SECȚIUNI DIAGONALE ȘI AXIALE în prismă, piramidă, cilindru și con - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 14 octombrie 2026

Secțiunea diagonală a unei prisme drepte este un dreptunghi cu laturile egale cu diagonala bazei și cu înălțimea; secțiunea axială a unui cilindru este un dreptunghi cu laturile $2 r$ și $h$ , iar a unui con, un triunghi isoscel cu laturile $g$ , $g$ și $2 r$ . Mai jos găsești secțiunile tuturor corpurilor studiate, cum le calculezi și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Ce este o secțiune diagonală și ce este o secțiune axială

Când tai un corp cu un plan, partea comună a corpului și a planului este o figură plană, numită secțiune. Două secțiuni apar foarte des în exerciții: secțiunea diagonală, la corpurile cu muchii (prisme, piramide, trunchiuri de piramidă), și secțiunea axială, la corpurile rotunde (cilindru, con, trunchi de con).

Secțiunea diagonală

A C C^{'} A^{'}

a paralelipipedului dreptunghic este un dreptunghi. Secțiunea axială

V A B

a conului este un triunghi isoscel cu înălțimea

V O

Secțiunea diagonală a unei prisme se face cu planul determinat de două muchii laterale care nu aparțin aceleiași fețe. În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , muchiile $A A^{'}$ și $C C^{'}$ sunt paralele, deci determină un plan, iar secțiunea este $A C C^{'} A^{'}$ . Pentru că $A A^{'} ⟂ (A B C)$ , unghiul $A^{'} A C$ este drept și secțiunea este un dreptunghi cu laturile $A C = d$ (diagonala bazei) și $A A^{'} = h$ :

$A_{A C C^{'} A^{'}} =$ $d \cdot h$

Diagonala acestui dreptunghi, $A C^{'}$ , este chiar diagonala paralelipipedului. Paralelipipedul are două secțiuni diagonale de acest fel, $A C C^{'} A^{'}$ și $B D D^{'} B^{'}$ , congruente, pentru că diagonalele dreptunghiului $A B C D$ sunt egale. La prisma hexagonală regulată există două tipuri de secțiuni diagonale: prin diagonala mare a bazei ( $A D = 2 l$ ) și prin diagonala mică ( $A C = l \sqrt{3}$ ).

Secțiunea diagonală a unei piramide se face cu planul determinat de vârf și de o diagonală a bazei. La piramida patrulateră regulată $V A B C D$ , secțiunea este triunghiul isoscel $V A C$ , cu baza $A C$ (diagonala pătratului) și înălțimea $V O$ (înălțimea piramidei). La trunchiul de piramidă patrulateră regulată, secțiunea $A C C^{'} A^{'}$ este un trapez isoscel cu bazele egale cu diagonalele celor două baze și cu înălțimea egală cu înălțimea trunchiului.

Secțiunea axială se face cu un plan care conține axa $O O^{'}$ a corpului rotund:

la cilindru: un dreptunghi cu laturile $2 r$ (diametrul) și $h$ (generatoarea); dacă este pătrat, cilindrul se numește echilateral;
la con: un triunghi isoscel cu laturile $g$ , $g$ și $2 r$ , cu înălțimea $h$ a conului; dacă este echilateral, conul se numește echilateral;
la trunchiul de con: un trapez isoscel cu bazele $2 R$ și $2 r$ , înălțimea $h$ și laturile neparalele egale cu generatoarea $G$ .

Secțiunile sunt utile pentru că mută problema din spațiu în plan: în dreptunghiul, triunghiul sau trapezul obținut lucrezi cu teorema lui Pitagora și cu formulele de arie pe care le știi din clasa a VII-a.

Exerciții rezolvate : secțiunile diagonale și axiale

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Secțiunea diagonală a cubuluiușor

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de $7$ cm. Calculează aria secțiunii diagonale $A C C^{'} A^{'}$ și lungimea diagonalei ei, $A C^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

Secțiunea $A C C^{'} A^{'}$ este un dreptunghi, pentru că muchia $A A^{'}$ este perpendiculară pe planul bazei, deci pe $A C$ .
Latura $A C$ este diagonala pătratului cu latura $7$ cm: $A C = 7 \sqrt{2}$ cm. Latura $A A^{'} = 7$ cm.
Aria: $A C \cdot A A^{'} =$ $7 \sqrt{2} \cdot 7 =$ $49 \sqrt{2}$ cm².
Diagonala secțiunii: $A C^{' 2} =$ ${(7 \sqrt{2})}^{2} + 7^{2} =$ $98 + 49 =$ $147$ , deci $A C^{'} =$ $\sqrt{147} =$ $7 \sqrt{3}$ cm, adică diagonala cubului.

Răspuns: aria $= 49 \sqrt{2}$ cm², $A C^{'} = 7 \sqrt{3}$ cm

EXERCIȚIUL 2Paralelipipedul și secțiunea BDD'B'ușor

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 9$ cm, $B C = 12$ cm și $A A^{'} = 8$ cm. Calculează aria secțiunii diagonale $B D D^{'} B^{'}$ și diagonala paralelipipedului $B D^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

Diagonala bazei, din triunghiul dreptunghic $B A D$ : $B D^{2} =$ $9^{2} + 12^{2} =$ $81 + 144 =$ $225$ , deci $B D = 15$ cm.
Secțiunea $B D D^{'} B^{'}$ este un dreptunghi cu laturile $B D = 15$ cm și $B B^{'} = A A^{'} = 8$ cm. Aria: $15 \cdot 8 = 120$ cm².
Diagonala paralelipipedului este diagonala acestui dreptunghi: $B D^{' 2} =$ $15^{2} + 8^{2} =$ $225 + 64 =$ $289$ , deci $B D^{'} = 17$ cm.

Răspuns: aria $= 120$ cm², $B D^{'} = 17$ cm

EXERCIȚIUL 3Raza cilindrului din aria secțiunii axialeușor

Secțiunea axială $A B C D$ a unui cilindru circular drept are aria de $168$ cm², iar generatoarea $B C$ are $7$ cm. Calculează raza cilindrului și diagonala $A C$ a secțiunii axiale.

Rezolvare pas cu pas

Secțiunea axială este un dreptunghi cu laturile $A B = 2 r$ (diametrul bazei) și $B C = h = 7$ cm.
Din arie: $2 r \cdot 7 = 168$ , deci $2 r = 24$ cm și $r = 12$ cm.
Diagonala dreptunghiului: $A C^{2} =$ $24^{2} + 7^{2} =$ $576 + 49 =$ $625$ , deci $A C = 25$ cm.

Răspuns: $r = 12$ cm, $A C = 25$ cm

EXERCIȚIUL 4Triunghiul isoscel din conmediu

Un con circular drept are raza bazei $O B = 9$ cm și generatoarea $V B = 15$ cm. Secțiunea axială este triunghiul $V A B$ . Calculează înălțimea conului, aria și perimetrul secțiunii axiale.

Rezolvare pas cu pas

Secțiunea axială $V A B$ este un triunghi isoscel cu $V A = V B = 15$ cm și baza $A B = 2 r = 18$ cm.
Înălțimea conului $V O$ este înălțimea acestui triunghi și cade în mijlocul $O$ al bazei. În triunghiul $V O B$ , dreptunghic în $O$ : $V O^{2} =$ $15^{2} - 9^{2} =$ $225 - 81 =$ $144$ , deci $V O = 12$ cm.
Aria secțiunii: $\frac{A B \cdot V O}{2} =$ $\frac{18 \cdot 12}{2} =$ $108$ cm².
Perimetrul: $15 + 15 + 18 = 48$ cm.

Răspuns: $h = 12$ cm, aria $= 108$ cm², perimetrul $= 48$ cm

EXERCIȚIUL 5Secțiunea diagonală a piramidei patrulateremediu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei de $12 \sqrt{2}$ cm și muchia laterală de $20$ cm, iar $O$ este centrul bazei. Calculează înălțimea piramidei și aria secțiunii diagonale $V A C$ .

Rezolvare pas cu pas

Diagonala pătratului: $A C =$ $l \sqrt{2} =$ $12 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} =$ $24$ cm, iar $O A = 12$ cm.
Secțiunea $V A C$ este un triunghi isoscel ( $V A = V C = 20$ cm), iar înălțimea lui din $V$ este chiar înălțimea piramidei, $V O$ , cu piciorul în mijlocul lui $A C$ .
În triunghiul $V O A$ , dreptunghic în $O$ : $V O^{2} =$ $20^{2} - 12^{2} =$ $400 - 144 =$ $256$ , deci $V O = 16$ cm.
Aria secțiunii: $\frac{A C \cdot V O}{2} =$ $\frac{24 \cdot 16}{2} =$ $192$ cm².

Răspuns: $V O = 16$ cm, aria $V A C = 192$ cm²

EXERCIȚIUL 6Două secțiuni diferite în prisma hexagonalămediu

Prisma hexagonală regulată $A B C D E F A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'}$ are latura bazei de $4$ cm și înălțimea de $6$ cm. Calculează ariile secțiunilor diagonale $A D D^{'} A^{'}$ și $A C C^{'} A^{'}$ . Care este mai mare?

Rezolvare pas cu pas

Ambele secțiuni sunt dreptunghiuri cu o latură egală cu înălțimea, $A A^{'} = 6$ cm, pentru că prisma este dreaptă.
Diagonala mare a hexagonului regulat trece prin centru și este dublul laturii: $A D = 2 \cdot 4 = 8$ cm. Aria $A D D^{'} A^{'} =$ $8 \cdot 6 =$ $48$ cm².
Diagonala mică $A C$ este de două ori înălțimea unui triunghi echilateral cu latura $4$ cm: $A C =$ $2 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{2} =$ $4 \sqrt{3}$ cm. Aria $A C C^{'} A^{'} =$ $4 \sqrt{3} \cdot 6 =$ $24 \sqrt{3}$ cm².
Comparăm: $24 \sqrt{3} =$ $\sqrt{1728}$ , iar $48 = \sqrt{2304}$ , deci secțiunea $A D D^{'} A^{'}$ este mai mare.

Răspuns: $48$ cm² și $24 \sqrt{3}$ cm²; mai mare este $A D D^{'} A^{'}$

EXERCIȚIUL 7Trapezul isoscel din trunchiul de piramidăgreu

Trunchiul de piramidă patrulateră regulată $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are laturile bazelor $A B = 10$ cm și $A^{'} B^{'} = 4$ cm, iar muchia laterală de $6$ cm. Calculează înălțimea trunchiului și aria secțiunii diagonale $A C C^{'} A^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

Secțiunea $A C C^{'} A^{'}$ este un trapez isoscel: $A C ∥ A^{'} C^{'}$ (bazele sunt în plane paralele), iar $A A^{'} = C C^{'} = 6$ cm.
Bazele trapezului sunt diagonalele pătratelor: $A C = 10 \sqrt{2}$ cm și $A^{'} C^{'} = 4 \sqrt{2}$ cm.
Ducem înălțimea din $A^{'}$ pe $A C$ , cu piciorul $T$ . În trapezul isoscel, $A T =$ $\frac{A C - A^{'} C^{'}}{2} =$ $\frac{6 \sqrt{2}}{2} =$ $3 \sqrt{2}$ cm.
În triunghiul $A T A^{'}$ , dreptunghic în $T$ : $A^{'} T^{2} =$ $6^{2} - {(3 \sqrt{2})}^{2} =$ $36 - 18 =$ $18$ , deci $A^{'} T = 3 \sqrt{2}$ cm. Aceasta este înălțimea trunchiului.
Aria trapezului: $\frac{(10 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}) \cdot 3 \sqrt{2}}{2} =$ $\frac{14 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2}}{2} =$ $\frac{84}{2} =$ $42$ cm².

Răspuns: $h = 3 \sqrt{2}$ cm, aria $A C C^{'} A^{'} = 42$ cm²

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: o distanță găsită în secțiunegreu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 12$ cm, $B C = 9$ cm și $A A^{'} = 20$ cm. a) Calculează aria secțiunii diagonale $A C C^{'} A^{'}$ . b) Arată că diagonala $A^{'} C$ are $25$ cm. c) Calculează distanța de la punctul $A$ la dreapta $A^{'} C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) În baza dreptunghiulară: $A C^{2} =$ $12^{2} + 9^{2} =$ $144 + 81 =$ $225$ , deci $A C = 15$ cm. Secțiunea $A C C^{'} A^{'}$ este un dreptunghi $15$ cm pe $20$ cm, cu aria $300$ cm².
b) $A^{'} C$ este o diagonală a dreptunghiului $A C C^{'} A^{'}$ . În triunghiul $A^{'} A C$ , dreptunghic în $A$ : $A^{'} C^{2} =$ $20^{2} + 15^{2} =$ $400 + 225 =$ $625$ , deci $A^{'} C = 25$ cm.
c) Punctul $A$ și dreapta $A^{'} C$ sunt în planul secțiunii, deci distanța căutată este înălțimea din $A$ a triunghiului dreptunghic $A^{'} A C$ .
Înălțimea din unghiul drept este produsul catetelor împărțit la ipotenuză: $\frac{A A^{'} \cdot A C}{A^{'} C} =$ $\frac{20 \cdot 15}{25} =$ $12$ cm.

Răspuns: a) $300$ cm²; b) $A^{'} C = 25$ cm; c) $12$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe secțiuni diagonale și axiale

Enunțul numește o figură cu patru litere formată din două muchii laterale opuse (de exemplu $A C C^{'} A^{'}$ sau $B D D^{'} B^{'}$ ): este o secțiune diagonală, un dreptunghi la prisma dreaptă și un trapez isoscel la trunchiul de piramidă regulată.
Enunțul spune „secțiunea axială” la un cilindru, con sau trunchi de con: o înlocuiești imediat cu dreptunghiul $2 r \times h$ , triunghiul isoscel $g, g, 2 r$ sau trapezul isoscel $2 R, 2 r, G$ .
Se cere diagonala corpului, înălțimea conului sau o distanță între puncte din interior: cauți o secțiune care conține toate segmentele implicate și lucrezi în ea ca în geometria plană.

Greșeli frecvente la secțiunile diagonale și axiale

Iei latura bazei în locul diagonalei bazei. Secțiunea $A C C^{'} A^{'}$ are laturile $A C$ și $A A^{'}$ , nu $A B$ și $A A^{'}$ . Un dreptunghi cu laturile $A B$ și $A A^{'}$ este fața laterală $A B B^{'} A^{'}$ , nu o secțiune diagonală.
Folosești raza în locul diametrului. Latura de jos a secțiunii axiale, la cilindru și la con, este diametrul $2 r$ . Dacă enunțul dă raza, o dublezi; dacă dă latura secțiunii, o împarți la $2$ ca să afli raza.
Pui muchia laterală în locul înălțimii. În secțiunea $V A C$ a piramidei, $V A$ este latură oblică, iar înălțimea este $V O$ . La fel, în trapezul secțiunii unui trunchi, muchia laterală este latura neparalelă, nu înălțimea.

Exersează : secțiunile diagonale și axiale

Fișă de lucru: Secțiuni diagonale și axiale, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Plane paralele și perpendiculare, clasa a VIII-acu barem (PDF), include secțiunile diagonale și axiale Lecția video: Secțiuni diagonale și axiale, partea a II-aclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre secțiunile diagonale și axiale

Câte secțiuni diagonale are un cub?

Prin perechile de muchii laterale opuse, $A A^{'}$ cu $C C^{'}$ și $B B^{'}$ cu $D D^{'}$ , obții două secțiuni diagonale, $A C C^{'} A^{'}$ și $B D D^{'} B^{'}$ . Dacă iei și alte perechi de muchii opuse, ca $A B$ cu $C^{'} D^{'}$ , apar și altele, toate dreptunghiuri congruente cu laturile $a$ și $a \sqrt{2}$ .

Ce formă are secțiunea axială a conului?

Un triunghi isoscel: laturile egale sunt generatoarele, baza este diametrul $2 r$ , iar înălțimea triunghiului este înălțimea conului. Dacă generatoarea este egală cu diametrul, triunghiul este echilateral.

De ce secțiunea diagonală a prismei drepte este un dreptunghi?

Pentru că muchiile laterale ale prismei drepte sunt perpendiculare pe planul bazei, deci și pe diagonala bazei. Cele două muchii laterale sunt și paralele și egale, așa că patrulaterul are toate unghiurile drepte.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Secțiunea diagonală a unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $a$ , $b$ și $c$ este dreptunghiul format de două muchii laterale opuse și de diagonalele bazelor. Care este lungimea diagonalei acestei secțiuni?
2. Secțiunea axială a unui con este un triunghi isoscel cu baza egală cu diametrul bazei conului. Dacă raza bazei conului este $r = 3$ cm și înălțimea $h = 4$ cm, care este aria secțiunii axiale?
3. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept cu raza $r$ și înălțimea $h$ este:
4. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $a = 3$ cm, $b = 4$ cm și $c = 5$ cm. Care este aria secțiunii diagonale care conține muchia $c$ și diagonala feței de dimensiuni $a \times b$ ?
5. Secțiunea axială a unui trunchi de con circular drept este: