SIMPLIFICAREA FRACȚIILOR ALGEBRICE și amplificarea - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 12 octombrie 2026

Simplifici o fracție algebrică descompunând în factori numărătorul și numitorul, apoi împărțind amândoi termenii la factorii comuni. Se simplifică doar factori, niciodată termeni dintr-o sumă, iar condițiile de existență se scriu înainte. Mai jos găsești metoda, amplificarea, capcana parantezelor opuse și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Simplificarea și amplificarea, cu regula factorilor

La fracțiile cu numere ai învățat că $\frac{6}{9} =$ $\frac{2}{3}$ : împarți numărătorul și numitorul la același număr, $3$ . La fracțiile algebrice regula este aceeași, doar că împarți la o expresie:

$\frac{A \cdot C}{B \cdot C} =$ $\frac{A}{B}$

Egalitatea este adevărată pentru valorile la care $B \neq 0$ și $C \neq 0$ . Citită de la dreapta la stânga, aceeași egalitate este amplificarea: înmulțești numărătorul și numitorul cu aceeași expresie nenulă. Amplificarea o folosești mai ales când vrei ca două fracții să aibă același numitor.

Pașii simplificării:

scrii condițiile de existență pe fracția dată, înainte de orice altceva;
descompui numărătorul în factori, apoi numitorul;
cauți factorii care apar și sus, și jos, și îi simplifici;
te oprești când numărătorul și numitorul nu mai au niciun factor comun. Atunci fracția este ireductibilă.

Regula de aur: se simplifică doar factori. În $\frac{2 (x + 1)}{5 (x + 1)}$ paranteza $(x + 1)$ înmulțește tot numărătorul și tot numitorul, deci se simplifică și rămâne $\frac{2}{5}$ . În $\frac{x + 1}{x + 5}$ însă, $x$ este doar un termen al unei sume. Fracția aceasta nu se poate simplifica deloc.

Paranteze opuse. Expresiile $x - 2$ și $2 - x$ nu sunt egale, ci opuse: $2 - x = - (x - 2)$ . Când apar una sus și cealaltă jos, scoți minusul în față și abia apoi simplifici. Rezultatul primește semnul minus.

De ce condițiile înainte. Fracția simplificată poate fi definită și pentru valori pentru care fracția inițială nu exista. Cele două fracții sunt egale doar pe domeniul fracției inițiale.

Exerciții rezolvate : simplificarea fracțiilor algebrice

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Simplificarea unei fracții cu monoameușor

Simplifică fracția $\frac{18 a^{3} b^{2}}{24 a b^{4}}$ , unde $a \neq 0$ și $b \neq 0$ .

Rezolvare pas cu pas

Simplifici întâi coeficienții. Cel mai mare divizor comun al lui $18$ și $24$ este $6$ : $18 : 6 = 3$ și $24 : 6 = 4$ .
Apoi literele, fiecare separat. $a^{3}$ sus și $a$ jos: rămâne $a^{2}$ sus.
$b^{2}$ sus și $b^{4}$ jos: puterea mai mare este jos, deci rămâne $b^{2}$ jos.
Rezultatul este $\frac{3 a^{2}}{4 b^{2}}$ . Nu mai există factori comuni, deci fracția este ireductibilă.

Răspuns: $\frac{3 a^{2}}{4 b^{2}}$

EXERCIȚIUL 2Amplificarea cu o expresieușor

Amplifică fracția $\frac{x + 1}{x - 4}$ cu $x + 4$ și precizează condițiile pentru noua fracție.

Rezolvare pas cu pas

Amplificarea înseamnă să înmulțești numărătorul și numitorul cu aceeași expresie: $\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)}$ .
Desfaci parantezele de sus: $(x + 1) (x + 4) =$ $x^{2} + 4 x + x + 4 =$ $x^{2} + 5 x + 4$ .
Jos ai o diferență de pătrate: $(x - 4) (x + 4) =$ $x^{2} - 16$ . Noua fracție este $\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 16}$ .
Condițiile: fracția inițială cerea $x \neq 4$ . Expresia cu care ai amplificat trebuie să fie nenulă, deci și $x \neq - 4$ .

Răspuns: $\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 16}$ , pentru $x \neq \pm 4$

EXERCIȚIUL 3Factor comun sus și josușor

Simplifică fracția $\frac{5 x + 10}{x^{2} + 2 x}$ .

Rezolvare pas cu pas

Condițiile: $x^{2} + 2 x =$ $x (x + 2) \neq 0$ , deci $x \neq 0$ și $x \neq - 2$ .
Descompui numărătorul: $5 x + 10 = 5 (x + 2)$ . Numitorul l-ai descompus deja: $x (x + 2)$ .
Fracția este $\frac{5 (x + 2)}{x (x + 2)}$ . Factorul $(x + 2)$ apare sus și jos, deci îl simplifici.
Rămâne $\frac{5}{x}$ , pentru $x \in ℝ ∖ {- 2,$ $0}$ .

Răspuns: $\frac{5}{x}$

EXERCIȚIUL 4Diferența de pătrate la numitormediu

Simplifică fracția $\frac{3 x - 6}{x^{2} - 4}$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompui numitorul: $x^{2} - 4 =$ $(x - 2) (x + 2)$ . Condițiile sunt $x \neq 2$ și $x \neq - 2$ .
Descompui numărătorul cu factor comun: $3 x - 6 = 3 (x - 2)$ .
Fracția devine $\frac{3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)}$ . Simplifici factorul $(x - 2)$ .
Rămâne $\frac{3}{x + 2}$ . Atenție: deși noua fracție ar exista pentru $x = 2$ , egalitatea cu cea inițială este valabilă doar pentru $x \neq \pm 2$ .

Răspuns: $\frac{3}{x + 2}$

EXERCIȚIUL 5Paranteze opuse: apare semnul minusmediu

Simplifică fracția $\frac{10 - 5 x}{x^{2} - 2 x}$ .

Rezolvare pas cu pas

Condițiile: $x^{2} - 2 x =$ $x (x - 2) \neq 0$ , deci $x \neq 0$ și $x \neq 2$ .
Numărătorul: $10 - 5 x = 5 (2 - x)$ . Paranteza $(2 - x)$ nu este aceeași cu $(x - 2)$ de la numitor, ci opusa ei.
Scoți minusul: $2 - x = - (x - 2)$ , deci $10 - 5 x = - 5 (x - 2)$ .
Fracția devine $\frac{- 5 (x - 2)}{x (x - 2)}$ . Simplifici $(x - 2)$ și rămâne $- \frac{5}{x}$ .

Răspuns: $- \frac{5}{x}$

EXERCIȚIUL 6Pătratul unui binom deasupra unei diferențe de pătratemediu

Simplifică fracția $\frac{x^{2} + 10 x + 25}{3 x^{2} - 75}$ .

Rezolvare pas cu pas

Numitorul: scoți factorul comun $3$ , apoi aplici diferența de pătrate: $3 x^{2} - 75 =$ $3 (x^{2} - 25) =$ $3 (x - 5) (x + 5)$ . Condițiile: $x \neq 5$ și $x \neq - 5$ .
Numărătorul este pătratul unui binom: bazele sunt $x$ și $5$ , iar $2 \cdot x \cdot 5 =$ $10 x$ . Deci $x^{2} + 10 x + 25 =$ ${(x + 5)}^{2}$ .
Fracția devine $\frac{{(x + 5)}^{2}}{3 (x - 5) (x + 5)}$ . Sus ai $(x + 5)$ de două ori, jos o dată: simplifici o singură dată.
Rămâne $\frac{x + 5}{3 (x - 5)}$ . Nu mai poți simplifica $x + 5$ cu $x - 5$ : sunt factori diferiți.

Răspuns: $\frac{x + 5}{3 (x - 5)}$

EXERCIȚIUL 7Gruparea termenilor, cu două literegreu

Simplifică fracția $\frac{x y + 2 x - 3 y - 6}{y^{2} - 4}$ , unde $y \neq \pm 2$ .

Rezolvare pas cu pas

Numărătorul are patru termeni fără factor comun tuturor, deci îl descompui prin grupare: $(x y + 2 x) + (- 3 y - 6)$ .
Din prima grupă scoți $x$ , din a doua scoți $- 3$ : $x (y + 2) - 3 (y + 2) =$ $(y + 2) (x - 3)$ .
Numitorul: $y^{2} - 4 =$ $(y - 2) (y + 2)$ .
Fracția devine $\frac{(y + 2) (x - 3)}{(y - 2) (y + 2)}$ . Simplifici $(y + 2)$ și rămâne $\frac{x - 3}{y - 2}$ .
Litera $x$ poate lua orice valoare, pentru că nu apare la numitor.

Răspuns: $\frac{x - 3}{y - 2}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: simplificare, apoi valori întregigreu

Se consideră $E (x) =$ $\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$ , unde $x \in ℝ ∖ {- 1,$ $1}$ . a) Arată că $E (x) =$ $\frac{x + 3}{x + 1}$ . b) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E (n)$ este număr întreg.

Rezolvare pas cu pas

a) Spargi termenul din mijloc al numărătorului: cauți două numere cu produsul $- 3$ și suma $2$ , adică $3$ și $- 1$ . Atunci $x^{2} + 3 x - x - 3 =$ $x (x + 3) - (x + 3) =$ $(x + 3) (x - 1)$ .
Numitorul: $x^{2} - 1 =$ $(x - 1) (x + 1)$ . Simplifici $(x - 1)$ și obții $E (x) =$ $\frac{x + 3}{x + 1}$ .
b) Scoți întregii: $x + 3 = (x + 1) + 2$ , deci $E (n) =$ $1 + \frac{2}{n + 1}$ . Este întreg exact când $n + 1$ este divizor întreg al lui $2$ .
Din $n + 1 \in {- 2,$ $- 1,$ $1,$ $2}$ obții $n \in {- 3,$ $- 2,$ $0,$ $1}$ .
Acum intervine domeniul: $n = 1$ este exclus, pentru că fracția inițială nu există pentru $x = 1$ . Rămân $n \in {- 3, - 2, 0}$ .

Răspuns: a) $E (x) =$ $\frac{x + 3}{x + 1}$ ; b) $n \in {- 3, - 2, 0}$

Cum îți dai seama că o fracție algebrică se mai poate simplifica

Numărătorul și numitorul au aceiași coeficienți divizibili cu un număr sau aceeași literă? Ai cel puțin un factor comun monom de simplificat.
Vezi $x^{2} - a^{2}$ , $x^{2} \pm 2 a x + a^{2}$ sau patru termeni? Descompune-le complet: de cele mai multe ori apare aceeași paranteză sus și jos.
Sus ai $a - b$ și jos $b - a$ ? Fracția se simplifică, dar rezultatul primește semnul minus.

Greșeli frecvente la simplificarea fracțiilor algebrice

Simplifici termeni dintr-o sumă. În $\frac{x + 6}{x + 3}$ nu poți „tăia” $x$ și nici nu poți împărți $6$ la $3$ . Numărătorul și numitorul trebuie întâi scriși ca produse; aici nu au niciun factor comun, deci fracția este deja ireductibilă.
Simplifici $x - 2$ cu $2 - x$ fără semn. Cele două paranteze sunt opuse, nu egale. $\frac{2 - x}{x - 2} =$ $- 1$ , nu $1$ . Scoate întâi minusul: $2 - x = - (x - 2)$ .
Folosești o valoare exclusă după simplificare. La exercițiul 8, $n = 1$ dă $\frac{4}{2} = 2$ în forma simplificată, dar $E (1)$ nu există în forma inițială. Valorile interzise rămân interzise și după simplificare.

Exersează : simplificarea fracțiilor algebrice

Fișă de lucru: Fracții algebrice, amplificarea și simplificarea, clasa a VIII-aPDF de printat, cu rezolvări separate Test: Calcul algebric în R, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Fracții algebrice, condiții de existențăclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre simplificarea fracțiilor algebrice

Când este o fracție algebrică ireductibilă?

Când, după ce ai descompus complet numărătorul și numitorul, nu mai găsești niciun factor care să apară în amândoi. De exemplu, $\frac{x + 5}{3 (x - 5)}$ este ireductibilă.

Amplificarea schimbă valoarea fracției?

Nu, pentru valorile din domeniu. Înmulțești numărătorul și numitorul cu aceeași expresie nenulă, la fel cum $\frac{1}{2} =$ $\frac{3}{6}$ . Se schimbă doar forma și, uneori, apar condiții noi.

Pot simplifica înainte să descompun?

Doar dacă vezi deja un produs. De cele mai multe ori trebuie întâi să descompui, pentru că factorii comuni sunt „ascunși” în sume, ca $(x + 2)$ din $5 x + 10$ și din $x^{2} + 2 x$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele expresii reprezintă o fracție algebrică?
2. Ce înseamnă amplificarea unei fracții algebrice $\frac{a}{b}$ ?
3. Care este rezultatul simplificării fracției algebrice $\frac{6 x^{2}}{9 x}$ , pentru $x \neq 0$ ?
4. Fracția algebrică $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ simplificată, pentru $x \neq 2$ , este egală cu:
5. Prin amplificarea fracției $\frac{2}{x + 1}$ cu factorul $(x - 1)$ , obținem: