TEOREMA MEDIANEI în triunghiul oarecare - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Într-un triunghi oarecare, lungimea medianei $m_{a} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}$ , unde $a$ , $b$ , $c$ sunt cele trei laturi. Mai jos găsești teorema cu figură și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Teorema medianei în triunghiul oarecare

Teorema. Într-un triunghi cu laturile $a$ , $b$ , $c$ , lungimea medianei $m_{a}$ duse din vârful opus laturii $a$ spre mijlocul ei se calculează cu formula:

Liniuțele arată că

B M = M C

; mediana

m_{a} = A M

merge din

A

spre mijlocul laturii

a = B C

$m_{a} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}$

Latura care intră cu minus în formulă este mereu cea spre care merge mediana. Dacă vrei mediana $m_{b}$ , scazi $b^{2}$ ; dacă vrei $m_{c}$ , scazi $c^{2}$ . Celelalte două laturi apar mereu cu plus, înmulțite cu $2$ . Formula e valabilă pentru orice triunghi: oarecare, isoscel, dreptunghic sau echilateral.

Un triunghi are întotdeauna trei mediane, câte una din fiecare vârf, și fiecare se calculează după același tipar: $m_{b}$ și $m_{c}$ se obțin din aceeași formulă, doar schimbând ce latură apare cu minus. Nu trebuie să înveți trei formule diferite, ci un singur tipar pe care îl aplici de trei ori, cu litere diferite. La triunghiul echilateral, unde toate laturile sunt egale, cele trei mediane ies automat egale între ele, iar la triunghiul isoscel, mediana dusă spre baza inegală are o proprietate suplimentară: coincide cu înălțimea și cu bisectoarea din același vârf.

Exerciții rezolvate : teorema medianei în triunghiul oarecare

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aplicare directăușor

Triunghiul $A B C$ are $B C = 8$ cm, $A C = 7$ cm și $A B = 9$ cm. Calculează lungimea medianei $A M$ , unde $M$ este mijlocul lui $B C$ .

Rezolvare pas cu pas

Mediana $A M$ merge spre mijlocul laturii $B C = a$ , deci în formulă scădem $a^{2}$ : $m_{a} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot A C^{2} + 2 \cdot A B^{2} - B C^{2}}$ .
Înlocuim: $A M =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 7^{2} + 2 \cdot 9^{2} - 8^{2}} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{98 + 162 - 64} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{196}$ .
$\sqrt{196} = 14$ , deci $A M =$ $\frac{14}{2} =$ $7$ cm.

Răspuns: $A M = 7$ cm

EXERCIȚIUL 2Triunghi isoscelușor

Triunghiul $D E F$ are $D E = D F = 5$ cm și $E F = 6$ cm. Punctul $N$ este mijlocul lui $E F$ . Calculează mediana $D N$ .

Rezolvare pas cu pas

Mediana $D N$ merge spre $E F$ , deci scădem $E F^{2}$ : $D N =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot D E^{2} + 2 \cdot D F^{2} - E F^{2}}$ .
$D N =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 5^{2} - 6^{2}} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{50 + 50 - 36} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{64}$ .
$\sqrt{64} = 8$ , deci $D N =$ $\frac{8}{2} =$ $4$ cm.

Răspuns: $D N = 4$ cm

EXERCIȚIUL 3Radicalul nu iese întregmediu

Triunghiul $A B C$ are $B C = 10$ cm, $A C = 5$ cm și $A B = 7$ cm. Calculează mediana $A M$ și simplifică radicalul.

Rezolvare pas cu pas

$A M =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 7^{2} - 10^{2}} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 100} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{48}$ .
Descompunem: $48 = 16 \cdot 3$ , deci $\sqrt{48} =$ $4 \sqrt{3}$ .
$A M =$ $\frac{4 \sqrt{3}}{2} =$ $2 \sqrt{3}$ cm.

Răspuns: $A M = 2 \sqrt{3}$ cm

EXERCIȚIUL 4Triunghiul echilateralmediu

Triunghiul echilateral $A B C$ are latura de $10$ cm. Calculează lungimea oricărei mediane.

Rezolvare pas cu pas

Într-un triunghi echilateral, toate laturile sunt egale: $a = b = c = 10$ cm.
$m_{a} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10^{2} - 10^{2}} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{300}$ .
$300 = 100 \cdot 3$ , deci $\sqrt{300} =$ $10 \sqrt{3}$ , iar $m_{a} = 5 \sqrt{3}$ cm.
Cele trei mediane sunt egale între ele, deci nu trebuie să repeți calculul: $m_{a} =$ $m_{b} =$ $m_{c} =$ $5 \sqrt{3}$ cm.

Răspuns: $m_{a} =$ $m_{b} =$ $m_{c} =$ $5 \sqrt{3}$ cm

EXERCIȚIUL 5Triunghi isoscel, mediana spre bazămediu

Triunghiul isoscel $A B C$ are $A B = A C = 13$ cm și $B C = 10$ cm. Calculează mediana $A M$ , unde $M$ este mijlocul lui $B C$ .

Rezolvare pas cu pas

$A M =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 13^{2} + 2 \cdot 13^{2} - 10^{2}} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{338 + 338 - 100} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{576}$ .
$\sqrt{576} = 24$ , deci $A M =$ $\frac{24}{2} =$ $12$ cm.
Pentru că $A B = A C$ , triunghiul $A B M$ este congruent cu $A C M$ ; asta explică de ce mediana din $A$ spre bază este și axă de simetrie a triunghiului isoscel.

Răspuns: $A M = 12$ cm

EXERCIȚIUL 6Drumul inversgreu

Triunghiul $A B C$ are $A C = 11$ cm și $A B = 7$ cm. Mediana $A M$ , unde $M$ este mijlocul lui $B C$ , are lungimea $7$ cm. Calculează lungimea laturii $B C$ .

Rezolvare pas cu pas

Din formulă: $4 m_{a}^{2} =$ $2 \cdot A C^{2} + 2 \cdot A B^{2} - B C^{2}$ , deci $B C^{2} =$ $2 \cdot A C^{2} + 2 \cdot A B^{2} - 4 m_{a}^{2}$ .
Înlocuim: $B C^{2} =$ $2 \cdot 11^{2} +$ $2 \cdot 7^{2} - 4 \cdot 7^{2} =$ $242 + 98 - 196 =$ $144$ .
$B C = \sqrt{144} = 12$ cm.

Răspuns: $B C = 12$ cm

EXERCIȚIUL 7Perimetrul, apoi medianagreu

Triunghiul $A B C$ are perimetrul $32$ cm, cu $A B = 13$ cm și $B C = 10$ cm. Calculează întâi latura $A C$ , apoi mediana $A M$ din $A$ spre mijlocul lui $B C$ .

Rezolvare pas cu pas

$A C =$ $P - A B - B C =$ $32 - 13 - 10 =$ $9$ cm.
$A M =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot A C^{2} + 2 \cdot A B^{2} - B C^{2}} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 9^{2} + 2 \cdot 13^{2} - 10^{2}}$ .
$A M =$ $\frac{1}{2} \sqrt{162 + 338 - 100} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{400} =$ $\frac{20}{2} =$ $10$ cm.

Răspuns: $A C = 9$ cm, $A M = 10$ cm

EXERCIȚIUL 8Verifici întâi că triunghiul existăgreu

Un triunghi $A B C$ are $B C = 14$ cm, $A C = 7$ cm și $A B = 9$ cm. Arată că triunghiul este posibil, apoi calculează mediana din $A$ spre mijlocul lui $B C$ .

Rezolvare pas cu pas

Verificăm inegalitatea triunghiului pentru cea mai mare latură: $A C + A B = 7 + 9 = 16$ cm, mai mare decât $B C = 14$ cm, deci triunghiul există.
$A M =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 7^{2} + 2 \cdot 9^{2} - 14^{2}} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{98 + 162 - 196} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{64}$ .
$\sqrt{64} = 8$ , deci $A M =$ $\frac{8}{2} =$ $4$ cm.

Răspuns: $A M = 4$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe teorema medianei în triunghi oarecare

Enunțul dă toate cele trei laturi ale unui triunghi și cere lungimea unei mediane, fără să spună nimic despre unghiuri drepte.
Se cere mediana dintr-un vârf spre mijlocul laturii opuse, nu o înălțime sau o bisectoare.
Uneori mediana e dată și se cere o latură necunoscută: atunci rezolvi formula ca pe o ecuație.
Dacă enunțul dă perimetrul și doar două laturi, primul pas nu e formula medianei, ci scăderea, ca să afli latura lipsă înainte de orice altceva.

Greșeli frecvente la teorema medianei în triunghiul oarecare

Scazi latura greșită sub radical. Latura cu minus este întotdeauna cea spre care merge mediana. Pentru $m_{a}$ scazi $a^{2}$ , nu $b^{2}$ sau $c^{2}$ .
Uiți factorul $\frac{1}{2}$ din fața radicalului. Formula are obligatoriu $\frac{1}{2}$ în față. Fără el, rezultatul e dublu față de cel corect.
Lași radicalul nesimplificat. Scoate factorii care sunt pătrate perfecte: $\sqrt{48} =$ $\sqrt{16 \cdot 3} =$ $4 \sqrt{3}$ , nu lași $\sqrt{48}$ ca răspuns final. Caută întotdeauna cel mai mare pătrat perfect care divide numărul de sub radical, nu doar primul pe care îl observi.

Exersează : teorema medianei în triunghiul oarecare

Fișă de lucru: Medianele unui triunghi, clasa a VI-aPDF de printat, proprietăți de bază Test: Relații metrice în triunghiul dreptunghic, clasa a VII-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre teorema medianei în triunghiul oarecare

Formula se aplică și în triunghiul dreptunghic sau isoscel?

Da. Formula $m_{a} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}$ e valabilă pentru orice triunghi, indiferent de formă. În triunghiul dreptunghic, dacă mediana pleacă din vârful unghiului drept spre ipotenuză, formula generală dă exact același rezultat ca regula mai simplă „mediana e jumătate din ipotenuză”: e o coincidență matematică, nu o întâmplare, dar nu trebuie să o demonstrezi la clasele 5-8.

Ce fac dacă radicalul nu se simplifică frumos?

Lași răspunsul ca radical simplificat cât se poate de mult. Dacă obții $\sqrt{13}$ , rămâne așa, pentru că $13$ nu are niciun factor pătrat perfect. Nicio regulă nu te obligă să obții un număr întreg la final.

De ce mediana din formulă se notează

m_{a}

și nu, de exemplu,

A M

Notația $m_{a}$ arată spre ce latură merge mediana, indiferent cum ai numit vârfurile triunghiului: e o notație universală, valabilă în orice manual. Notația $A M$ arată doar segmentul concret, cu literele din figura ta, și se schimbă dacă redenumești vârfurile.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 14 august 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate la matematică

VOLUMUL PIRAMIDEI cu orice bază, regulată sau nu - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

28 septembrie 2026

REGULI DE CALCUL CU PUTERI pentru produs, cât și putere la putere - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

28 septembrie 2026

PRODUSUL CARTEZIAN și sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

28 septembrie 2026

OPERAȚII CU INTERVALE pe axa numerelor - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

28 septembrie 2026

MODULUL UNUI NUMĂR real, pe axă și în calcule - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

28 septembrie 2026

MIJLOCUL UNUI SEGMENT și simetricul unui punct față de alt punct - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

28 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună