}) (\sqrt{3} x + \sqrt{2})$

EXERCIȚIUL 4Pătratul unui binom cu radical în termenul din mijlocmediu

Descompune în factori: a) $x^{2} - 2 \sqrt{3} x + 3$ ; b) $2 x^{2} + 2 \sqrt{2} x + 1$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Pătratele sunt $x^{2}$ și $3 = {(\sqrt{3})}^{2}$ , deci bazele sunt $x$ și $\sqrt{3}$ .
Testul: $2 \cdot x \cdot \sqrt{3} =$ $2 \sqrt{3} x$ , termenul din mijloc, cu minus. Deci $x^{2} - 2 \sqrt{3} x + 3 =$ ${(x - \sqrt{3})}^{2}$ .
b) $2 x^{2} = {(\sqrt{2} x)}^{2}$ și $1 = 1^{2}$ , deci bazele sunt $\sqrt{2} x$ și $1$ .
Testul: $2 \cdot \sqrt{2} x \cdot 1 =$ $2 \sqrt{2} x$ , termenul din mijloc, cu plus. Deci $2 x^{2} + 2 \sqrt{2} x + 1 =$ ${(\sqrt{2} x + 1)}^{2}$ .

Răspuns: a) ${(x - \sqrt{3})}^{2}$ ; b) ${(\sqrt{2} x + 1)}^{2}$

EXERCIȚIUL 5Diferența pătratelor a două parantezemediu

Descompune în factori expresia ${(3 x - 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

Expresia are forma $a^{2} - b^{2}$ , cu $a = 3 x - 2$ și $b = x + 4$ . Nu desfaci pătratele: aplici direct formula.
Primul factor este $a - b =$ $(3 x - 2) - (x + 4) =$ $3 x - 2 - x - 4 =$ $2 x - 6$ . Minusul din fața parantezei schimbă ambele semne.
Al doilea factor este $a + b =$ $(3 x - 2) + (x + 4) =$ $4 x + 2$ .
Ai $(2 x - 6) (4 x + 2)$ . Din fiecare paranteză scoți factorul comun: $2 x - 6 = 2 (x - 3)$ și $4 x + 2 = 2 (2 x + 1)$ .
Rezultatul final: $4 (x - 3) (2 x + 1)$ .

Răspuns: $4 (x - 3) (2 x + 1)$

EXERCIȚIUL 6Diferența de pătrate aplicată de două orimediu

Descompune complet în factori expresia $x^{4} - 81$ .

Rezolvare pas cu pas

Scrii ambii termeni ca pătrate: $x^{4} = {(x^{2})}^{2}$ și $81 = 9^{2}$ .
Aplici diferența de pătrate: $x^{4} - 81 =$ $(x^{2} - 9) (x^{2} + 9)$ .
Primul factor este tot o diferență de pătrate: $x^{2} - 9 =$ $(x - 3) (x + 3)$ .
Al doilea factor, $x^{2} + 9$ , este o sumă de pătrate și nu se mai descompune. Rezultatul complet: $(x - 3) (x + 3) (x^{2} + 9)$ .

Răspuns: $(x - 3) (x + 3) (x^{2} + 9)$

EXERCIȚIUL 7Minus în fața unui pătrat și pătrat din pătrategreu

Descompune în factori: a) $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ ; b) ${(x^{2} + 1)}^{2} - 4 x^{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Primul termen are minus, așa că nu pare o formulă. Scoți factorul comun $- 3$ : $- 3 x^{2} + 12 x - 12 =$ $- 3 (x^{2} - 4 x + 4)$ . Toate semnele din paranteză se schimbă.
În paranteză, bazele sunt $x$ și $2$ , iar $2 \cdot x \cdot 2 =$ $4 x$ , cu minus. Deci $x^{2} - 4 x + 4 =$ ${(x - 2)}^{2}$ , iar rezultatul este $- 3 {(x - 2)}^{2}$ .
b) Este o diferență de pătrate cu $a = x^{2} + 1$ și $b = 2 x$ , pentru că $4 x^{2} = {(2 x)}^{2}$ .
Rezultă $(x^{2} + 1 - 2 x) (x^{2} + 1 + 2 x)$ . Ordonezi termenii: $(x^{2} - 2 x + 1) (x^{2} + 2 x + 1)$ .
Fiecare paranteză este acum pătratul unui binom: $x^{2} - 2 x + 1 =$ ${(x - 1)}^{2}$ și $x^{2} + 2 x + 1 =$ ${(x + 1)}^{2}$ . Rezultatul final: ${(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

Răspuns: a) $- 3 {(x - 2)}^{2}$ ; b) ${(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: pătrat ascuns într-o parantezăgreu

Se consideră expresia $E (x) =$ ${(x + 3)}^{2} - 2 (x + 3) + 1$ , unde $x$ este număr real. a) Arată că $E (x) = {(x + 2)}^{2}$ pentru orice număr real $x$ . b) Calculează $E (\sqrt{5} - 2)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Notezi paranteza cu o singură literă: $y = x + 3$ . Expresia devine $y^{2} - 2 y + 1$ .
Bazele sunt $y$ și $1$ , iar $2 \cdot y \cdot 1 =$ $2 y$ , cu minus. Deci $y^{2} - 2 y + 1 =$ ${(y - 1)}^{2}$ .
Înlocuiești înapoi: $E (x) =$ ${(x + 3 - 1)}^{2} =$ ${(x + 2)}^{2}$ .
b) Folosești forma de la punctul a): $E (\sqrt{5} - 2) =$ ${(\sqrt{5} - 2 + 2)}^{2} =$ ${(\sqrt{5})}^{2} =$ $5$ .
Fără descompunere, ar fi trebuit să calculezi ${(\sqrt{5} + 1)}^{2} - 2 (\sqrt{5} + 1) + 1$ , cu mai multe calcule cu radicali. Rezultatul ar fi fost tot $5$ .

Răspuns: a) $E (x) = {(x + 2)}^{2}$ ; b) $E (\sqrt{5} - 2) = 5$

Cum recunoști formula potrivită

Doi termeni cu minus între ei, iar fiecare se poate scrie ca pătrat (și cu radical, în $ℝ$ )? Este diferența de pătrate.
Trei termeni, primul și ultimul pătrate cu semnul plus? Calculezi dublul produsului bazelor și îl compari cu termenul din mijloc.
Vezi o paranteză ridicată la pătrat din care se scade alt pătrat, ca ${(x^{2} + 1)}^{2} - 4 x^{2}$ ? Bazele sunt chiar parantezele, iar formula se aplică fără să desfaci nimic.

Greșeli frecvente la descompunerea cu formule de calcul prescurtat

Descompui o sumă de pătrate. Scrii $x^{2} + 64 =$ $(x + 8) (x - 8)$ . Greșit: produsul $(x + 8) (x - 8)$ dă $x^{2} - 64$ . O sumă de două pătrate nu se descompune cu formulele.
Nu verifici termenul din mijloc. La $x^{2} + 6 x + 4$ primul și ultimul termen sunt pătrate, dar $2 \cdot x \cdot 2 =$ $4 x \neq 6 x$ . Trinomul nu este ${(x + 2)}^{2}$ , care ar da $x^{2} + 4 x + 4$ .
Pierzi semnele la diferența a două paranteze. La ${(3 x - 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2}$ , primul factor este $3 x - 2 - x - 4$ , nu $3 x - 2 - x + 4$ . Pune parantezele când scrii $a - b$ și abia apoi desfă-le.

Exersează : descompunerea cu formule de calcul prescurtat

Fișă de lucru: Descompunerea în factori folosind formulele de calcul prescurtat, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Fișă de lucru: Descompunerea în factori utilizând diferența de pătrate, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Calcul algebric în R, clasa a VIII-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre descompunerea cu formule de calcul prescurtat

Cum verific repede dacă un trinom este pătratul unui binom?

Iei bazele primului și ultimului termen, le înmulțești între ele și cu $2$ . Dacă obții termenul din mijloc (fără să te uiți la semn), trinomul este un pătrat; semnul din mijloc îți spune dacă e ${(a + b)}^{2}$ sau ${(a - b)}^{2}$ .

Pot folosi diferența de pătrate dacă un număr nu este pătrat perfect?

Da, în $ℝ$ . Orice număr pozitiv este pătratul radicalului său: $7 = {(\sqrt{7})}^{2}$ , deci $x^{2} - 7 =$ $(x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$ .

Contează ordinea factorilor în rezultat?

Nu. $(6 - x) (6 + x)$ și $(6 + x) (6 - x)$ sunt același produs. Contează doar ca în fiecare factor semnele să fie cele corecte.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este descompunerea în factori a expresiei $a^{2} - 9$ ?
2. Descompunerea în factori a expresiei $x^{2} + 6 x + 9$ este:
3. Care este descompunerea în factori a expresiei $4 x^{2} - 12 x + 9$ ?
4. Expresia $25 a^{2} - 16 b^{2}$ se descompune în factori astfel:
5. Descompunerea în factori a expresiei $x^{2} - 10 x + 25$ este:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 12 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT: pătratul sumei, al diferenței și diferența de pătrate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)