3. Sistemul de axe ortogonale XOY. Distanța dintre două puncte. Mijlocul unui segment.

Matematica are un loc special unde numerele devin puncte, punctele formează figuri și totul capătă sens vizual — și acel loc este sistemul de axe ortogonale XOY. Lecția aceasta îți arată cum să „citești” planul cartezian ca pe o hartă: cum plasezi un punct după coordonatele lui, cum calculezi distanța dintre două puncte fără riglă și cum găsești exact mijlocul unui segment printr-o formulă simplă. Dacă ți s-a întâmplat vreodată să nu știi de unde să începi un exercițiu cu coordonate, după această lecție vei ști precis ce faci. Profesorul îți explică pas cu pas, cu exemple vizuale, astfel încât formulele să nu pară din altă lume.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege cum funcționează sistemul de axe ortogonale XOY și ce înseamnă coordonatele $(x, y)$ ale unui punct.
Vei ști să plasezi și să citești orice punct în planul cartezian, indiferent de cadranul în care se află.
Vei ști să calculezi distanța dintre două puncte folosind formula derivată din teorema lui Pitagora.
Vei înțelege cum se determină mijlocul unui segment când cunoști coordonatele capetelor sale.

Exemplu rezolvat

Enunț

Fie punctele $A(-3,\ 1)$ și $B(5,\ 7)$ . Calculează distanța $AB$ și determină coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $AB$ .

Rezolvare

Calculăm mai întâi distanța, apoi mijlocul:

AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}

AB = \sqrt{(5 – (-3))^2 + (7 – 1)^2}

AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100}

AB = 10

M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right) =

\left(\frac{-3 + 5}{2},\ \frac{1 + 7}{2}\right)

M = \left(1,\ 4\right)

Explicație

Formula distanței vine direct din teorema lui Pitagora: diferențele de coordonate $(x_B – x_A)$ și $(y_B – y_A)$ sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar $AB$ este ipotenuza. Mijlocul se obține simplu — faci media aritmetică a coordonatelor $x$ , respectiv $y$ ale celor două capete. Aceste două formule merg mereu împreună în exerciții.

Idei cheie de reținut

Distanța dintre punctele $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$ este $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ — nu uita rădăcina!
Mijlocul segmentului $AB$ are coordonatele $M = \left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ — media aritmetică pe fiecare axă.
Când un punct se află pe axa $Oy$ , coordonata $x$ este 0; când se află pe axa $Ox$ , coordonata $y$ este 0 — acest detaliu apare des la teste.

Întrebări frecvente

Ce fac dacă coordonatele sunt numere negative — schimbă ceva formula?

Nu schimbă nimic, formula rămâne identică. Cheia este să fii atent la scădere: $x_B – x_A = 5 – (-3) = 8$ , nu 2. Greșeala cu semnele negative la scădere este cel mai frecvent motiv de pierdut puncte la acest capitol. Calculează diferența pas cu pas și verifică semnul înainte să ridici la pătrat.

Cum știu în ce cadran se află un punct fără să îl desenez?

Uită-te doar la semnele coordonatelor: ambele pozitive — cadranul I; $x$ negativ, $y$ pozitiv — cadranul II; ambele negative — cadranul III; $x$ pozitiv, $y$ negativ — cadranul IV. Este o regulă pe care o memorezi rapid și îți economisește timp la orice exercițiu cu planul cartezian.

La ce îmi folosește mijlocul unui segment în probleme mai grele?

Mijlocul segmentului apare în probleme de geometrie analitică la clasa a 7-a și a 8-a — de exemplu, când trebuie să găsești centrul unui segment cunoscând un capăt și mijlocul, sau să verifici dacă o dreaptă trece prin mijlocul altui segment. Acum înveți fundamentul, iar mai târziu îl vei folosi fără să te mai gândești la el.

Matematică clasa a VII-a

3. Sistemul de axe ortogonale XOY. Distanța dintre două puncte. Mijlocul unui segment.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente