de Echipa Școala Virtuală12 august 2026

Diagonalele paralelogramului – teorie, exemple și exerciții

Știi cum arată un paralelogram — o figură oarecum „înclinată", ca un dreptunghi obosit. Dar când trasezi cele două diagonale ale paralelogramului, se întâmplă ceva care nu e imediat evident: ele nu sunt egale, nu sunt perpendiculare, dar se taie exact la mijloc. Întotdeauna. Chiar și dacă paralelogramul e turtit sau foarte alungit. Asta-i proprietatea care le face speciale și care apare în aproape orice exercițiu pe tema asta. Dacă ai ratat-o sau nu ți-a fost explicată cum trebuie, totul pare haotic. Hai să o luăm de la zero — cu logică, nu cu memorare.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce sunt diagonalele unui paralelogram și ce le face speciale
Vei ști să folosești proprietatea de înjumătățire a diagonalelor în probleme
Vei recunoaște greșelile frecvente și vei știi cum să le eviți
Vei rezolva 5 exerciții pas cu pas, de la simplu la provocare

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce sunt diagonalele și de ce contează cum se taie

O diagonală e un segment care unește două vârfuri opuse ale figurii. Într-un paralelogram ABCD, ai două diagonale: AC și BD. Dacă le trasezi pe amândouă, se vor intersecta undeva în interiorul figurii — să zicem în punctul O. Și aici vine partea interesantă. Nu se taie oricum. Se taie fix la mijloc — adică punctul O e mijlocul ambelor diagonale în același timp. Asta înseamnă că $A O = O C$ și $B O = O D$ . Practic, fiecare diagonală e tăiată în două jumătăți egale de cealaltă. Dacă știi lungimea jumătate, știi toată diagonala. Dacă știi toată diagonala, știi jumătatea. E o relație simplă, dar extrem de utilă.

💡 Regula de bază

Diagonalele unui paralelogram se taie reciproc la mijloc. Dacă diagonalele se intersectează în punctul $O$ , atunci $A O = O C$ și $B O = O D$ . Altfel spus: $A O = \frac{A C}{2}$ și $B O = \frac{B D}{2}$ .

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Paralelogramul ABCD are diagonalele AC și BD care se intersectează în punctul O. Știm că $A O = 5$ cm și $O D = 4$ cm. Calculează lungimile celor două diagonale.

🔢 Rezolvare

A O = O C = 5 cm (O este mijlocul lui AC)

A C = A O + O C = 5 + 5 = 10 cm

B O = O D = 4 cm (O este mijlocul lui BD)

B D = B O + O D = 4 + 4 = 8 cm

✅ Explicație

Cheia e că punctul O taie fiecare diagonală exact în două jumătăți egale. Deci dacă știi jumătatea, înmulțești cu 2 și ai diagonala întreagă. Nu e nimic de memorat forțat — e logic: mijlocul înseamnă jumătăți egale, și asta e tot ce folosești aici.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Mulți elevi confundă proprietatea diagonalelor paralelogramului cu cea a dreptunghiului și cred că diagonalele sunt și egale, nu doar că se înjumătățesc reciproc. Scriu $A C = B D$ fără să fi verificat că figura e dreptunghi sau romb.

✅ Corect: Într-un paralelogram oarecare, diagonalele se înjumătățesc reciproc, dar nu sunt neapărat egale. Egalitatea diagonalelor e o proprietate specifică dreptunghiului. Verifică mereu ce tip de figură ai în enunț.

❌ Greșeala #2: O altă greșeală clasică — și eu am făcut-o prima dată — e să aduni $A O + O D$ și să zici că ai găsit o diagonală. Dar $A O$ și $O D$ sunt jumătăți din diagonale diferite, nu din aceeași.

✅ Corect: $A O$ și $O C$ sunt jumătățile diagonalei $A C$ . $B O$ și $O D$ sunt jumătățile diagonalei $B D$ . Ca să calculezi o diagonală, aduni doar segmentele care fac parte din ea: $A C = A O + O C$ , nu $A O + O D$ .

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Paralelogramul ABCD are diagonalele care se intersectează în O. Dacă $A O = 6$ cm, calculează lungimea diagonalei $A C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

A O = O C = 6 cm (O este mijlocul lui AC)

A C = A O + O C = 6 + 6 = 12 cm

Proprietatea de bază: O e mijlocul diagonalei AC, deci cele două jumătăți sunt egale. Pur și simplu dublezi jumătatea pe care o știi.

Răspuns: $A C = 12$ cm

Exercițiul 2. În paralelogramul ABCD, diagonalele se intersectează în O. Știm că $A C = 14$ cm și $B D = 10$ cm. Calculează $A O$ , $O C$ , $B O$ și $O D$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

A O = O C = \frac{A C}{2} = \frac{14}{2} = 7 cm

B O = O D = \frac{B D}{2} = \frac{10}{2} = 5 cm

Când știi diagonala întreagă, o împarți la 2 ca să afli jumătatea. Simplu, fără niciun truc ascuns.

Răspuns: $A O = O C = 7$ cm; $B O = O D = 5$ cm

Exercițiul 3. Diagonalele paralelogramului ABCD se intersectează în O. Știm că $A O = 2 x - 1$ și $O C = x + 3$ . Calculează $x$ și lungimea diagonalei $A C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

A O = O C (O este mijlocul lui AC)

2 x - 1 = x + 3

2 x - x = 3 + 1

x = 4

A O = 2 \cdot 4 - 1 = 7 cm

A C = 2 \cdot A O = 2 \cdot 7 = 14 cm

Știind că O e mijlocul lui AC, poți pune $A O = O C$ și obții o ecuație simplă. Rezolvi ecuația, găsești $x$ , apoi calculezi lungimea reală.

Răspuns: $x = 4$ ; $A C = 14$ cm

Exercițiul 4. În paralelogramul ABCD, diagonalele se intersectează în O. Perimetrul triunghiului AOB este de 18 cm. Știm că $A O = 5$ cm și $B O = 4$ cm. Calculează lungimea segmentului $A B$ , apoi lungimile celor două diagonale.

Vezi rezolvarea pas cu pas

P_{△ A O B} = A O + B O + A B = 18 cm

A B = 18 - A O - B O = 18 - 5 - 4 = 9 cm

A C = 2 \cdot A O = 2 \cdot 5 = 10 cm

B D = 2 \cdot B O = 2 \cdot 4 = 8 cm

Mai întâi folosești formula perimetrului triunghiului ca să afli $A B$ . Apoi aplici proprietatea diagonalelor: fiecare jumătate se înmulțește cu 2 ca să dai toată diagonala. Doi pași separați, dar legați logic.

Răspuns: $A B = 9$ cm; $A C = 10$ cm; $B D = 8$ cm

Exercițiul 5. Provocare: Diagonalele paralelogramului ABCD se intersectează în O. Știm că $B O = 3 x + 2$ , $O D = 5 x - 4$ , $A O = 2 y + 1$ și $O C = 4 y - 7$ . Calculează $x$ , $y$ și lungimile ambelor diagonale.

Vezi rezolvarea pas cu pas

B O = O D \Rightarrow 3 x + 2 = 5 x - 4

2 + 4 = 5 x - 3 x

6 = 2 x \Rightarrow x = 3

B O = 3 \cdot 3 + 2 = 11 cm

B D = 2 \cdot B O = 2 \cdot 11 = 22 cm

A O = O C \Rightarrow 2 y + 1 = 4 y - 7

1 + 7 = 4 y - 2 y

8 = 2 y \Rightarrow y = 4

A O = 2 \cdot 4 + 1 = 9 cm

A C = 2 \cdot A O = 2 \cdot 9 = 18 cm

Ai două ecuații independente — una pentru fiecare diagonală. Le rezolvi separat, pe rând, fără să le amesteci. Greșeala clasică ar fi să iei $B O = A O$ , ceea ce e fals — jumătățile egale sunt pe aceeași diagonală, nu pe diagonale diferite.

Răspuns: $x = 3$ , $y = 4$ ; $B D = 22$ cm; $A C = 18$ cm

Întrebări frecvente

Diagonalele paralelogramului sunt întotdeauna egale?

Nu. Într-un paralelogram oarecare, diagonalele se înjumătățesc reciproc, dar nu sunt obligatoriu egale. Devin egale doar în cazuri particulare — la dreptunghi și la pătrat. La romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc, dar tot nu sunt egale (cu excepția pătratului). Verifică mereu ce tip de figură ai.

De unde știu că O e mijlocul diagonalei, nu un punct oarecare?

Proprietatea asta vine din demonstrarea că triunghiurile formate de diagonale sunt congruente. E o teoremă demonstrată — nu o convenție inventată. Când enunțul spune că O e intersecția diagonalelor unui paralelogram, automat știi că O e mijlocul ambelor diagonale. Nu trebuie să o demonstrezi tu în exercițiu, doar să o aplici.

Dacă știu că diagonalele se înjumătățesc, pot demonstra că o figură e paralelogram?

Da, exact invers funcționează! Dacă ai un patrulater ale cărui diagonale se taie reciproc la mijloc, atunci figura respectivă e paralelogram. E o condiție echivalentă. Asta e util în exercițiile unde ți se dau coordonatele vârfurilor și trebuie să demonstrezi că figura e paralelogram — verifici mijloacele diagonalelor.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Ce trebuie să știe la română la finalul clasei a 4-a

12 august 2026

Ce trebuie să știe la matematică la finalul clasei a 4-a

12 august 2026

Trecerea la clasa a 5-a: ghid complet pentru părinți

12 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună