ADUNAREA ȘI SCĂDEREA FRACȚIILOR ALGEBRICE cu același numitor sau cu numitori diferiți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 12 octombrie 2026

Fracțiile algebrice se adună doar după ce au același numitor: aduni numărătorii, păstrezi numitorul comun și simplifici la final. La scădere, numărătorul pe care îl scazi se pune în paranteză, ca minusul să schimbe toate semnele. Mai jos găsești cum alegi numitorul comun, capcana numitorilor opuși și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Numitorul comun, pas cu pas

Adunarea fracțiilor algebrice urmează exact regulile de la fracțiile cu numere: $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} =$ $\frac{2}{12} + \frac{3}{12} =$ $\frac{5}{12}$ . Întâi faci numitorii egali, apoi aduni numărătorii.

Cu același numitor. Aduni sau scazi numărătorii și păstrezi numitorul:

$\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} =$ $\frac{A \pm B}{C}$

Cu numitori diferiți. Urmezi pașii:

scrii condițiile de existență pentru toți numitorii;
descompui fiecare numitor în factori;
alegi numitorul comun: produsul tuturor factorilor care apar, fiecare luat o singură dată, la puterea cea mai mare la care apare (ca la cel mai mic multiplu comun al numerelor);
amplifici fiecare fracție cu factorii care îi lipsesc ca să ajungă la numitorul comun;
aduni numărătorii, reduci termenii asemenea, apoi încerci să simplifici rezultatul.

De exemplu, pentru numitorii $x - 1$ și $x^{2} - 1 =$ $(x - 1) (x + 1)$ , numitorul comun este $(x - 1) (x + 1)$ , nu produsul lor ${(x - 1)}^{2} (x + 1)$ . Cu un numitor comun mai mic lucrezi cu expresii mai mici.

Scăderea. Minusul din fața unei fracții se aplică întregului ei numărător. De aceea îl pui în paranteză:

$\frac{A}{C} - \frac{B}{C} =$ $\frac{A - (B)}{C}$

Numitori opuși. Dacă la un numitor ai $x - 2$ și la altul $2 - x$ , nu le înmulți. Scrii $\frac{2}{2 - x} =$ $- \frac{2}{x - 2}$ , adică muți minusul în fața fracției, și ai deja același numitor.

Exerciții rezolvate : adunarea fracțiilor algebrice

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Același numitor, iar rezultatul se simplificăușor

Calculează: $\frac{x + 7}{x + 3} +$ $\frac{x - 1}{x + 3}$ , unde $x \neq - 3$ .

Rezolvare pas cu pas

Numitorii sunt egali, deci aduni direct numărătorii: $\frac{x + 7 + x - 1}{x + 3}$ .
Reduci termenii asemenea: $x + x = 2 x$ și $7 - 1 = 6$ . Ai $\frac{2 x + 6}{x + 3}$ .
Nu te oprești aici: numărătorul se descompune, $2 x + 6 = 2 (x + 3)$ .
Simplifici $(x + 3)$ și obții $2$ . Suma a două fracții poate fi un număr.

Răspuns: $2$

EXERCIȚIUL 2Scăderea, cu paranteză la al doilea numărătorușor

Calculează: $\frac{5 x + 1}{x - 4} - \frac{2 x + 13}{x - 4}$ , unde $x \neq 4$ .

Rezolvare pas cu pas

Numitorii sunt egali. Scrii numărătorul comun, cu al doilea numărător în paranteză: $\frac{5 x + 1 - (2 x + 13)}{x - 4}$ .
Desfaci paranteza: minusul schimbă ambele semne, $5 x + 1 - 2 x - 13$ .
Reduci: $5 x - 2 x = 3 x$ și $1 - 13 = - 12$ . Ai $\frac{3 x - 12}{x - 4}$ .
Descompui: $3 x - 12 = 3 (x - 4)$ . Simplifici și rezultatul este $3$ .

Răspuns: $3$

EXERCIȚIUL 3Numitori monoameușor

Calculează: $\frac{3}{2 x} + \frac{5}{3 x^{2}}$ , unde $x \neq 0$ .

Rezolvare pas cu pas

Numitorul comun se alege ca la numere: pentru coeficienți, cel mai mic multiplu comun al lui $2$ și $3$ este $6$ ; pentru literă, iei puterea cea mai mare, $x^{2}$ . Numitorul comun este $6 x^{2}$ .
Prima fracție: lui $2 x$ îi lipsește $3 x$ ca să devină $6 x^{2}$ . Amplifici cu $3 x$ : $\frac{9 x}{6 x^{2}}$ .
A doua fracție: lui $3 x^{2}$ îi lipsește $2$ . Amplifici cu $2$ : $\frac{10}{6 x^{2}}$ .
Aduni: $\frac{9 x + 10}{6 x^{2}}$ . Numărătorul nu are factor comun cu numitorul, deci fracția nu se mai simplifică.

