PROIECȚII PE UN PLAN punct, segment, triunghi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 14 octombrie 2026

Proiecția unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan; ca să proiectezi un segment, proiectezi cele două capete și le unești. Lungimea proiecției o afli dintr-un triunghi dreptunghic sau dintr-un trapez dreptunghic. Mai jos găsești regulile pentru punct, dreaptă, segment și triunghi și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Proiecția unui punct, a unei drepte și a unui segment

Proiecția (ortogonală) a unui punct $A$ pe planul $α$ este piciorul $A^{'}$ al perpendicularei duse din $A$ pe $α$ . Dacă punctul este chiar în plan, proiecția lui este el însuși. Lungimea $A A^{'}$ este distanța de la $A$ la plan.

A^{'}

și

B^{'}

sunt picioarele perpendicularelor din

A

și

B

α

. Segmentul

A^{'} B^{'}

este proiecția segmentului

A B

pe plan.

Proiecția unui segment $A B$ se obține proiectând capetele: ${pr}_{α} A B =$ $A^{'} B^{'}$ . Dreptele $A A^{'}$ și $B B^{'}$ sunt perpendiculare pe același plan, deci sunt paralele, iar punctele $A$ , $B$ , $B^{'}$ , $A^{'}$ sunt în același plan. De aici vin toate calculele:

dacă $B \in α$ , triunghiul $A A^{'} B$ este dreptunghic în $A^{'}$ : $A^{'} B^{2} = A B^{2} - A A^{' 2}$ ;
dacă $A B ∥ α$ , patrulaterul $A B B^{'} A^{'}$ este dreptunghi și $A^{'} B^{'} = A B$ ;
dacă $A$ și $B$ sunt de aceeași parte a planului, la distanțe diferite, $A B B^{'} A^{'}$ este un trapez dreptunghic; duci din $B$ o paralelă la $A^{'} B^{'}$ și ajungi la un triunghi dreptunghic cu o catetă egală cu diferența distanțelor;
dacă $A$ și $B$ sunt de o parte și de alta a planului, cateta acelui triunghi este suma distanțelor.

$A^{'} B^{'} \leq A B$

Proiecția unui segment nu poate fi mai lungă decât segmentul: în triunghiul dreptunghic folosit mai sus, $A B$ este ipotenuza. Egalitatea are loc doar când segmentul este paralel cu planul (sau conținut în el). Dacă segmentul este perpendicular pe plan, proiecția lui este un singur punct.

Proiecția unei drepte pe un plan este o dreaptă, cu o excepție: dreapta perpendiculară pe plan se proiectează într-un punct. Proiecția unui triunghi este, de obicei, tot un triunghi, format de proiecțiile vârfurilor; dacă planul triunghiului este perpendicular pe $α$ , cele trei proiecții cad pe aceeași dreaptă și proiecția triunghiului este un segment.

În corpurile pe care le cunoști, proiecțiile pe planul bazei se văd imediat: vârfurile bazei de sus a cubului sau a prismei drepte se proiectează în vârfurile bazei de jos, iar vârful unei piramide regulate se proiectează în centrul bazei.

Exerciții rezolvate : proiecții pe un plan

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Proiecții pe baza cubuluiușor

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de $6$ cm. a) Precizează proiecțiile pe planul $(A B C)$ ale punctelor $A^{'}$ , $C^{'}$ și $C$ . b) Precizează proiecțiile segmentelor $A^{'} C^{'}$ și $A^{'} C$ pe planul $(A B C)$ și calculează lungimile segmentelor $A^{'} C^{'}$ și $A^{'} C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Muchiile laterale ale cubului sunt perpendiculare pe planul bazei, deci $A^{'}$ se proiectează în $A$ , iar $C^{'}$ în $C$ . Punctul $C$ este în plan, deci proiecția lui este chiar $C$ .
b) Proiectezi capetele: proiecția lui $A^{'} C^{'}$ este $A C$ , iar proiecția lui $A^{'} C$ este tot $A C$ .
$A C$ este diagonala pătratului: $A C = 6 \sqrt{2}$ cm. $A^{'} C^{'}$ este paralel cu baza, deci $A^{'} C^{'} =$ $A C =$ $6 \sqrt{2}$ cm.
Triunghiul $A^{'} A C$ este dreptunghic în $A$ : $A^{'} C^{2} =$ $36 + 72 =$ $108$ , deci $A^{'} C = 6 \sqrt{3}$ cm. Observi că două segmente diferite au aceeași proiecție.

Răspuns: a) $A$ , $C$ , $C$ ; b) ambele se proiectează în $A C$ ; $A^{'} C^{'} = 6 \sqrt{2}$ cm, $A^{'} C = 6 \sqrt{3}$ cm

EXERCIȚIUL 2Un capăt al segmentului este în planușor

Punctul $B$ aparține planului $α$ , iar punctul $A$ se află la distanța de $9$ cm de plan. Știind că $A B = 15$ cm, calculează lungimea proiecției segmentului $A B$ pe planul $α$ .

Rezolvare pas cu pas

Fie $A^{'}$ proiecția lui $A$ pe $α$ . Distanța de la $A$ la plan este $A A^{'} = 9$ cm.
$B$ este în plan, deci se proiectează în el însuși. Proiecția segmentului $A B$ este $A^{'} B$ .
$A A^{'} ⟂ α$ și $A^{'} B \subset α$ , deci triunghiul $A A^{'} B$ este dreptunghic în $A^{'}$ , cu ipotenuza $A B$ .
$A^{'} B^{2} =$ $15^{2} - 9^{2} =$ $225 - 81 =$ $144$ , deci $A^{'} B = 12$ cm.

Răspuns: $A^{'} B = 12$ cm

EXERCIȚIUL 3Ambele capete deasupra planuluiușor

Segmentul $A B$ , cu $A B = 10$ cm, se află de aceeași parte a planului $α$ . Distanțele capetelor la plan sunt $A A^{'} = 10$ cm și $B B^{'} = 4$ cm, unde $A^{'}$ și $B^{'}$ sunt proiecțiile lor. Calculează lungimea proiecției $A^{'} B^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

$A A^{'}$ și $B B^{'}$ sunt perpendiculare pe $α$ , deci paralele. Patrulaterul $A B B^{'} A^{'}$ este un trapez dreptunghic, cu unghiurile drepte în $A^{'}$ și $B^{'}$ .
Duci $B E ⟂ A A^{'}$ , cu $E \in A A^{'}$ . $E B B^{'} A^{'}$ este dreptunghi, deci $A^{'} E = B B^{'} = 4$ cm și $B E = A^{'} B^{'}$ .
$A E =$ $A A^{'} - A^{'} E =$ $10 - 4 =$ $6$ cm.
În triunghiul $A E B$ , dreptunghic în $E$ : $B E^{2} =$ $10^{2} - 6^{2} =$ $64$ , deci $A^{'} B^{'} = B E = 8$ cm.

Răspuns: $A^{'} B^{'} = 8$ cm

EXERCIȚIUL 4Segmentul traversează planulmediu

Segmentul $A B$ , cu $A B = 15$ cm, intersectează planul $α$ . Punctul $A$ se află la $4$ cm de plan, iar punctul $B$ , de cealaltă parte a planului, la $5$ cm. Calculează lungimea proiecției segmentului $A B$ pe $α$ .

Rezolvare pas cu pas

Fie $A^{'}$ și $B^{'}$ proiecțiile capetelor: $A A^{'} = 4$ cm, $B B^{'} = 5$ cm. Dreptele $A A^{'}$ și $B B^{'}$ sunt paralele, deci $A$ , $A^{'}$ , $B^{'}$ , $B$ sunt în același plan.
Prelungești $A A^{'}$ dincolo de plan până în punctul $E$ , cu $A^{'} E = B B^{'} = 5$ cm. $A^{'} E B B^{'}$ este dreptunghi, deci $E B = A^{'} B^{'}$ și $E B ⟂ A E$ .
De data aceasta distanțele se adună: $A E =$ $A A^{'} + A^{'} E =$ $4 + 5 =$ $9$ cm.
În triunghiul $A E B$ , dreptunghic în $E$ : $E B^{2} =$ $15^{2} - 9^{2} =$ $225 - 81 =$ $144$ , deci $A^{'} B^{'} = 12$ cm.

Răspuns: $A^{'} B^{'} = 12$ cm

EXERCIȚIUL 5Proiecția unei fețe laterale pe bazămediu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei de $10$ cm și apotema $V M = 13$ cm, unde $M$ este mijlocul lui $B C$ , iar $O$ este centrul bazei. a) Precizează proiecția apotemei $V M$ pe planul bazei și calculează-i lungimea. b) Precizează proiecția triunghiului $V B C$ pe planul bazei și compară aria ei cu aria triunghiului $V B C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Piramida este regulată, deci înălțimea cade în centrul bazei: $V$ se proiectează în $O$ . $M$ este în plan. Proiecția lui $V M$ este $O M$ .
$O M$ este jumătate din latură: $O M = 5$ cm. Verificare cu Pitagora în triunghiul $V O M$ : $V O^{2} =$ $169 - 25 =$ $144$ , $V O = 12$ cm, deci proiecția este mai scurtă decât apotema, cum trebuie.
b) $B$ și $C$ sunt în plan, iar $V$ se proiectează în $O$ . Proiecția triunghiului $V B C$ este triunghiul $O B C$ .
Aria lui $O B C$ : $\frac{B C \cdot O M}{2} =$ $\frac{10 \cdot 5}{2} =$ $25$ cm², adică un sfert din aria pătratului ( $100$ cm²).
Aria lui $V B C$ : $\frac{B C \cdot V M}{2} =$ $\frac{10 \cdot 13}{2} =$ $65$ cm². Proiecția are aria mai mică decât fața.

Răspuns: a) $O M = 5$ cm; b) triunghiul $O B C$ , cu aria $25$ cm², mai mică decât aria $V B C = 65$ cm²

EXERCIȚIUL 6Proiecția mijlocului unui segmentmediu

Segmentul $A B$ se află deasupra planului $α$ , cu $A A^{'} = 7$ cm și $B B^{'} = 3$ cm, unde $A^{'}$ , $B^{'}$ sunt proiecțiile capetelor, iar $A^{'} B^{'} = 8$ cm. Fie $M$ mijlocul lui $A B$ și $M^{'}$ proiecția lui $M$ . a) Arată că $M^{'}$ este mijlocul lui $A^{'} B^{'}$ . b) Calculează distanța de la $M$ la plan și lungimea lui $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $M M^{'}$ , $A A^{'}$ și $B B^{'}$ sunt perpendiculare pe $α$ , deci paralele, și toate sunt în planul trapezului $A B B^{'} A^{'}$ .
În trapez, paralela la baze prin mijlocul laturii $A B$ taie cealaltă latură neparalelă $A^{'} B^{'}$ tot în mijloc. Deci $M^{'}$ este mijlocul lui $A^{'} B^{'}$ , iar $M M^{'}$ este linie mijlocie.
b) Linia mijlocie a trapezului este semisuma bazelor: $M M^{'} =$ $\frac{7 + 3}{2} =$ $5$ cm. Aceasta este distanța de la $M$ la plan.
Pentru $A B$ , duci $B E ⟂ A A^{'}$ : $A E = 7 - 3 = 4$ cm, $B E = 8$ cm, deci $A B^{2} = 16 + 64 = 80$ și $A B = 4 \sqrt{5}$ cm.

Răspuns: a) $M^{'}$ este mijlocul lui $A^{'} B^{'}$ ; b) $M M^{'} = 5$ cm, $A B = 4 \sqrt{5}$ cm

EXERCIȚIUL 7Un triunghi care se proiectează într-un segmentgreu

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de $4$ cm. a) Arată că proiecția lui $D^{'}$ pe planul $(A B B^{'})$ este $A^{'}$ și că proiecția lui $C$ pe același plan este $B$ . b) Calculează lungimea diagonalei $D^{'} B$ și a proiecției ei pe planul $(A B B^{'})$ . c) Ce figură este proiecția triunghiului $D^{'} B C$ pe planul $(A B B^{'})$ ?

Desenul nu arată că punctele cad pe aceeași dreaptă: asta se demonstrează în rezolvare.

Rezolvare pas cu pas

a) $D^{'} A^{'} ⟂ A^{'} A$ și $D^{'} A^{'} ⟂ A^{'} B^{'}$ (fețe pătrate), iar $A^{'} A$ și $A^{'} B^{'}$ sunt concurente în planul $(A B B^{'})$ . Din criteriu, $D^{'} A^{'} ⟂ (A B B^{'})$ , deci $D^{'}$ se proiectează în $A^{'}$ .
La fel, $C B ⟂ B A$ și $C B ⟂ B B^{'}$ , deci $C B ⟂ (A B B^{'})$ și $C$ se proiectează în $B$ .
b) Triunghiul $D^{'} A^{'} B$ este dreptunghic în $A^{'}$ . $A^{'} B = 4 \sqrt{2}$ cm (diagonala feței), deci $D^{'} B^{2} = 16 + 32 = 48$ și $D^{'} B = 4 \sqrt{3}$ cm. Proiecția lui $D^{'} B$ este $A^{'} B = 4 \sqrt{2}$ cm.
c) Vârfurile $D^{'}$ , $B$ , $C$ se proiectează în $A^{'}$ , $B$ , $B$ . Proiecția triunghiului este segmentul $A^{'} B$ , nu un triunghi.
Explicația: $A^{'} D^{'} ∥ B C$ , deci $A^{'}$ este în planul triunghiului $D^{'} B C$ . Acest plan conține dreapta $B C$ , perpendiculară pe $(A B B^{'})$ , deci este perpendicular pe $(A B B^{'})$ .

Răspuns: a) $D^{'} \to A^{'}$ , $C \to B$ ; b) $D^{'} B = 4 \sqrt{3}$ cm, proiecția $A^{'} B = 4 \sqrt{2}$ cm; c) segmentul $A^{'} B$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: proiecții într-un paralelipipedgreu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 8$ cm, $B C = 3$ cm și $A A^{'} = 12$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $C^{'} D^{'}$ , respectiv $C D$ . a) Arată că $N$ este proiecția lui $M$ pe planul $(A B C)$ . b) Calculează lungimea proiecției segmentului $A M$ pe planul $(A B C)$ și lungimea segmentului $A M$ . c) Calculează aria proiecției triunghiului $A M B$ pe planul $(A B C)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $M N$ unește mijloacele laturilor opuse ale dreptunghiului $D C C^{'} D^{'}$ , deci $M N ∥ C C^{'}$ . Cum $C C^{'} ⟂ (A B C)$ , rezultă $M N ⟂ (A B C)$ , iar $N$ este în plan: $N$ este proiecția lui $M$ .
b) Proiecția lui $A M$ este $A N$ . În triunghiul $A D N$ , dreptunghic în $D$ : $A D = 3$ cm, $D N = 4$ cm, deci $A N = 5$ cm.
Triunghiul $M N A$ este dreptunghic în $N$ , cu $M N = A A^{'} = 12$ cm: $A M^{2} =$ $144 + 25 =$ $169$ , deci $A M = 13$ cm.
c) $A$ și $B$ sunt în plan, iar $M$ se proiectează în $N$ : proiecția triunghiului $A M B$ este triunghiul $A N B$ .
Înălțimea din $N$ a triunghiului $A N B$ este distanța dintre $C D$ și $A B$ , adică $B C = 3$ cm. Aria: $\frac{8 \cdot 3}{2} =$ $12$ cm².

Răspuns: a) $M N ⟂ (A B C)$ ; b) $A N = 5$ cm, $A M = 13$ cm; c) $12$ cm²

Cum recunoști un exercițiu pe proiecții pe un plan

Enunțul spune „proiecția pe planul…” sau dă distanțele capetelor unui segment la un plan: cauți perpendicularele din capete și picioarele lor.
Ai un segment și distanțele capetelor la plan: verifici întâi unde sunt capetele (unul în plan, ambele de aceeași parte, de o parte și de alta), apoi alegi triunghiul dreptunghic potrivit.
Lucrezi într-un corp geometric: vârfurile de sus ale cubului sau prismei drepte cad în vârfurile de jos, iar vârful piramidei regulate cade în centrul bazei.

Greșeli frecvente la proiecții pe un plan

Iei proiecția egală cu segmentul. Proiecția are aceeași lungime doar când segmentul e paralel cu planul. În rest e mai scurtă: în exercițiul 2, segmentul are $15$ cm, iar proiecția $12$ cm.
Scazi distanțele când capetele sunt de o parte și de alta a planului. Când segmentul traversează planul, cateta triunghiului dreptunghic este suma distanțelor, nu diferența. Desenează punctele ca să vezi unde sunt.
Crezi că proiecția unui triunghi este întotdeauna un triunghi. Dacă planul triunghiului este perpendicular pe planul de proiecție, cele trei proiecții sunt coliniare și obții un segment, ca în exercițiul 7.

Exersează : proiecții pe un plan

Fișă de lucru: Proiecții pe un plan, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Geometrie în spațiu, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Proiecții pe un plan, partea a II-aclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre proiecții pe un plan

Care este diferența dintre proiecția unui punct și distanța de la punct la plan?

Proiecția este un punct: piciorul perpendicularei. Distanța este un număr: lungimea segmentului dintre punct și proiecția lui.

Poate proiecția unui segment să fie un punct?

Da, când segmentul este perpendicular pe plan. Atunci ambele capete se proiectează în același punct.

De ce perpendicularele din capetele segmentului sunt paralele?

Pentru că două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele. De aceea capetele segmentului și proiecțiile lor sunt mereu în același plan și poți lucra ca în geometria plană.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este definiția proiecției unui punct $M$ pe un plan $α$ , dacă dreapta $M M^{'}$ este perpendiculară pe planul $α$ ?
2. Proiecția unui segment $A B$ pe un plan $α$ este segmentul $A^{'} B^{'}$ , unde $A^{'}$ și $B^{'}$ sunt:
3. Dacă dreapta $d$ este perpendiculară pe planul $α$ , atunci proiecția ei pe $α$ este:
4. Proiecția unui triunghi $A B C$ pe un plan $α$ este un triunghi $A^{'} B^{'} C^{'}$ . Care afirmație este corectă în cazul general?
5. Dacă punctul $M$ se află chiar în planul $α$ , atunci proiecția lui pe $α$ este:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 14 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

SECȚIUNI DIAGONALE ȘI AXIALE în prismă, piramidă, cilindru și con - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)