ÎNĂLȚIMEA PRISMEI ȘI A CILINDRULUI din diagonale, fețe și generatoare - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 14 octombrie 2026

Înălțimea unei prisme sau a unui cilindru este distanța dintre planele celor două baze: la prisma dreaptă este egală cu muchia laterală, iar la cilindrul circular drept cu generatoarea. Mai jos găsești cum afli înălțimea când nu e dată direct (din diagonala unei fețe, din diagonala corpului, din secțiunea axială), cazul prismei oblice și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Înălțimea prismei și a cilindrului: definiție și cum o calculezi

Bazele unei prisme sunt în două plane paralele. Înălțimea prismei este distanța dintre aceste plane, adică lungimea unui segment perpendicular pe ambele baze, cu capetele în planele lor. Oricare ar fi segmentul ales, lungimea este aceeași, pentru că planele sunt paralele.

Înălțimea prismei drepte este muchia laterală

A A^{'}

, perpendiculară pe bază. Înălțimea cilindrului este axa

O O^{'}

, egală cu generatoarea

A B

La prisma dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor, deci înălțimea este egală cu muchia laterală: $h = A A^{'}$ . Prisma regulată, cubul și paralelipipedul dreptunghic sunt prisme drepte, deci la ele înălțimea este oricare muchie laterală.

La prisma oblică, muchiile laterale sunt înclinate față de baze. Dacă $H$ este piciorul perpendicularei din $A^{'}$ pe planul bazei, triunghiul $A^{'} H A$ este dreptunghic în $H$ , iar $A A^{'}$ este ipotenuza. De aceea înălțimea $A^{'} H$ este mai mică decât muchia laterală.

La cilindrul circular drept, înălțimea este distanța dintre planele celor două discuri. Ea este egală cu segmentul $O O^{'}$ care unește centrele bazelor (axa cilindrului) și cu orice generatoare: $h = O O^{'} = g$ .

Când înălțimea nu e dată direct, o cauți într-un triunghi dreptunghic în care ea este catetă:

în fața laterală a unei prisme drepte (un dreptunghi): $h^{2} = d_{f}^{2} - l^{2}$ , unde $d_{f}$ este diagonala feței și $l$ muchia bazei;
în triunghiul format de diagonala corpului, diagonala bazei și o muchie laterală; la paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile $a$ , $b$ și înălțimea $h$ :

$d^{2} =$ $a^{2} + b^{2} + h^{2}$

în secțiunea axială a cilindrului (un dreptunghi cu laturile $2 r$ și $h$ ): $h^{2} = d^{2} - {(2 r)}^{2}$ , unde $d$ este diagonala secțiunii.

Atenție la diferența față de piramidă și con: acolo înălțimea pleacă dintr-un vârf și cade în centrul bazei (la corpurile regulate), iar aici leagă două baze egale, așezate una deasupra celeilalte.

Exerciții rezolvate : înălțimea prismei și a cilindrului

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Din diagonala unei fețe lateraleușor

Prisma triunghiulară regulată $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ are latura bazei de $6$ cm, iar diagonala $A^{'} B$ a feței laterale $A B B^{'} A^{'}$ are $10$ cm. Calculează înălțimea prismei.

Rezolvare pas cu pas

Prisma regulată este dreaptă, deci înălțimea este muchia laterală $A A^{'}$ , iar fața $A B B^{'} A^{'}$ este un dreptunghi.
În triunghiul $A^{'} A B$ , dreptunghic în $A$ , $A^{'} B$ este ipotenuza: $A A^{' 2} =$ $10^{2} - 6^{2} =$ $100 - 36 =$ $64$ .
Deci $A A^{'} = 8$ cm, iar înălțimea prismei este $h = 8$ cm.

Răspuns: $h = 8$ cm

EXERCIȚIUL 2Din diagonala secțiunii axialeușor

Secțiunea axială $A B C D$ a unui cilindru circular drept are diagonala $A C = 20$ cm, iar diametrul bazei $A B = 12$ cm. Calculează înălțimea și raza cilindrului.

Rezolvare pas cu pas

Secțiunea axială este un dreptunghi cu laturile $A B = 2 r = 12$ cm și $B C = h$ , deci raza este $r = 6$ cm.
În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $B$ : $B C^{2} =$ $20^{2} - 12^{2} =$ $400 - 144 =$ $256$ .
Rezultă $B C = 16$ cm. $B C$ este o generatoare, deci înălțimea cilindrului este $h = 16$ cm.

Răspuns: $h = 16$ cm, $r = 6$ cm

EXERCIȚIUL 3Din diagonala paralelipipeduluiușor

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 8$ cm, $B C = 6$ cm și diagonala $A C^{'} = 10 \sqrt{2}$ cm. Calculează înălțimea paralelipipedului.

Rezolvare pas cu pas

Diagonala bazei: $A C^{2} =$ $8^{2} + 6^{2} =$ $100$ , deci $A C = 10$ cm.
Muchia $C C^{'}$ este perpendiculară pe planul bazei, deci triunghiul $A C C^{'}$ este dreptunghic în $C$ , cu ipotenuza $A C^{'}$ .
$C C^{' 2} =$ ${(10 \sqrt{2})}^{2} - 10^{2} =$ $200 - 100 =$ $100$ , deci $h = C C^{'} = 10$ cm.
Verificare cu formula: $8^{2} + 6^{2} + 10^{2} =$ $64 + 36 + 100 =$ $200 =$ ${(10 \sqrt{2})}^{2}$ .

Răspuns: $h = 10$ cm

EXERCIȚIUL 4Prisma patrulateră regulată, din diagonala eimediu

Prisma patrulateră regulată $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are latura bazei de $6$ cm și diagonala $A C^{'} = 11$ cm. Calculează înălțimea prismei.

Rezolvare pas cu pas

Baza este un pătrat, deci diagonala ei este $A C = 6 \sqrt{2}$ cm și $A C^{2} = 72$ .
Prisma este dreaptă, deci $C C^{'} ⟂ (A B C)$ și triunghiul $A C C^{'}$ este dreptunghic în $C$ .
$C C^{' 2} =$ $A C^{' 2} - A C^{2} =$ $121 - 72 =$ $49$ , deci $h = C C^{'} = 7$ cm.

Răspuns: $h = 7$ cm

EXERCIȚIUL 5Prisma hexagonală și diagonala maremediu

Prisma hexagonală regulată $A B C D E F A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'}$ are latura bazei de $6$ cm, iar diagonala $A D^{'}$ are $20$ cm. Calculează înălțimea prismei.

Rezolvare pas cu pas

$A D$ este diagonala mare a hexagonului regulat; ea trece prin centru și este dublul laturii: $A D = 12$ cm.
Muchia $D D^{'}$ este perpendiculară pe planul bazei, deci triunghiul $A D D^{'}$ este dreptunghic în $D$ .
$D D^{' 2} =$ $20^{2} - 12^{2} =$ $400 - 144 =$ $256$ , deci $h = D D^{'} = 16$ cm.

Răspuns: $h = 16$ cm

EXERCIȚIUL 6Prisma oblică: înălțimea nu mai este muchiamediu

Prisma triunghiulară oblică $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ are muchiile laterale de $13$ cm. Piciorul perpendicularei din $A^{'}$ pe planul bazei $(A B C)$ este punctul $H$ , cu $A H = 5$ cm. Calculează înălțimea prismei și arată că este mai mică decât muchia laterală.

Rezolvare pas cu pas

Înălțimea este distanța dintre planele bazelor. Punctul $A^{'}$ este în planul bazei de sus, iar $A^{'} H ⟂ (A B C)$ , deci înălțimea este $A^{'} H$ .
$A H$ este o dreaptă din planul $(A B C)$ , deci $A^{'} H ⟂ A H$ și triunghiul $A^{'} H A$ este dreptunghic în $H$ .
$A^{'} H^{2} =$ $13^{2} - 5^{2} =$ $169 - 25 =$ $144$ , deci $h = A^{'} H = 12$ cm.
În triunghiul dreptunghic, cateta $A^{'} H$ este mai mică decât ipotenuza $A A^{'}$ : $12 < 13$ . La prisma oblică înălțimea este întotdeauna mai mică decât muchia laterală.

Răspuns: $h = 12$ cm $< 13$ cm

EXERCIȚIUL 7Un segment care traversează cilindrulgreu

Un cilindru circular drept are raza de $4$ cm. Punctul $A$ este pe cercul bazei de jos, iar punctul $B$ pe cercul bazei de sus, cu $A B = 17$ cm. Generatoarea care trece prin $B$ taie cercul bazei de jos în punctul $C$ , diametral opus lui $A$ . Calculează înălțimea cilindrului.

Rezolvare pas cu pas

$A$ și $C$ sunt diametral opuse, deci $A C = 2 r = 8$ cm.
Generatoarea $B C$ este perpendiculară pe planul bazei de jos, iar $A C$ este o dreaptă din acest plan, deci $B C ⟂ A C$ .
În triunghiul $A C B$ , dreptunghic în $C$ : $B C^{2} =$ $17^{2} - 8^{2} =$ $289 - 64 =$ $225$ , deci $B C = 15$ cm.
Înălțimea cilindrului este egală cu generatoarea: $h = 15$ cm. Observă că triunghiul $A C B$ este jumătate din secțiunea axială care trece prin $A$ și $C$ .

Răspuns: $h = 15$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: înălțimea dintr-un triunghi interiorgreu

Prisma triunghiulară regulată $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ are latura bazei de $12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $B^{'} C^{'}$ , iar $A M = 12$ cm. a) Calculează lungimea segmentului $A^{'} M$ . b) Arată că înălțimea prismei este de $6$ cm. c) Calculează aria triunghiului $A B^{'} C^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $A^{'} M$ este mediană, deci și înălțime, în triunghiul echilateral $A^{'} B^{'} C^{'}$ cu latura $12$ cm: $A^{'} M =$ $\frac{12 \sqrt{3}}{2} =$ $6 \sqrt{3}$ cm.
b) Prisma este dreaptă, deci $A A^{'} ⟂ (A^{'} B^{'} C^{'})$ și $A A^{'} ⟂ A^{'} M$ : triunghiul $A A^{'} M$ este dreptunghic în $A^{'}$ .
$A A^{' 2} =$ $A M^{2} - A^{'} M^{2} =$ $144 - 108 =$ $36$ , deci $A A^{'} = 6$ cm, adică înălțimea prismei este $6$ cm.
c) Triunghiurile dreptunghice $A A^{'} B^{'}$ și $A A^{'} C^{'}$ sunt congruente (catete $6$ și $12$ ), deci $A B^{'} =$ $A C^{'} =$ $\sqrt{36 + 144} =$ $6 \sqrt{5}$ cm: triunghiul $A B^{'} C^{'}$ este isoscel.
În triunghiul isoscel, mediana $A M$ este și înălțime pe baza $B^{'} C^{'}$ . Aria: $\frac{B^{'} C^{'} \cdot A M}{2} =$ $\frac{12 \cdot 12}{2} =$ $72$ cm².

Răspuns: a) $A^{'} M = 6 \sqrt{3}$ cm; b) $h = 6$ cm; c) aria $A B^{'} C^{'} = 72$ cm²

Cum recunoști un exercițiu pe înălțimea prismei sau a cilindrului

Corpul este o prismă dreaptă (regulată, cub, paralelipiped dreptunghic): înălțimea este o muchie laterală, iar dacă nu e dată, o cauți ca catetă într-o față laterală sau în triunghiul cu diagonala corpului.
Enunțul spune „prismă oblică” sau dă piciorul perpendicularei dintr-un vârf de sus pe planul bazei: înălțimea este acea perpendiculară, nu muchia laterală.
Corpul este un cilindru și se dau diametrul, diagonala secțiunii axiale sau un segment între cele două cercuri: înălțimea este o generatoare, catetă într-un triunghi dreptunghic din secțiunea axială.

Greșeli frecvente la înălțimea prismei și a cilindrului

Iei muchia laterală drept înălțime la prisma oblică. Doar la prisma dreaptă $h = A A^{'}$ . La prisma oblică muchia laterală este ipotenuză, iar înălțimea este catetă, deci mai mică.
Folosești latura bazei în locul diagonalei bazei. În triunghiul cu diagonala corpului $A C^{'}$ , cealaltă catetă este diagonala bazei $A C$ , nu latura $A B$ . Pentru pătrat, $A C = l \sqrt{2}$ ; pentru hexagonul regulat, diagonala mare este $2 l$ .
Pui raza în locul diametrului în secțiunea axială. Latura de jos a secțiunii axiale a cilindrului este $2 r$ . Dacă scazi $r^{2}$ în loc de ${(2 r)}^{2}$ din pătratul diagonalei, obții o înălțime prea mare.

Exersează : înălțimea prismei și a cilindrului

Fișă de lucru: Înălțimea prismei și a cilindrului, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Corpuri geometrice, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Înălțimea prismei și a cilindrului, partea a II-aclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre înălțimea prismei și a cilindrului

Este înălțimea prismei întotdeauna egală cu muchia laterală?

Nu. Este egală cu muchia laterală doar la prisma dreaptă. La prisma oblică, muchia laterală este înclinată și înălțimea, distanța dintre planele bazelor, este mai mică decât ea.

Care este înălțimea cilindrului?

Este distanța dintre planele celor două baze. La cilindrul circular drept este egală cu segmentul care unește centrele bazelor și cu orice generatoare.

Cum aflu înălțimea dacă știu doar diagonala prismei?

Afli întâi diagonala bazei, apoi folosești triunghiul dreptunghic format de diagonala bazei, muchia laterală și diagonala prismei: înălțimea este cateta, $h^{2} = d^{2} - d_{b}^{2}$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Înălțimea unei prisme drepte este segmentul care unește:
2. La o prismă dreaptă cu înălțimea $h$ , dacă $h = 8$ cm, ce reprezintă această valoare față de muchiile laterale ale prismei?
3. Înălțimea unui cilindru circular drept reprezintă:
4. La un cilindru drept, care este relația dintre înălțime $h$ și generatoare $g$ ?
5. O prismă dreaptă triunghiulară are înălțimea $h = 10$ cm. Care dintre afirmații este corectă?