Răspuns: $\frac{9 x + 10}{6 x^{2}}$

EXERCIȚIUL 4Numitori fără niciun factor comunmediu

Calculează: $\frac{4}{x - 3} - \frac{1}{x + 2}$ , unde $x \neq 3$ și $x \neq - 2$ .

Rezolvare pas cu pas

Numitorii nu au factori comuni, deci numitorul comun este produsul lor: $(x - 3) (x + 2)$ .
Amplifici prima fracție cu $(x + 2)$ și a doua cu $(x - 3)$ : $\frac{4 (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} - \frac{x - 3}{(x - 3) (x + 2)}$ .
Numărătorul comun: $4 (x + 2) - (x - 3) =$ $4 x + 8 - x + 3$ . Atenție la $- (- 3) = + 3$ .
Reduci: $3 x + 11$ . Rezultatul este $\frac{3 x + 11}{(x - 3) (x + 2)}$ și nu se mai simplifică.

Răspuns: $\frac{3 x + 11}{(x - 3) (x + 2)}$

EXERCIȚIUL 5Un numitor îl conține pe celălaltmediu

Calculează: $\frac{2}{x + 1} + \frac{4}{x^{2} - 1}$ , unde $x \neq \pm 1$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompui al doilea numitor: $x^{2} - 1 =$ $(x - 1) (x + 1)$ . Primul numitor, $x + 1$ , este deja unul dintre factori.
Numitorul comun este $(x - 1) (x + 1)$ . Doar prima fracție trebuie amplificată, cu $(x - 1)$ : $\frac{2 (x - 1)}{(x - 1) (x + 1)}$ .
Aduni numărătorii: $2 (x - 1) + 4 =$ $2 x - 2 + 4 =$ $2 x + 2$ .
Descompui: $2 x + 2 = 2 (x + 1)$ . Simplifici $(x + 1)$ și rămâne $\frac{2}{x - 1}$ .

Răspuns: $\frac{2}{x - 1}$

EXERCIȚIUL 6Numitori opușimediu

Calculează: $\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{2 - x}$ , unde $x \neq 2$ .

Rezolvare pas cu pas

Numitorii $x - 2$ și $2 - x$ sunt opuși: $2 - x = - (x - 2)$ .
Muți minusul în fața fracției: $\frac{2}{2 - x} =$ $- \frac{2}{x - 2}$ . Adunarea devine o scădere cu același numitor.
Ai $\frac{x}{x - 2} - \frac{2}{x - 2} =$ $\frac{x - 2}{x - 2}$ .
Numărătorul și numitorul sunt egale și nenule, deci rezultatul este $1$ .

Răspuns: $1$

EXERCIȚIUL 7Trei fracții cu numitor comun descompusgreu

Calculează: $\frac{1}{x} +$ $\frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x^{2} + 2 x}$ , unde $x \neq 0$ și $x \neq - 2$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompui al treilea numitor: $x^{2} + 2 x = x (x + 2)$ . Ceilalți doi numitori, $x$ și $x + 2$ , sunt chiar factorii lui.
Numitorul comun este $x (x + 2)$ . Amplifici prima fracție cu $(x + 2)$ și a doua cu $x$ ; a treia rămâne așa.
Numărătorul comun: $(x + 2) + x - 2 = 2 x$ . Termenii $+ 2$ și $- 2$ se reduc.
Ai $\frac{2 x}{x (x + 2)}$ . Simplifici $x$ și rezultatul este $\frac{2}{x + 2}$ .

Răspuns: $\frac{2}{x + 2}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: diferența a două fracții inversegreu

Se consideră expresia $E (x) =$ $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}$ , unde $x \in ℝ ∖ {- 1,$ $1}$ . a) Arată că $E (x) =$ $\frac{4 x}{x^{2} - 1}$ . b) Calculează $E (\sqrt{3})$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Numitorul comun este $(x - 1) (x + 1) =$ $x^{2} - 1$ . Amplifici prima fracție cu $(x + 1)$ și a doua cu $(x - 1)$ .
Numărătorul comun este ${(x + 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2}$ . Este o diferență de pătrate: $(x + 1 - x + 1) (x + 1 + x - 1) =$ $2 \cdot 2 x =$ $4 x$ .
Puteai și să desfaci pătratele: $x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} - 2 x + 1) =$ $4 x$ . Rezultă $E (x) =$ $\frac{4 x}{x^{2} - 1}$ .
b) $\sqrt{3}$ nu este nici $1$ , nici $- 1$ , deci poți înlocui: $E (\sqrt{3}) =$ $\frac{4 \sqrt{3}}{3 - 1} =$ $\frac{4 \sqrt{3}}{2}$ .
Simplifici cu $2$ : $E (\sqrt{3}) =$ $2 \sqrt{3}$ .

Răspuns: a) $E (x) =$ $\frac{4 x}{x^{2} - 1}$ ; b) $E (\sqrt{3}) =$ $2 \sqrt{3}$

Cum alegi numitorul comun potrivit

Numitorii sunt egali? Aduni direct numărătorii și te uiți la final dacă rezultatul se simplifică.
Un numitor se descompune și îl conține pe celălalt, ca $x + 1$ și $x^{2} - 1$ ? Numitorul comun este cel mai mare dintre ei, iar o singură fracție se amplifică.
Vezi $x - a$ la un numitor și $a - x$ la altul? Muți minusul în fața fracției și ai deja același numitor, fără nicio amplificare.

Greșeli frecvente la adunarea fracțiilor algebrice

Aduni numărătorii și numitorii între ei. $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}$ nu este $\frac{2}{2 x + 2}$ . La fel ca la $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ , care nu este $\frac{2}{5}$ , ai nevoie mai întâi de un numitor comun.
Minusul schimbă doar primul termen. În $\frac{5 x + 1}{x - 4} - \frac{2 x + 13}{x - 4}$ , dacă scrii $5 x + 1 - 2 x + 13$ , ai greșit semnul lui $13$ . Pune al doilea numărător în paranteză și abia apoi desfă-o.
Amplifici doar numitorul. Când transformi $\frac{3}{2 x}$ în ceva cu numitorul $6 x^{2}$ , înmulțești cu $3 x$ și numărătorul: $\frac{9 x}{6 x^{2}}$ , nu $\frac{3}{6 x^{2}}$ . Altfel schimbi valoarea fracției.

Exersează : adunarea fracțiilor algebrice

Fișă de lucru: Fracții algebrice, adunarea și scăderea, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Calcul algebric în R, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Fracții algebrice, adunarea și scăderea, partea a 2-aclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre adunarea fracțiilor algebrice

Trebuie să înmulțesc mereu toți numitorii între ei?

Nu. Produsul numitorilor este întotdeauna un numitor comun, dar de multe ori nu cel mai mic. Dacă descompui întâi numitorii, vezi ce factori se repetă și îi iei o singură dată.

Cum adun un număr cu o fracție algebrică?

Scrii numărul ca fracție cu același numitor. De exemplu, $1 + \frac{2}{x + 1} =$ $\frac{x + 1}{x + 1} +$ $\frac{2}{x + 1} =$ $\frac{x + 3}{x + 1}$ .

Las numitorul desfăcut sau ca produs?

Lasă-l ca produs până la final. Așa vezi imediat dacă numărătorul are un factor comun cu el și poți simplifica. La exercițiul 5, numitorul $(x - 1) (x + 1)$ ți-a arătat că $2 x + 2$ se simplifică.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este condiția ca o fracție algebrică să fie definită?
2. Care este rezultatul adunării fracțiilor algebrice cu același numitor: $\frac{3 x}{x + 1} + \frac{2 x}{x + 1}$ ?
3. Cum se adună două fracții algebrice cu numitori diferiți, de exemplu $\frac{1}{x}$ și $\frac{1}{x + 2}$ ?
4. Care este rezultatul scăderii $\frac{5}{x - 1} - \frac{3}{x - 1}$ ?
5. Care este cel mai simplu numitor comun al fracțiilor $\frac{1}{x^{2}}$ și $\frac{1}{x (x + 1)}$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 12 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

CONDIȚIILE DE EXISTENȚĂ ale fracțiilor algebrice și domeniul de definiție - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

SIMPLIFICAREA FRACȚIILOR ALGEBRICE și amplificarea - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

ECUAȚIA DE GRADUL 2 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a IX-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

ECUAȚII DE GRADUL 2 INCOMPLETE fără discriminant - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

DETERMINAREA PLANULUI și pozițiile dreptei față de plan - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

PIRAMIDA TRIUNGHIULARĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună