TEOREMA ÎMPĂRȚIRII CU REST - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Teorema împărțirii cu rest spune că orice împărțire de numere naturale se scrie $a = c \cdot b + r$ , cu restul mai mic decât împărțitorul ( $0 \leq r < b$ ). Mai jos găsești regula pe scurt și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Enunțul teoremei împărțirii cu rest

Teorema. Pentru orice două numere naturale $a$ (deîmpărțitul) și $b$ (împărțitorul, nenul), există un cât $c$ și un rest $r$ , amândouă numere naturale, unice, astfel încât:

$a = c \cdot b + r,$ $0 \leq r < b$

Cu alte cuvinte: câtul înmulțit cu împărțitorul, plus restul, trebuie să dea exact deîmpărțitul, iar restul trebuie să fie strict mai mic decât împărțitorul. Dacă restul ar fi egal sau mai mare decât împărțitorul, ar mai încăpea încă o dată împărțitorul în deîmpărțit, deci câtul nu ar fi corect.

Cazul particular: împărțirea exactă. Când restul este $0$ , spunem că împărțirea este exactă, iar $a = c \cdot b$ . E doar un caz special al teoremei, nu o regulă separată.

Condiția restului. Restul respectă mereu $0 \leq r < b$ . Asta înseamnă că, la o împărțire la $7$ , restul poate fi doar $0, 1, 2, 3, 4, 5$ sau $6$ , niciodată $7$ sau mai mult. Dacă îți iese un rest mai mare sau egal cu împărțitorul, înseamnă că nu ai găsit câtul corect: mai poți încă o dată împărțitorul în deîmpărțit.

Verificare. Orice împărțire cu rest se verifică înlocuind $c$ , $b$ și $r$ în formula $a = c \cdot b + r$ și confirmând că obții înapoi deîmpărțitul, plus că restul respectă $0 \leq r < b$ .

Teorema nu e doar o formulă de memorat, ci un instrument: o folosești ori de câte ori ai o împărțire care nu iese exact și vrei să afli deîmpărțitul, împărțitorul, câtul sau restul, cunoscând celelalte trei mărimi.

Exerciții rezolvate : teorema împărțirii cu rest

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Împărțire cu rest directăușor

Efectuează împărțirea cu rest $53 : 7$ și scrie rezultatul sub forma teoremei.

Rezolvare pas cu pas

Caut de câte ori încape $7$ în $53$ , fără să depășesc: $7 \cdot 7 = 49$ , care este cel mai mare multiplu de $7$ sub $53$ .
Câtul este $c = 7$ , iar restul este $r = 53 - 49 = 4$ .
Verific: $0 \leq 4 < 7$ ✓, deci $53 = 7 \cdot 7 + 4$ .

Răspuns: $53 = 7 \cdot 7 + 4$ , câtul $7$ , restul $4$

EXERCIȚIUL 2Alt exemplu directușor

Efectuează împărțirea cu rest $90 : 11$ și scrie rezultatul sub forma teoremei.

Rezolvare pas cu pas

Caut cel mai mare multiplu de $11$ care nu depășește $90$ : $11 \cdot 8 = 88$ .
Câtul este $c = 8$ , iar restul este $r = 90 - 88 = 2$ .
Verific: $0 \leq 2 < 11$ ✓, deci $90 = 11 \cdot 8 + 2$ .

Răspuns: $90 = 11 \cdot 8 + 2$ , câtul $8$ , restul $2$

EXERCIȚIUL 3Află deîmpărțitulmediu

Un număr natural $a$ , împărțit la $15$ , dă câtul $6$ și restul $9$ . Află $a$ .

Rezolvare pas cu pas

Folosesc direct formula teoremei: $a = c \cdot b + r$ .
Înlocuiesc: $a =$ $6 \cdot 15 + 9 =$ $90 + 9$ .
Verific și condiția restului: $0 \leq 9 < 15$ ✓.

Răspuns: $a = 99$

EXERCIȚIUL 4Află împărțitorulmediu

Numărul $234$ , împărțit la un număr natural $b$ , dă câtul $18$ și restul $0$ . Află $b$ .

Rezolvare pas cu pas

Restul este $0$ , deci împărțirea este exactă: $234 = 18 \cdot b$ .
Aflu $b$ prin împărțire: $b = 234 : 18$ .
Calculez: $b = 13$ .

Răspuns: $b = 13$

EXERCIȚIUL 5Restul posibilmediu

La împărțirea unui număr natural la $12$ , poate restul să fie $12$ ? Motivează răspunsul.

Rezolvare pas cu pas

Conform teoremei, restul trebuie să respecte $0 \leq r < b$ , unde $b = 12$ e împărțitorul.
Dacă restul ar fi $12$ , condiția $r < 12$ nu ar mai fi respectată.
De fapt, dacă restul „ar ieși” $12$ , înseamnă că mai încape încă o dată $12$ în deîmpărțit, deci câtul trebuia mărit cu $1$ , iar restul real ar deveni $0$ .

Răspuns: Nu, restul trebuie să fie strict mai mic decât împărțitorul, deci nu poate fi $12$

EXERCIȚIUL 6Toate numerele cu un cât datgreu

Află toate numerele naturale $a$ care, împărțite la $9$ , dau câtul $7$ . Câte astfel de numere există?

Rezolvare pas cu pas

Din teoremă: $a =$ $7 \cdot 9 + r =$ $63 + r$ , unde $r$ respectă $0 \leq r < 9$ .
Restul poate fi oricare dintre $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8$ , deci $9$ valori posibile.
Numerele obținute sunt $63,$ $64,$ $65,$ $66,$ $67,$ $68,$ $69,$ $70,$ $71$ .

Răspuns: $a \in {63,$ $64,$ $65,$ $66,$ $67,$ $68,$ $69,$ $70,$ $71}$ , în total $9$ numere

EXERCIȚIUL 7Câtul cel mai mare posibilgreu

Numărul $413$ se împarte la $23$ . Află câtul și restul acestei împărțiri.

Rezolvare pas cu pas

Caut cel mai mare multiplu al lui $23$ care nu depășește $413$ : $23 \cdot 17 = 391$ , iar $23 \cdot 18 = 414$ este deja mai mare decât $413$ .
Câtul este $c = 17$ , iar restul este $r = 413 - 391 = 22$ .
Verific: $0 \leq 22 < 23$ ✓, deci $413 =$ $17 \cdot 23 + 22$ .

Răspuns: $413 =$ $17 \cdot 23 + 22$ , câtul $17$ , restul $22$

EXERCIȚIUL 8Provocare: lădițele cu meregreu

Un livadar are $500$ de mere pe care vrea să le pună în lădițe, câte $18$ mere în fiecare. Câte lădițe pline va umple și câte mere îi vor rămâne?

Rezolvare pas cu pas

Situația se modelează exact prin teorema împărțirii cu rest: $500 = c \cdot 18 + r$ .
Caut cel mai mare multiplu al lui $18$ sub $500$ : $18 \cdot 27 = 486$ .
Câtul este $c = 27$ (lădițe pline), iar restul este $r = 500 - 486 = 14$ (mere rămase); verific $0 \leq 14 < 18$ ✓.

Răspuns: 27 de lădițe pline și 14 mere rămase

Cum recunoști un exercițiu cu teorema împărțirii cu rest

Enunțul cere explicit „câtul și restul” unei împărțiri, sau folosește cuvântul „împărțire cu rest”.
Ți se dau trei din cele patru mărimi (deîmpărțit, împărțitor, cât, rest) și trebuie să o afli pe a patra.
Enunțul întreabă dacă o anumită valoare poate fi rest la o împărțire la un anumit număr.

Greșeli frecvente la teorema împărțirii cu rest

Crezi că restul poate fi egal cu împărțitorul. Restul trebuie să respecte strict $r < b$ . Dacă la o împărțire la $9$ „îți iese” restul $9$ , înseamnă că nu ai terminat: mai încape o dată $9$ în deîmpărțit, deci câtul crește cu $1$ și restul real devine $0$ .
Confunzi formula, scriind $a = c + b \cdot r$ sau altă ordine greșită. Formula corectă este $a = c \cdot b + r$ : întâi înmulțești câtul cu împărțitorul, abia apoi aduni restul. Ordinea operațiilor contează, nu doar numerele implicate.
Uiți să verifici condiția $0 \leq r < b$ la final. Chiar dacă egalitatea $a = c \cdot b + r$ e adevărată numeric, împărțirea nu e corectă dacă restul nu respectă și condiția de mărime. De exemplu, $53 = 6 \cdot 7 + 11$ e adevărat ca egalitate, dar greșit ca împărțire cu rest, pentru că $11 \geq 7$ .

Exersează : teorema împărțirii cu rest

Fișă de lucru: Împărțirea cu rest, clasa a V-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Fișă de lucru: Împărțirea numerelor naturale, clasa a V-aPDF de printat, cu rezolvări Test: Numere naturale, clasa a V-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre teorema împărțirii cu rest

Ce diferență e între „împărțire” și „împărțire cu rest”?

Împărțirea cu rest este forma generală, valabilă pentru orice două numere naturale. Împărțirea exactă (fără rest) e doar cazul particular în care restul iese $0$ .

De ce trebuie ca restul să fie mai mic decât împărțitorul?

Pentru că, dacă restul ar fi egal sau mai mare, ar mai încăpea o dată împărțitorul în deîmpărțit, deci câtul găsit nu ar fi cel corect. Condiția $0 \leq r < b$ garantează că ai găsit câtul cel mai mare posibil.

Câte numere naturale au un cât dat, la împărțirea la un număr fix?

Exact atâtea câte valori poate lua restul, adică $b$ valori posibile (de la $0$ la $b - 1$ ). De exemplu, la împărțirea la $9$ , există $9$ numere cu câtul $7$ .

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 14. Împărțirea cu rest. Teorema împărțirii cu rest. Exerciții.

Exersează cu fișa de lucru: Împărțirea cu rest — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este teorema împărțirii cu rest? Dacă împărțim numărul natural $a$ la numărul natural nenul $b$ , atunci există în mod unic numerele $c$ și $r$ astfel încât:
2. Împărțind numărul $47$ la $6$ , care sunt câtul $c$ și restul $r$ ?
3. Care dintre următoarele împărțiri cu rest este CORECT scrisă, respectând condiția pentru rest?
4. Dacă $a = 5 \cdot 9 + r$ și $a = 48$ , care este valoarea lui $r$ ?
5. La împărțirea unui număr natural la $7$ , ce valori poate lua restul $r$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 2 august 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

SCRIEREA ȘI CITIREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

COMPARAREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

ȘIRURI DE NUMERE NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

ADUNAREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

SCĂDEREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

MINUS ÎN FAȚA PARANTEZELOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună