de Echipa Școala Virtuală14 august 2026

Teorema medianei în triunghi oarecare: formulă și exemple

Ai un triunghi oarecare și știi lungimile celor trei laturi. Ți se cere să calculezi o mediană. Știi că mediana e segmentul care pornește dintr-un vârf și ajunge la mijlocul laturii opuse — dar cum afli lungimea ei? Nu dintr-o măsurătoare, ci dintr-un calcul. Exact asta face teorema medianei în triunghi oarecare: îți dă o formulă prin care poți calcula lungimea oricărei mediane, știind doar cele trei laturi ale triunghiului. Fără să desenezi nimic complicat, fără trucuri ascunse. Mulți elevi văd formula prima dată și dau înapoi — pare mare, intimidantă. Îți promit că după ce o vedem împreună, pas cu pas, o să ți se pară logică. Hai să începem.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este mediana unui triunghi și de unde vine ideea formulei
Vei ști să aplici teorema medianei pentru orice latură a unui triunghi
Vei recunoaște cele mai frecvente greșeli de calcul și cum să le eviți
Vei rezolva 5 exerciții complete, de la simplu la provocare, pas cu pas

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce este mediana și de ce avem nevoie de o formulă

Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Orice triunghi are trei mediane — câte una din fiecare vârf. Până aici, simplu. Problema apare când vrei să știi cât de lungă e mediana. Dacă ai triunghiul desenat pe hârtie milimetrică, poți măsura. Dar în exerciții de matematică, nu măsori — calculezi. Și pentru asta există teorema medianei. Practic, această teoremă îți spune: dacă știi lungimile celor trei laturi ale triunghiului, poți afla lungimea oricărei mediane printr-o formulă. Nu ai nevoie de nicio altă informație. Doar cele trei laturi — și formula.

💡 Regula de bază

Într-un triunghi cu laturile $a$ , $b$ , $c$ , lungimea medianei $m_{a}$ corespunzătoare laturii $a$ se calculează cu formula: $m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}$ Înlocuiești $a$ cu latura la mijlocul căreia ajunge mediana, iar $b$ și $c$ cu celelalte două laturi. Simplu de reținut: latura „opusă" medierei e cea care apare cu minus în formulă, celelalte două apar cu plus.

De unde vine această formulă — gândim împreună

Nu trebuie să demonstrezi formula la clasele 5–8. Dar ajută enorm să înțelegi logica din spatele ei, ca să nu o uiți după prima utilizare. Să zicem că ai triunghiul $A B C$ , iar $m_{a}$ e mediana din $A$ spre mijlocul $M$ al laturii $B C$ . Dacă duci o linie de la $A$ la $M$ , tai triunghiul în două. Teorema se bazează pe relația dintre diagonalele unui paralelogram — dacă construiești un paralelogram pornind de la triunghi, mediana devine jumătate dintr-o diagonală. De fapt, formula este o consecință directă a teoremei lui Apollonius, care spune că suma pătratelor a două laturi ale unui triunghi este egală cu dublul sumei dintre pătratul medianei și pătratul jumătății celei de-a treia laturi. Adică: $b^{2} + c^{2} = 2 (m_{a}^{2} + \frac{a^{2}}{4})$ Din această relație, dacă scoți $m_{a}$ , ajungi exact la formula de mai sus. Nu trebuie s-o deduci tu — dar dacă o înțelegi, nu o vei uita niciodată.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Într-un triunghi $A B C$ , laturile au lungimile $a = 6$ cm, $b = 5$ cm și $c = 7$ cm. Calculează lungimea medianei $m_{a}$ , corespunzătoare laturii $a$ .

🔢 Rezolvare

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 7^{2} - 6^{2}}

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 25 + 2 \cdot 49 - 36}

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 36}

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{112} = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{7} = 2 \sqrt{7} cm

✅ Explicație

Am identificat clar care latură e $a$ — cea la al cărei mijloc ajunge mediana — și care sunt $b$ și $c$ . Apoi am aplicat formula direct, fără nicio modificare. Cel mai important pas e simplificarea radicalului: $\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4 \sqrt{7}$ , deci împărțind la 2 obținem $2 \sqrt{7}$ . Dacă nu simplifici radicalul, răspunsul e considerat incomplet.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Pun minus la altă latură decât trebuie. De exemplu, calculez $m_{a}$ dar scad $b^{2}$ sau $c^{2}$ în loc de $a^{2}$ .

✅ Corect: Latura care apare cu minus în formulă este întotdeauna latura corespunzătoare medianei — adică latura al cărei mijloc îl unești cu vârful opus. Dacă calculezi $m_{a}$ , scazi $a^{2}$ . Dacă calculezi $m_{b}$ , scazi $b^{2}$ .

❌ Greșeala #2: Uit să împart la 2 la final — scriu $\sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}$ ca răspuns final, fără $\frac{1}{2}$ .

✅ Corect: Formula are obligatoriu $\frac{1}{2}$ în față. Asta vine din demonstrație — mediana e jumătate dintr-o diagonală a paralelogramului construit. Nu uita factorul $\frac{1}{2}$ , altfel rezultatul e dublu față de cel corect.

❌ Greșeala #3: Nu simplific radicalul și las răspunsul ca $\frac{1}{2} \sqrt{112}$ .

✅ Corect: Orice radical trebuie simplificat maxim. Caută cel mai mare pătrat perfect care divide numărul din radical. $\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4 \sqrt{7}$ , deci răspunsul final e $2 \sqrt{7}$ cm.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Într-un triunghi cu laturile $a = 4$ cm, $b = 3$ cm, $c = 5$ cm, calculează mediana $m_{a}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 9 + 2 \cdot 25 - 16}

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{18 + 50 - 16}

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{52} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{13} = \sqrt{13} cm

Am aplicat formula direct. La simplificarea radicalului: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2 \sqrt{13}$ , deci după împărțirea la 2 obținem $\sqrt{13}$ .

Răspuns: $m_{a} = \sqrt{13}$ cm

Exercițiul 2. Într-un triunghi cu laturile $a = 10$ cm, $b = 6$ cm, $c = 8$ cm, calculează mediana $m_{b}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

m_{b} = \frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}}

m_{b} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 100 + 2 \cdot 64 - 36}

m_{b} = \frac{1}{2} \sqrt{200 + 128 - 36}

m_{b} = \frac{1}{2} \sqrt{292} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{73} = \sqrt{73} cm

Atenție: calculez $m_{b}$ , deci latura cu minus este $b^{2} = 36$ , nu $a^{2}$ . $\sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2 \sqrt{73}$ , iar după împărțirea la 2 rămâne $\sqrt{73}$ .

Răspuns: $m_{b} = \sqrt{73}$ cm

Exercițiul 3. Calculează toate cele trei mediane ale unui triunghi echilateral cu latura $a = 6$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6^{2} - 6^{2}}

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{72 + 72 - 36}

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{108} = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} cm

m_{a} = m_{b} = m_{c} = 3 \sqrt{3} cm

Într-un triunghi echilateral toate laturile sunt egale, deci toate trei medianele sunt egale. Nu trebuie să calculezi de trei ori — calculezi o dată și spui că celelalte două sunt identice. $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6 \sqrt{3}$ .

Răspuns: $m_{a} = m_{b} = m_{c} = 3 \sqrt{3}$ cm

Exercițiul 4. Într-un triunghi cu laturile $a = 5$ cm, $b = 7$ cm, $c = 8$ cm, calculează mediana $m_{c}$ corespunzătoare laturii $c$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

m_{c} = \frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}}

m_{c} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 25 + 2 \cdot 49 - 64}

m_{c} = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 64}

m_{c} = \frac{1}{2} \sqrt{84} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{21} = \sqrt{21} cm

Latura cu minus este $c^{2} = 64$ , pentru că calculăm mediana corespunzătoare lui $c$ . $\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2 \sqrt{21}$ , deci după împărțirea la 2 obținem $\sqrt{21}$ .

Răspuns: $m_{c} = \sqrt{21}$ cm

Exercițiul 5. Provocare: Într-un triunghi $A B C$ se știe că mediana $m_{a} = 5$ cm, $b = 4$ cm și $c = 6$ cm. Găsește lungimea laturii $a$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}

5 = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 16 + 2 \cdot 36 - a^{2}}

10 = \sqrt{32 + 72 - a^{2}}

10 = \sqrt{104 - a^{2}}

100 = 104 - a^{2}

a^{2} = 4

a = 2 cm

De data aceasta știm mediana și căutăm latura. Scriem formula, înlocuim ce știm, și rezolvăm ecuația pentru $a$ . Primul pas cheie: înmulțim ambii membri cu 2 ca să scăpăm de fracție. Al doilea: ridicăm la pătrat ambii membri ca să scăpăm de radical.

Răspuns: $a = 2$ cm

Întrebări frecvente

Mediana și înălțimea sunt același lucru?

Nu, sunt lucruri diferite. Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse — nu trebuie să fie perpendiculară pe acea latură. Înălțimea, în schimb, este perpendiculară pe latură, dar nu ajunge neapărat la mijloc. Confuzia e frecventă — și eu am confundat-o la început. Reține: mediana → mijloc; înălțime → unghi drept.

Pot folosi formula medianei și pentru un triunghi dreptunghic sau isoscel?

Da, absolut. Formula funcționează pentru orice triunghi — oarecare, dreptunghic, isoscel sau echilateral. Nu contează forma triunghiului, atâta timp cât știi lungimile celor trei laturi. Formula teoremei medianei e universală.

Ce se întâmplă dacă numărul din radical nu se simplifică frumos?

Lași răspunsul sub formă de radical simplificat cât poți tu de mult. De exemplu, dacă obții $\sqrt{15}$ , îl lași așa — nu există nicio simplificare posibilă. Dacă obții $\sqrt{60}$ , îl scrii ca $2 \sqrt{15}$ . Atât cât poți simplifica — simplifici. Nicio regulă nu cere să obții un număr întreg.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Cazul nominativ explicat cu exemple și 5 exerciții rezolvate

14 august 2026

Teorema înălțimii: formulă + 5 exerciții rezolvate

14 august 2026

Buletinul meteorologic explicat cu exemple, clasele 5-8

13 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună