UNGHIURILE PARALELOGRAMULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente, iar unghiurile alăturate (consecutive) sunt suplementare, adică suma lor este $180^{\circ}$ . Mai jos găsești regula cu figură și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Unghiurile paralelogramului: opuse egale, alăturate suplementare

Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse paralele; aici ne oprim doar asupra unghiurilor lui.

Unghiurile opuse

∠ A

și

∠ C

sunt egale;

∠ A

și

∠ B

, alăturate, sunt suplementare.

Regula. Într-un paralelogram $A B C D$ : $∠ A \equiv ∠ C$ și $∠ B \equiv ∠ D$ (unghiuri opuse), iar $∠ A + ∠ B =$ $180^{\circ}$ (unghiuri alăturate, la fel $∠ B + ∠ C =$ $180^{\circ}$ și tot așa). Dacă știi un singur unghi, le știi pe toate patru.

De ce. Laturile $A B$ și $D C$ sunt paralele, iar latura $B C$ le taie ca secantă. Unghiurile interne de aceeași parte a secantei au suma $180^{\circ}$ , deci $∠ B + ∠ C =$ $180^{\circ}$ . Diagonala joacă același rol de secantă între unghiurile opuse, prin unghiuri alterne interne, și arată de ce $∠ A \equiv ∠ C$ .

Cu o bisectoare. Dacă bisectoarea unghiului $A$ taie latura $C D$ în $E$ , unghiurile $∠ B A E$ și $∠ A E D$ sunt alterne interne ( $A B ∥ C D$ ), deci egale; cum $∠ B A E \equiv ∠ D A E$ (bisectoare), rezultă că triunghiul $A D E$ este isoscel.

Observația asta cu bisectoarea merită reținută separat, pentru că apare des la exerciții mai grele: de fiecare dată când o bisectoare dintr-un vârf al paralelogramului întâlnește latura opusă, se formează automat un triunghi isoscel, indiferent de dimensiunile concrete ale figurii. Nu e o coincidență a unui singur exercițiu, ci o consecință directă a paralelismului laturilor, valabilă pentru orice paralelogram.

Exerciții rezolvate : unghiurile paralelogramului

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aplicare directăușor

În paralelogramul $A B C D$ , $m (∠ A) =$ $72^{\circ}$ . Calculează măsurile celorlalte trei unghiuri.

Rezolvare pas cu pas

Unghiul opus lui $A$ este $C$ : $m (∠ C) =$ $m (∠ A) =$ $72^{\circ}$ .
Unghiurile alăturate au suma $180^{\circ}$ : $m (∠ B) =$ $180^{\circ} - 72^{\circ} =$ $108^{\circ}$ .
$m (∠ D) =$ $m (∠ B) =$ $108^{\circ}$ (opus lui $B$ ).

Răspuns: $m (∠ B) =$ $m (∠ D) =$ $108^{\circ}$ , $m (∠ C) =$ $72^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Unghiul opus, directușor

În paralelogramul $A B C D$ , $m (∠ C) =$ $118^{\circ}$ . Calculează măsurile unghiurilor $A$ , $B$ și $D$ .

Rezolvare pas cu pas

$A$ este opus lui $C$ : $m (∠ A) =$ $m (∠ C) =$ $118^{\circ}$ .
Unghiurile alăturate lui $A$ au suma $180^{\circ}$ : $m (∠ B) =$ $180^{\circ} - 118^{\circ} =$ $62^{\circ}$ .
$m (∠ D) =$ $m (∠ B) =$ $62^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A) =$ $118^{\circ}$ , $m (∠ B) =$ $m (∠ D) =$ $62^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Raport între unghiuri alăturatemediu

Într-un paralelogram, două unghiuri alăturate sunt în raportul $4 : 5$ . Calculează măsurile tuturor celor patru unghiuri.

Rezolvare pas cu pas

Notăm unghiurile alăturate $4 x$ și $5 x$ . Fiind alăturate, suma lor e $180^{\circ}$ : $4 x + 5 x = 180^{\circ}$ .
$9 x = 180^{\circ}$ , deci $x = 20^{\circ}$ .
Unghiurile sunt $4 \cdot 20^{\circ} =$ $80^{\circ}$ și $5 \cdot 20^{\circ} =$ $100^{\circ}$ ; cele opuse lor sunt egale cu ele.

Răspuns: unghiurile paralelogramului sunt $80^{\circ},$ $100^{\circ},$ $80^{\circ},$ $100^{\circ}$

EXERCIȚIUL 4Bisectoarea unui unghimediu

Paralelogramul $A B C D$ are $m (∠ A) =$ $100^{\circ}$ . Bisectoarea unghiului $A$ intersectează latura $C D$ în punctul $E$ . Calculează măsurile unghiurilor triunghiului $A D E$ .

Rezolvare pas cu pas

Bisectoarea împarte unghiul $A$ în două: $m (∠ D A E) =$ $100^{\circ} : 2 =$ $50^{\circ}$ .
Unghiul $D$ al paralelogramului este alăturat lui $A$ : $m (∠ A D E) =$ $m (∠ D) =$ $180^{\circ} - 100^{\circ} =$ $80^{\circ}$ .
În triunghiul $A D E$ , suma unghiurilor e $180^{\circ}$ : $m (∠ A E D) =$ $180^{\circ} - 50^{\circ} - 80^{\circ} =$ $50^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ D A E) =$ $50^{\circ}$ , $m (∠ A D E) =$ $80^{\circ}$ , $m (∠ A E D) =$ $50^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Unghiul B mai mare decât Amediu

Într-un paralelogram $A B C D$ , unghiul $B$ este cu $30^{\circ}$ mai mare decât unghiul $A$ . Calculează măsurile celor patru unghiuri.

Rezolvare pas cu pas

Notăm $m (∠ A) = x$ , deci $m (∠ B) =$ $x + 30^{\circ}$ .
Fiind alăturate, $x + (x + 30^{\circ}) =$ $180^{\circ}$ , adică $2 x = 150^{\circ}$ , deci $x = 75^{\circ}$ .
$m (∠ A) =$ $75^{\circ}$ , $m (∠ B) =$ $105^{\circ}$ , iar cele opuse sunt egale cu ele.

Răspuns: unghiurile sunt $75^{\circ},$ $105^{\circ},$ $75^{\circ},$ $105^{\circ}$

EXERCIȚIUL 6Poate un paralelogram să aibă un unghi de 90° fără să fie dreptunghi?greu

Este adevărat că un paralelogram poate avea exact un singur unghi de $90^{\circ}$ , iar celelalte trei diferite de $90^{\circ}$ ? Justifică răspunsul.

Rezolvare pas cu pas

Dacă un unghi, de exemplu $∠ A$ , este $90^{\circ}$ , atunci unghiul opus $∠ C$ este tot $90^{\circ}$ (unghiuri opuse congruente).
Unghiurile alăturate lui $A$ au suma $180^{\circ}$ : $m (∠ B) =$ $180^{\circ} - 90^{\circ} =$ $90^{\circ}$ , și la fel $m (∠ D) =$ $90^{\circ}$ .
Deci, dacă UN unghi e drept, toate patru sunt drepte - iar atunci paralelogramul e chiar un dreptunghi. Nu poate exista un paralelogram cu exact un singur unghi de $90^{\circ}$ .

Răspuns: Nu. Dacă un unghi e de $90^{\circ}$ , toate patru devin de $90^{\circ}$ , deci paralelogramul e dreptunghi

EXERCIȚIUL 7Tip Evaluare Națională: diferența a două unghiurigreu

Paralelogramul $A B C D$ are $m (∠ A) - m (∠ B) =$ $20^{\circ}$ . Calculează măsurile tuturor unghiurilor paralelogramului.

Rezolvare pas cu pas

Unghiurile $A$ și $B$ sunt alăturate, deci $m (∠ A) + m (∠ B) =$ $180^{\circ}$ .
Avem sistemul $m (∠ A) + m (∠ B) =$ $180^{\circ}$ și $m (∠ A) - m (∠ B) =$ $20^{\circ}$ . Adunăm cele două relații: $2 \cdot m (∠ A) =$ $200^{\circ}$ , deci $m (∠ A) =$ $100^{\circ}$ .
Din prima relație: $m (∠ B) =$ $180^{\circ} - 100^{\circ} =$ $80^{\circ}$ . Unghiurile opuse sunt egale cu ele.

Răspuns: $m (∠ A) =$ $m (∠ C) =$ $100^{\circ}$ , $m (∠ B) =$ $m (∠ D) =$ $80^{\circ}$

EXERCIȚIUL 8Două necunoscute, unghiuri alăturategreu

Paralelogramul $A B C D$ are $m (∠ A) = 4 a$ grade și $m (∠ D) =$ ${(2 a + 30)}^{\circ}$ , unde $A$ și $D$ sunt unghiuri alăturate. Calculează $a$ și măsurile celor patru unghiuri.

Rezolvare pas cu pas

Fiind alăturate, $m (∠ A) + m (∠ D) =$ $180^{\circ}$ : $4 a + 2 a + 30 = 180$ .
$6 a = 150$ , deci $a = 25$ .
$m (∠ A) =$ $4 \cdot 25 =$ $100^{\circ}$ , $m (∠ D) =$ $2 \cdot 25 + 30 =$ $80^{\circ}$ ; unghiurile opuse sunt egale cu ele: $m (∠ C) =$ $100^{\circ}$ , $m (∠ B) =$ $80^{\circ}$ .

Răspuns: $a = 25$ ; unghiurile sunt $100^{\circ},$ $80^{\circ},$ $100^{\circ},$ $80^{\circ}$

Cum recunoști un exercițiu pe unghiurile paralelogramului

Se dă un singur unghi: folosești direct că opusul e egal, iar cei alăturați au suma $180^{\circ}$ .
Unghiurile sunt date ca raport sau ca expresii algebrice: scrii ecuația din relația opuse-egale sau alăturate-suplementare și rezolvi.
Apare o bisectoare a unui unghi: cauți unghiuri alterne interne și un triunghi isoscel.

Greșeli frecvente la unghiurile paralelogramului

Crezi că toate cele patru unghiuri sunt egale. Doar cele opuse sunt egale două câte două. Un paralelogram cu toate unghiurile egale e un caz special: dreptunghiul.
Confunzi unghiurile „opuse” cu cele „alăturate”. Opuse înseamnă că nu au nicio latură comună (sunt față în față); alăturate (consecutive) au o latură comună.
Aduni unghiurile opuse la $180^{\circ}$ în loc să le egalezi. Unghiurile opuse sunt EGALE, nu suplementare. Suplementaritatea (suma $180^{\circ}$ ) e pentru cele alăturate.

Exersează : unghiurile paralelogramului

Fișă de lucru: Paralelogramul, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Patrulatere, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Paralelogramulclasa a VII-a, lecția 3

Din același capitol

Întrebări frecvente despre unghiurile paralelogramului

De ce unghiurile opuse ale paralelogramului sunt egale?

Pentru că laturile opuse sunt paralele, iar diagonala joacă rol de secantă: unghiurile alterne interne pe care le formează sunt egale, și de acolo rezultă că $∠ A \equiv ∠ C$ .

Ce înseamnă „unghiuri alăturate” la un paralelogram?

Sunt cele două unghiuri care au o latură comună, de exemplu $∠ A$ și $∠ B$ , care împart latura $A B$ . Suma lor este mereu $180^{\circ}$ .

Dreptunghiul respectă aceleași reguli?

Da. Dreptunghiul e un caz particular de paralelogram, cu toate unghiurile de $90^{\circ}$ ; regula rămâne valabilă, doar că devine banală (opuse egale, alăturate suplementare, ambele automat verificate la $90^{\circ}$ ).

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 15 august 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate la matematică

TRIGONOMETRIE în triunghiul dreptunghic: sin, cos, tg, ctg - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

29 septembrie 2026

RADICALUL (rădăcina pătrată) unui număr - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

29 septembrie 2026

DREPTE PARALELE și axioma paralelelor - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

29 septembrie 2026

VOLUMUL PIRAMIDEI cu orice bază, regulată sau nu - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

28 septembrie 2026

REGULI DE CALCUL CU PUTERI pentru produs, cât și putere la putere - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

28 septembrie 2026

PRODUSUL CARTEZIAN și sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

28 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună