CONDIȚIILE DE EXISTENȚĂ ale fracțiilor algebrice și domeniul de definiție - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

1. a) Pui condiția pe numitor: $3x-12\ne 0$. Afli valoarea interzisă ca la o ecuație: $3x\ne 12$, deci $x\ne 4$.
2. Domeniul este $D=$ $ℝ\setminus \{4\}$. Numărătorul $x+4$ nu contează aici.
3. b) $5-2x\ne 0$, deci $2x\ne 5$ și $x\ne {\displaystyle \frac{5}{2}}$.
4. Domeniul este $D=$ $ℝ\setminus \left\{{\displaystyle \frac{5}{2}}\right\}$. Valoarea interzisă nu trebuie să fie număr întreg.

Răspuns: a) $D=$ $ℝ\setminus \{4\}$; b) $D=$ $ℝ\setminus \left\{{\displaystyle \frac{5}{2}}\right\}$

1. a) Pentru orice număr real, $x^2\ge 0$, deci $x^2+4\ge 4$. Numitorul nu poate fi zero pentru nicio valoare a lui $x$.
2. Nu ai nicio valoare de eliminat: $D=ℝ$.
3. b) Aici numitorul este doar $x^2$, iar $x^2=0$ exact când $x=0$.
4. Condiția este $x\ne 0$, deci $D=$ $ℝ\setminus \{0\}$. Cele două numitoare seamănă, dar al doilea se anulează.

Răspuns: a) $D=ℝ$; b) $D=$ $ℝ\setminus \{0\}$

1. Numitorul este un produs de doi factori. Un produs este diferit de zero exact când fiecare factor este diferit de zero.
2. Primul factor: $x-1\ne 0$, deci $x\ne 1$.
3. Al doilea factor: $2x+3\ne 0$, deci $2x\ne -3$ și $x\ne -{\displaystyle \frac{3}{2}}$.
4. Domeniul este $D=$ $ℝ\setminus \{-{\displaystyle \frac{3}{2}},1\}$. Valorile se scriu de obicei în ordine crescătoare.

Răspuns: $D=$ $ℝ\setminus \{-{\displaystyle \frac{3}{2}},1\}$

1. Numitorul nu este un produs, așa că îl descompui. Termenii au factorul comun $3x$: $3x^2-15x=$ $3x(x-5)$.
2. Pui fiecare factor diferit de zero. Factorul $3$ nu este niciodată zero. Din $3x\ne 0$ rezultă $x\ne 0$.
3. Din $x-5\ne 0$ rezultă $x\ne 5$.
4. Domeniul este $D=$ $ℝ\setminus \{0,$ $5\}$. Verificare: pentru $x=5$, $3\cdot 25-75=0$.

Răspuns: $D=$ $ℝ\setminus \{0,$ $5\}$

1. a) În $ℝ$ scrii $3={(\sqrt{3})}^2$, deci numitorul este o diferență de pătrate: $x^2-3=$ $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$.
2. Din fiecare factor: $x\ne \sqrt{3}$ și $x\ne -\sqrt{3}$. Domeniul este $D=$ $ℝ\setminus \{-\sqrt{3},$ $\sqrt{3}\}$.
3. b) Numitorul este pătratul unui binom: bazele sunt $x$ și $5$, iar $2\cdot x\cdot 5=$ $10x$. Deci $x^2-10x+25=$ ${(x-5)}^2$.
4. Pătratul este zero doar când $x-5=0$. Ai o singură valoare interzisă: $D=$ $ℝ\setminus \{5\}$.

Răspuns: a) $D=$ $ℝ\setminus \{-\sqrt{3},$ $\sqrt{3}\}$; b) $D=$ $ℝ\setminus \{5\}$

1. Numitorul nu are factor comun și nu este un pătrat perfect. Îl descompui spărgând termenul din mijloc: cauți două numere cu produsul $-8$ și suma $2$. Acestea sunt $4$ și $-2$.
2. Scrii $2x=4x-2x$: $x^2+4x-2x-8=$ $x(x+4)-2(x+4)=$ $(x+4)(x-2)$.
3. Pui fiecare factor diferit de zero: $x\ne -4$ și $x\ne 2$.
4. Domeniul este $D=$ $ℝ\setminus \{-4,$ $2\}$. Valoarea $x=3$, care anulează numărătorul, este permisă: pentru ea fracția există și este egală cu $0$.

Răspuns: $D=$ $ℝ\setminus \{-4,$ $2\}$

1. Expresia există doar dacă există toate cele trei fracții, deci pui condiția pe fiecare numitor.
2. Prima fracție: $x-2\ne 0$, deci $x\ne 2$.
3. A doua: $x^2-4=$ $(x-2)(x+2)\ne 0$, deci $x\ne 2$ și $x\ne -2$.
4. A treia: $x^2+2x=$ $x(x+2)\ne 0$, deci $x\ne 0$ și $x\ne -2$.
5. Strângi toate valorile interzise, fiecare o singură dată: $-2$, $0$ și $2$. Domeniul este $D=$ $ℝ\setminus \{-2,$ $0,$ $2\}$.

Răspuns: $D=$ $ℝ\setminus \{-2,$ $0,$ $2\}$

1. a) „Nu este definită pentru $x=2$” înseamnă că numitorul se anulează în $x=2$: $a\cdot 2-6=0$.
2. Rezolvi: $2a=6$, deci $a=3$.
3. b) Fracția devine ${\displaystyle \frac{2x+1}{3x-6}}$. Condiția: $3x-6\ne 0$, deci $x\ne 2$, iar $D=$ $ℝ\setminus \{2\}$. Se confirmă: singura valoare interzisă este chiar $2$.
4. Numărul $1$ este în domeniu, deci poți calcula: $F(1)=$ ${\displaystyle \frac{2\cdot 1+1}{3\cdot 1-6}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{-3}}=$ $-1$.

Răspuns: a) $a=3$; b) $D=$ $ℝ\setminus \{2\}$, $F(1)=-1$