de Echipa Școala Virtuală15 august 2026

Unghiurile paralelogramului explicate cu exemple și exerciții

Uite o situație pe care probabil ai trăit-o: ai în față un paralelogram, știi că trebuie să calculezi un unghi, și dai de un unghi de 60°. Bun. Dar mai ai trei unghiuri de aflat și nu știi dacă le aduni, le scazi sau le înmulțești cu ceva. Toată lumea se blochează exact aici — nu pentru că n-ar fi deștept, ci pentru că nimeni nu le-a explicat de ce funcționează regulile la unghiurile paralelogramului, nu doar care sunt. Și fără „de ce", memorezi ceva azi și uiți mâine. Hai să schimbăm asta acum.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege de ce unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale — nu doar că sunt
Vei ști să calculezi orice unghi al unui paralelogram dacă îți e dat unul singur
Vei recunoaște cele mai frecvente greșeli și vei ști cum să le eviți
Vei rezolva 5 exerciții pas cu pas, de la simplu la provocare

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce e un paralelogram și de ce contează forma lui

Un paralelogram e un patrulater cu laturile opuse paralele două câte două. Asta nu e definiție de memorat — e cheia care explică tot ce urmează. Gândește-te la un dreptunghi ușor „împins" lateral. Forma aia înclinată e un paralelogram. Laturile rămân paralele, dar unghiurile nu mai sunt drepte. Și tocmai din cauza paralelismului laturilor apar proprietățile pe care le vei folosi. Practic, forma nu e întâmplătoare — ea dictează regulile. Un paralelogram are patru unghiuri: să le numim $A$ , $B$ , $C$ și $D$ , în ordine. Suma lor e mereu aceeași ca la orice patrulater, adică $360 °$ . Și de aici pornim tot.

💡 Regula de bază

Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt egale: $∠ A = ∠ C$ și $∠ B = ∠ D$ . Unghiurile alăturate (consecutive) sunt suplimentare, adică suma lor e $180 °$ : $∠ A + ∠ B = 180 °$ . Știi un singur unghi? Le știi pe toate patru.

De ce sunt opuse egale? Gândim împreună

N-am să-ți dau regula și gata. Hai să vedem de unde vine ea, că altfel o uiți în două zile. Laturile $A B$ și $D C$ sunt paralele. Latura $B C$ le taie pe amândouă — ea e o secantă. Când o dreaptă taie două paralele, unghiurile alterne interne sunt egale. Asta e o proprietate pe care ai văzut-o la drepte paralele. Ei bine, exact asta se întâmplă și în paralelogram. De fapt, diagonala paralelogramului joacă rolul secantei și îți arată că unghiurile opuse trebuie să fie egale. Adică $∠ A = ∠ C$ nu e o regulă inventată — e o consecință directă a paralelismului laturilor. Și tot de acolo vine și regula unghiurilor suplimentare: dacă $A B ∥ D C$ și $B C$ e secantă, atunci $∠ B + ∠ C = 180 °$ . Simplu, când știi de unde vine.

💡 Pe scurt — cele două proprietăți cheie

1. Unghiurile opuse sunt egale: $∠ A = ∠ C$ și $∠ B = ∠ D$ .
2. Unghiurile consecutive (alăturate) sunt suplimentare: $∠ A + ∠ B = 180 °$ , $∠ B + ∠ C = 180 °$ , și tot așa. Dacă știi că $∠ A = 70 °$ , atunci $∠ C = 70 °$ și $∠ B = ∠ D = 110 °$ .

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

În paralelogramul $A B C D$ , $∠ A = 65 °$ . Calculează măsurile unghiurilor $B$ , $C$ și $D$ .

🔢 Rezolvare

∠ C = ∠ A = 65 °

∠ B = 180 ° - ∠ A = 180 ° - 65 ° = 115 °

∠ D = ∠ B = 115 °

Verificare: 65 ° + 115 ° + 65 ° + 115 ° = 360 ° ✓

✅ Explicație

Primul pas e mereu să folosești unghiurile opuse — $C$ e opus lui $A$ , deci e egal. Apoi aplici suplimentaritatea: $B$ e alăturat lui $A$ , deci suma lor e $180 °$ . Obții $B$ , iar $D$ e opus lui $B$ , deci egal. Verificarea cu $360 °$ îți confirmă că n-ai greșit nimic pe drum.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Să crezi că toate cele patru unghiuri sunt egale — „suma e 360°, împart la 4, fiecare e 90°". Nu. Asta e valabil doar pentru dreptunghi sau pătrat. Într-un paralelogram obișnuit ai două perechi de unghiuri egale, dar cele două perechi sunt diferite între ele.

✅ Corect: Ai exact două perechi: $∠ A = ∠ C$ și $∠ B = ∠ D$ , unde $∠ A + ∠ B = 180 °$ .

❌ Greșeala #2: Să confunzi unghiurile „opuse" cu cele „alăturate". Opuse înseamnă că între ele sunt două laturi — $A$ și $C$ nu sunt vecine, sunt față în față. Alăturate înseamnă că au o latură comună — $A$ și $B$ împart latura $A B$ .

✅ Corect: Desenează paralelogramul și marchează cu culori diferite: roșu pentru perechile opuse (egale), albastru pentru perechile alăturate (suplimentare). Vizual, nu mai confunzi.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. În paralelogramul $A B C D$ , $∠ A = 80 °$ . Află măsurile unghiurilor $B$ , $C$ și $D$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ C = ∠ A = 80 °

∠ B = 180 ° - 80 ° = 100 °

∠ D = ∠ B = 100 °

Unghiul opus e egal, unghiul alăturat e suplimentar. Aplicăm pe rând și obținem toate patru unghiurile dintr-un singur dat.

Răspuns: $∠ B = 100 °$ , $∠ C = 80 °$ , $∠ D = 100 °$

Exercițiul 2. Într-un paralelogram, un unghi este de trei ori mai mare decât unghiul alăturat lui. Află măsurile celor două unghiuri.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm unghiul mic = x, unghiul mare = 3 x

x + 3 x = 180 °

4 x = 180 °

x = 45 °, 3 x = 135 °

Unghiurile alăturate sunt suplimentare, deci suma lor e $180 °$ . Scriem ecuația, rezolvăm și obținem ambele valori. Simplu de verificat: $45 ° + 135 ° = 180 °$ . ✓

Răspuns: Cele două unghiuri sunt $45 °$ și $135 °$ .

Exercițiul 3. În paralelogramul $A B C D$ , $∠ A = 2 x + 10 °$ și $∠ C = 4 x - 30 °$ . Calculează valoarea lui $x$ și măsura unghiului $A$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ A = ∠ C (unghiuri opuse)

2 x + 10 = 4 x - 30

10 + 30 = 4 x - 2 x

40 = 2 x

x = 20 °

∠ A = 2 \cdot 20 + 10 = 50 °

Deoarece $A$ și $C$ sunt opuse, le egalăm. Rezolvăm ecuația de gradul I și înlocuim $x$ înapoi pentru a găsi unghiul. Verificare: $∠ C = 4 \cdot 20 - 30 = 50 °$ . ✓

Răspuns: $x = 20 °$ , $∠ A = 50 °$

Exercițiul 4. În paralelogramul $A B C D$ , $∠ A + ∠ C = 140 °$ . Află măsurile tuturor unghiurilor paralelogramului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ A = ∠ C \Rightarrow ∠ A + ∠ A = 140 °

2 \cdot ∠ A = 140 °

∠ A = 70 °

∠ C = 70 °

∠ B = 180 ° - 70 ° = 110 °

∠ D = 110 °

Trucul e să observi că $∠ A = ∠ C$ și că suma lor dată e $140 °$ , deci fiecare e $70 °$ . De acolo, unghiurile alăturate se calculează imediat prin suplimentaritate.

Răspuns: $∠ A = ∠ C = 70 °$ , $∠ B = ∠ D = 110 °$

Exercițiul 5. Provocare: În paralelogramul $A B C D$ , $∠ A = 3 x - 15 °$ și $∠ B = 2 x + 25 °$ . Calculează $x$ , apoi verifică că suma tuturor unghiurilor e $360 °$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ A + ∠ B = 180 ° (unghiuri consecutive)

(3 x - 15) + (2 x + 25) = 180

5 x + 10 = 180

5 x = 170

x = 34 °

∠ A = 3 \cdot 34 - 15 = 102 - 15 = 87 °

∠ B = 2 \cdot 34 + 25 = 68 + 25 = 93 °

∠ C = ∠ A = 87 °, ∠ D = ∠ B = 93 °

Verificare: 87 ° + 93 ° + 87 ° + 93 ° = 360 ° ✓

Aici nu mai ai unghiurile opuse date, ci consecutive — deci nu le egalezi, ci le aduni la $180 °$ . Asta e capcana exercițiului. Dacă ai fi egalat $A$ cu $B$ în loc să le aduni, tot calculul mergea prost.

Răspuns: $x = 34 °$ , $∠ A = 87 °$ , $∠ B = 93 °$ , $∠ C = 87 °$ , $∠ D = 93 °$

Întrebări frecvente

Dreptunghiul e tot paralelogram? Se aplică aceleași reguli?

Da, dreptunghiul e un caz particular de paralelogram — cu toate unghiurile de $90 °$ . Regulile se aplică și acolo: unghiurile opuse sunt egale ( $90 ° = 90 °$ ), iar cele consecutive sunt suplimentare ( $90 ° + 90 ° = 180 °$ ). Practic, regulile paralelogramului nu dispar — pur și simplu devin evidente.

Cum știu dacă un unghi e „opus" sau „alăturat" față de altul?

Simplu: dacă două unghiuri au o latură comună a paralelogramului, sunt alăturate (consecutive). Dacă nu au nicio latură comună și sunt față în față în patrulater, sunt opuse. Cel mai rapid e să desenezi paralelogramul și să numeri laturile dintre ele — zero laturi comune înseamnă opuse, o latură comună înseamnă alăturate.

De ce suma unghiurilor unui paralelogram e 360° și nu altceva?

Pentru că orice patrulater, indiferent de formă, are suma unghiurilor interioară de $360 °$ . Asta se demonstrează simplu: tragi o diagonală și obții două triunghiuri, fiecare cu suma unghiurilor $180 °$ . Două triunghiuri fac $2 \times 180 ° = 360 °$ . Paralelogramul nu e o excepție — e doar un patrulater ca oricare altul.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Cazul vocativ explicat cu exemple și 5 exerciții rezolvate

15 august 2026

Teorema medianei în triunghi oarecare: formulă și exemple

14 august 2026

Cazul nominativ explicat cu exemple și 5 exerciții rezolvate

14 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună