Toate formulele de matematică pentru gimnaziu, cu exemple

📌 Ce vei învăța

• Vei ști formulele esențiale de aritmetică, algebră și geometrie pentru clasele 5-8
• Vei înțelege de unde vine fiecare formulă și ce înseamnă literele din ea
• Vei recunoaște greșelile frecvente și vei știi cum să le eviți
• Vei ști să aplici formulele în exerciții concrete, pas cu pas

💡 Formule esențiale — aritmetică

Procente:  $p\%\text{ din }n=\frac{p\times n}{100}$ 
Raport:  $\frac{a}{b}$  (câtul a două numere)
Proporție:  $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow a\times d=b\times c$  (produsul mijloacelor = produsul extremelor)
Regulă de trei simplă: dacă  $a\to b$ , atunci  $x\to \frac{b\times x}{a}$ 
Fracții — adunare/scădere (același numitor):  $\frac{a}{c}\pm \frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$ 
Fracții — adunare/scădere (numitori diferiți):  $\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{a\times d\pm b\times c}{b\times d}$ 
Fracții — înmulțire:  $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$ 
Fracții — împărțire:  $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$ 

💡 Formule esențiale — algebră

Ecuație de gradul I:  $ax+b=0\Rightarrow x=-\frac{b}{a}$ , cu  $a\ne 0$ 
Ecuație de gradul II:  $a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 
Discriminantul:  $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$  — dacă  $\mathrm{\Delta }>0$ : două soluții reale; dacă  $\mathrm{\Delta }=0$ : o soluție; dacă  $\mathrm{\Delta }<0$ : nicio soluție reală
Identitate remarcabilă 1:  ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$ 
Identitate remarcabilă 2:  ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$ 
Identitate remarcabilă 3:  $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 
Funcție de gradul I:  $f(x)=ax+b$  — grafic: dreaptă
Funcție de gradul II:  $f(x)=a{x}^2+bx+c$  — grafic: parabolă
Vârful parabolei:  $x_V=-\frac{b}{2a}$ ,  $y_V=-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$ 

💡 Formule — geometrie plană

Pătrat (latura  $l$ ): Perimetru  $P=4l$ ; Arie  $A=l^2$ 
Dreptunghi (lungime  $L$ , lățime  $l$ ): Perimetru  $P=2(L+l)$ ; Arie  $A=L\times l$ 
Triunghi (baza  $b$ , înălțimea  $h$ , laturile  $a,b,c$ ): Perimetru  $P=a+b+c$ ; Arie  $A=\frac{b\times h}{2}$ 
Paralelogram (baza  $b$ , înălțimea  $h$ , laturile  $a,b$ ): Perimetru  $P=2(a+b)$ ; Arie  $A=b\times h$ 
Trapez (bazele  $B,b$ , înălțimea  $h$ ): Arie  $A=\frac{(B+b)\times h}{2}$ 
Cerc (raza  $r$ ): Lungimea cercului  $C=2\pi r$ ; Aria discului  $A=\pi r^2$ 
Rombul (diagonalele  $d_1,d_2$ ): Arie  $A=\frac{d_1\times d_2}{2}$ 

💡 Formule — corpuri geometrice

Cub (muchia  $a$ ): Volum  $V=a^3$ ; Arie totală  $A_t=6a^2$ 
Paralelipiped dreptunghic (dimensiunile  $a,b,c$ ): Volum  $V=a\times b\times c$ ; Arie totală  $A_t=2(ab+bc+ac)$ 
Cilindru (raza  $r$ , înălțimea  $h$ ): Volum  $V=\pi r^{2}h$ ; Arie laterală  $A_l=2\pi rh$ ; Arie totală  $A_t=2\pi r(r+h)$ 
Con (raza  $r$ , înălțimea  $h$ , generatoarea  $g=\sqrt{r^2+h^2}$ ): Volum  $V=\frac{\pi r^{2}h}{3}$ ; Arie laterală  $A_l=\pi rg$ 
Sferă (raza  $R$ ): Volum  $V=\frac{4\pi R^3}{3}$ ; Arie  $A=4\pi R^2$ 
Piramidă (aria bazei  $A_b$ , înălțimea  $h$ ): Volum  $V=\frac{A_b\times h}{3}$ 

💡 Teorema lui Pitagora și relații metrice

Pitagora:  $a^2+b^2=c^2$ , unde  $c$  este ipotenuza (latura opusă unghiului drept)
Cateta în funcție de celelalte laturi:  $a=\sqrt{c^2-b^2}$ 
Înălțimea în triunghiul dreptunghic:  $h^2=m\times n$ , unde  $m$  și  $n$  sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză
Relația catetă–proiecție:  $a^2=m\times c$  și  $b^2=n\times c$ 
Funcții trigonometrice (în triunghiul dreptunghic, unghiul  $\alpha$ ):
 $\sin \alpha =\frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuza}}$ ,  $\cos \alpha =\frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuza}}$ ,  $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 

📝 Enunț

Un cilindru are raza bazei  $r=5$  cm și înălțimea  $h=8$  cm. Calculează volumul și aria totală a cilindrului. Folosește  $\pi \approx \mathrm{3,14}$ .

🔢 Rezolvare

✅ Explicație

Am aplicat direct formulele cilindrului. La volum, calculez mai întâi  $r^2$ , apoi înmulțesc cu  $h$  și cu  $\pi$  — ordinea nu contează, dar e mai ușor pas cu pas. La aria totală, formula  $2\pi r(r+h)$  înseamnă: două discuri (bazele) plus mantaua desfăcută. Greșeala clasică e să uiți să aduni și bazele — ai aria laterală, nu aria totală.

❌ Greșeala #1: La identitățile remarcabile, mulți scriu  ${(a+b)}^2=a^2+b^2$  și uită termenul din mijloc.

✅ Corect:  ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$ . Termenul  $2ab$  dispare doar dacă  $a=0$  sau  $b=0$ . Altfel, e mereu acolo.

❌ Greșeala #2: La Pitagora, elevii confundă cateta cu ipotenuza și scriu  $c^2+a^2=b^2$  în loc să pună ipotenuza singură pe o parte.

✅ Corect: Ipotenuza este întotdeauna latura opusă unghiului drept — și este cea mai mare. Formula corectă:  $a^2+b^2=c^2$ , unde  $c$  este ipotenuza.

❌ Greșeala #3: La procente, mulți înmulțesc direct și uită să împartă la 100. Calculează  $20\%\text{ din }150$  ca  $20\times 150=3000$ . Greșit.

✅ Corect:  $\frac{20\times 150}{100}=\frac{3000}{100}=30$ . Formula e  $\frac{p\times n}{100}$  — împărțirea la 100 nu e opțională.

Exercițiul 1. Calculează  $35\%$  din  $200$ .

Exercițiul 2. Calculează aria unui trapez cu bazele  $B=12$  cm,  $b=6$  cm și înălțimea  $h=5$  cm.

Exercițiul 3. Rezolvă ecuația de gradul I:  $3x-9=0$ .

Exercițiul 4. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt  $a=6$  cm și  $b=8$  cm. Calculează ipotenuza.

Exercițiul 5. Provocare: Rezolvă ecuația de gradul II  $x^2-5x+6=0$  și verifică soluțiile.