GRUPAREA TERMENILOR la descompunerea în factori - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 8 octombrie 2026

La gruparea termenilor împarți expresia în grupe, dai factor comun în fiecare grupă ca să obții aceeași paranteză, apoi scoți paranteza ca factor comun. De exemplu, $a x + a y + 2 x + 2 y =$ $a (x + y) + 2 (x + y) =$ $(x + y) (a + 2)$ . Mai jos găsești metoda, regula semnelor și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Metoda grupării termenilor, pas cu pas

Gruparea termenilor se folosește când expresia nu are un factor comun tuturor termenilor, dar are factori comuni pe grupe. Cel mai des are patru termeni. Ideea se vede în exemplul general:

$a x + a y + b x + b y =$ $a (x + y) + b (x + y) =$ $(x + y) (a + b)$

Pașii metodei:

împarți termenii în grupe (de obicei două grupe de câte doi termeni), astfel încât fiecare grupă să aibă un factor comun;
dai factor comun în fiecare grupă; dacă ai ales bine, în toate grupele rămâne aceeași paranteză;
scoți paranteza comună ca factor comun și verifici rezultatul înmulțind parantezele.

Semnul minus din fața unei grupe. Când a doua grupă începe cu minus, scoți factorul comun cu minus, ca să obții aceeași paranteză: $- 3 x - 6 = - 3 (x + 2)$ , iar $- 3 x + 6 = - 3 (x - 2)$ . Semnele din paranteză se schimbă toate.

Dacă nu iese aceeași paranteză, încerci altă grupare: termenii se pot așeza în altă ordine (adunarea este comutativă). Dacă nicio grupare două câte două nu merge, încerci gruparea „trei și unu”: trei termeni care formează pătratul unui binom și un al patrulea care este tot un pătrat. Atunci ajungi la o diferență de pătrate.

Spargerea unui termen. La un trinom de forma $x^{2} + b x + c$ poți scrie termenul din mijloc ca sumă a doi termeni potriviți și ajungi la patru termeni pe care îi grupezi. Cauți două numere cu produsul $c$ și suma $b$ .

Exerciții rezolvate : gruparea termenilor

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Patru termeni, două grupe vizibileușor

Descompune în factori expresia $3 a + 3 b + m a + m b$ .

Rezolvare pas cu pas

Grupezi primii doi termeni și ultimii doi: $(3 a + 3 b) + (m a + m b)$ .
Dai factor comun în fiecare grupă: $3 (a + b) + m (a + b)$ .
Paranteza $(a + b)$ apare în ambele grupe, deci o scoți factor comun: $(a + b) (3 + m)$ .
Verificare: $(a + b) (3 + m) =$ $3 a + a m + 3 b + b m$ , adică expresia inițială.

Răspuns: $(a + b) (3 + m)$

EXERCIȚIUL 2Grupare cu puteri ale lui xușor

Descompune în factori expresia $x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ .

Rezolvare pas cu pas

Prima grupă $x^{3} + 2 x^{2}$ are factorul comun $x^{2}$ : $x^{2} (x + 2)$ .
A doua grupă $5 x + 10$ are factorul comun $5$ : $5 (x + 2)$ .
Expresia devine $x^{2} (x + 2) + 5 (x + 2) =$ $(x + 2) (x^{2} + 5)$ .
$x^{2} + 5$ nu se mai descompune: este o sumă de termeni pozitivi, nu o diferență de pătrate.

Răspuns: $(x + 2) (x^{2} + 5)$

EXERCIȚIUL 3A doua grupă începe cu minusușor

Descompune în factori expresia $a b - 4 a - 2 b + 8$ .

Rezolvare pas cu pas

Prima grupă: $a b - 4 a = a (b - 4)$ .
A doua grupă începe cu minus, deci scoți $- 2$ factor comun: $- 2 b + 8 = - 2 (b - 4)$ . Verifici: $- 2 \cdot b = - 2 b$ și $- 2 \cdot (- 4) = 8$ .
Expresia devine $a (b - 4) - 2 (b - 4) =$ $(b - 4) (a - 2)$ .

Răspuns: $(b - 4) (a - 2)$

EXERCIȚIUL 4Când prima grupare nu merge, schimbi ordineamediu

Descompune în factori expresia $x^{2} - 6 y + 3 x - 2 x y$ .

Rezolvare pas cu pas

Dacă grupezi termenii în ordinea dată, $x^{2} - 6 y$ nu are niciun factor comun, deci încerci altă grupare.
Pui împreună termenii care conțin $x$ fără $y$ și pe cei care conțin $y$ : $(x^{2} + 3 x) + (- 2 x y - 6 y)$ .
Factor comun: $x (x + 3) - 2 y (x + 3)$ . În a doua grupă ai scos $- 2 y$ , ca să rămână tot $(x + 3)$ .
Rezultatul: $(x + 3) (x - 2 y)$ .

Răspuns: $(x + 3) (x - 2 y)$

EXERCIȚIUL 5Calcul rapid cu numeremediu

Calculează rapid, fără să faci toate înmulțirile: $37 \cdot 23 +$ $37 \cdot 17 +$ $63 \cdot 23 +$ $63 \cdot 17$ .

Rezolvare pas cu pas

Grupezi primii doi termeni și ultimii doi: $37 (23 + 17) + 63 (23 + 17)$ .
Paranteza comună este $(23 + 17) = 40$ , deci expresia este $(23 + 17) (37 + 63)$ .
$40 \cdot 100 = 4000$ .

Răspuns: $4000$

EXERCIȚIUL 6Gruparea „trei și unu”: un pătrat cu minus în fațămediu

Descompune în factori expresia $16 - a^{2} + 2 a b - b^{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

Gruparea două câte două nu dă aceeași paranteză. Observi că ultimii trei termeni, cu minus în față, formează un pătrat: $- a^{2} + 2 a b - b^{2} =$ $- (a^{2} - 2 a b + b^{2}) =$ $- {(a - b)}^{2}$ .
Expresia devine $16 - {(a - b)}^{2} =$ $4^{2} - {(a - b)}^{2}$ , o diferență de pătrate.
Aplici $x^{2} - y^{2} =$ $(x - y) (x + y)$ cu $x = 4$ și $y = a - b$ : $(4 - (a - b)) (4 + (a - b))$ .
Desfaci parantezele interioare cu atenție la semne: $(4 - a + b) (4 + a - b)$ .

Răspuns: $(4 - a + b) (4 + a - b)$

EXERCIȚIUL 7Trinomul spart în patru termenigreu

Descompune în factori trinomul $x^{2} + 7 x + 12$ , scriind termenul din mijloc ca sumă de doi termeni.

Rezolvare pas cu pas

Cauți două numere cu produsul $12$ și suma $7$ : $3$ și $4$ , pentru că $3 \cdot 4 = 12$ și $3 + 4 = 7$ .
Scrii $7 x = 3 x + 4 x$ : $x^{2} + 7 x + 12 =$ $x^{2} + 3 x + 4 x + 12$ .
Grupezi: $x (x + 3) + 4 (x + 3) =$ $(x + 3) (x + 4)$ .
Verificare: $(x + 3) (x + 4) =$ $x^{2} + 4 x + 3 x + 12 =$ $x^{2} + 7 x + 12$ .

Răspuns: $(x + 3) (x + 4)$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: grupare, apoi diferența de pătrategreu

Se consideră expresia $E (x) =$ $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12$ , unde $x$ este un număr real. a) Arată că $E (x) =$ $(x + 3) (x - 2) (x + 2)$ . b) Calculează $E (7)$ în două moduri.

Rezolvare pas cu pas

a) Grupezi: $(x^{3} + 3 x^{2}) + (- 4 x - 12) =$ $x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3)$ .
Scoți paranteza comună: $(x + 3) (x^{2} - 4)$ .
$x^{2} - 4 =$ $x^{2} - 2^{2} =$ $(x - 2) (x + 2)$ , deci $E (x) =$ $(x + 3) (x - 2) (x + 2)$ .
b) Din forma inițială: $E (7) =$ $343 + 3 \cdot 49 - 28 - 12 =$ $343 + 147 - 40 =$ $450$ .
Din forma descompusă: $E (7) =$ $10 \cdot 5 \cdot 9 =$ $450$ . Ai obținut același rezultat, mult mai repede.

Răspuns: a) $E (x) =$ $(x + 3) (x - 2) (x + 2)$ ; b) $E (7) = 450$

Cum recunoști un exercițiu pe gruparea termenilor

Expresia are patru termeni (sau șase) și niciun factor comun pentru toți? Încerci gruparea două câte două.
Trei dintre termeni sunt de forma $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ (eventual cu minus în fața tuturor), iar al patrulea este un pătrat? Folosești gruparea „trei și unu” și ajungi la o diferență de pătrate.
Ai un trinom $x^{2} + b x + c$ care nu e pătratul unui binom? Spargi termenul din mijloc în doi termeni și grupezi.

Greșeli frecvente la gruparea termenilor

Uiți să schimbi semnul în paranteză. Din $- 2 b + 8$ scoți $- 2$ și obții $- 2 (b - 4)$ , nu $- 2 (b + 4)$ . Verifică înmulțind înapoi.
Te oprești înainte de final. $x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3)$ nu este încă un produs: este o diferență. Descompunerea e gata abia după ce scoți paranteza comună, $(x + 3) (x^{2} - 4)$ , și descompui și $x^{2} - 4$ .
Renunți după prima grupare. Dacă primele două grupe nu dau aceeași paranteză, nu înseamnă că expresia nu se descompune. Schimbi ordinea termenilor sau încerci gruparea „trei și unu”.

Exersează : gruparea termenilor

Fișă de lucru: Descompunerea în factori prin gruparea termenilor, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Calcul algebric în R, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Gruparea termenilor, partea 2clasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre gruparea termenilor

Cum știu ce termeni să grupez?

Pui împreună termenii care au un factor comun și verifici dacă după scoaterea lui rămâne aceeași paranteză în toate grupele. Dacă nu rămâne, încerci altă împerechere.

Contează ordinea grupelor?

Nu pentru rezultat. $(x + 3) (x - 2 y)$ și $(x - 2 y) (x + 3)$ sunt aceeași descompunere, pentru că înmulțirea este comutativă.

Pot grupa și câte trei termeni?

Da. La șase termeni poți face două grupe de câte trei, iar la patru termeni poți lua trei termeni care formează pătratul unui binom și unul separat.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este rezultatul descompunerii în factori a expresiei $a x + a y + b x + b y$ prin gruparea termenilor?
2. Descompune în factori prin gruparea termenilor expresia $2 x^{2} - 6 x + x - 3$ .
3. Care este prima etapă corectă în descompunerea prin grupare a expresiei $a c - a d + b c - b d$ ?
4. Expresia $3 m^{2} + 6 m - m - 2$ se descompune în factori prin grupare astfel:
5. Prin gruparea termenilor expresiei $x^{3} + x^{2} + x + 1$ se obține:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 8 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT: pătratul sumei, al diferenței și diferența de pătrate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)