OPERAȚII CU NUMERE REALE REPREZENTATE PRIN LITERE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 2 noiembrie 2026

Aduni sau scazi doar termenii asemenea, adunând coeficienții; la înmulțire înmulțești coeficienții și aduni exponenții aceleiași litere, iar la împărțire împarți coeficienții și scazi exponenții. De exemplu, $5 x^{2} + 3 x^{2} = 8 x^{2}$ și $2 x^{3} \cdot 4 x^{2} =$ $8 x^{5}$ . Mai jos găsești regulile și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Monomul, termenii asemenea și cele patru operații

În calculul algebric, o literă ține locul unui număr real oarecare. Un monom este un produs dintre un număr, numit coeficient, și una sau mai multe litere, fiecare cu un exponent natural. Litera sau literele, cu exponenții lor, formează partea literală. În $- \sqrt{2} x^{2} y$ , coeficientul este $- \sqrt{2}$ , iar partea literală este $x^{2} y$ . Când nu scrie niciun număr în față, coeficientul este $1$ sau $- 1$ : $x^{3} = 1 \cdot x^{3}$ și $- a b = (- 1) \cdot a b$ .

Termeni asemenea sunt monoamele care au exact aceeași parte literală: aceleași litere, fiecare cu același exponent. $4 a^{2} b$ și $\frac{1}{3} a^{2} b$ sunt asemenea; $4 a^{2} b$ și $4 a b^{2}$ nu sunt, deși au aceleași litere și același coeficient.

Adunarea și scăderea. Se pot aduna într-un singur termen doar termenii asemenea: aduni sau scazi coeficienții și păstrezi partea literală neschimbată. Operația se numește reducerea termenilor asemenea.

$a x^{m} + b x^{m} =$ $(a + b) x^{m}$

Înmulțirea. Înmulțești coeficienții între ei și literele între ele. La aceeași literă păstrezi baza și aduni exponenții, ca la puterile cu aceeași bază:

$a x^{m} \cdot b x^{n} =$ $(a \cdot b) x^{m + n}$

Împărțirea. Împarți coeficienții și, la aceeași literă, scazi exponenții. Împărțirea are sens doar dacă împărțitorul nu este zero, deci literele din împărțitor trebuie să fie numere nenule:

$a x^{m} : b x^{n} =$ $(a : b) x^{m - n},$ $b \neq 0,$ $x \neq 0,$ $m \geq n$

Ridicarea la putere. Ridici la putere coeficientul și fiecare literă, înmulțind exponenții: ${(a x^{m})}^{n} =$ $a^{n} x^{m n}$ . Atenție la semn: un coeficient negativ ridicat la o putere pară dă un rezultat pozitiv, iar la o putere impară rămâne negativ.

Coeficienții pot fi orice numere reale: întregi, fracții, zecimale sau radicali. Calculul cu ei se face după regulile pe care le știi deja de la numerele reale, de exemplu $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} =$ $\sqrt{16} =$ $4$ .

Exerciții rezolvate : operațiile cu numere reale reprezentate prin litere

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Găsește grupele de termeni asemeneaușor

Grupează termenii asemenea dintre monoamele: $3 x^{2} y$ , $- 5 x y^{2}$ , $\sqrt{2} x^{2} y$ , $\frac{1}{2} x y$ , $- x^{2} y$ , $7 x y^{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

Te uiți doar la partea literală a fiecărui monom, nu la coeficient.
Partea literală $x^{2} y$ (x la puterea a doua, y la puterea întâi) apare la $3 x^{2} y$ , $\sqrt{2} x^{2} y$ și $- x^{2} y$ .
Partea literală $x y^{2}$ (x la puterea întâi, y la puterea a doua) apare la $- 5 x y^{2}$ și $7 x y^{2}$ .
Monomul $\frac{1}{2} x y$ are partea literală $x y$ , care nu se mai întâlnește, deci rămâne singur.

Răspuns: ${3 x^{2} y,$ $\sqrt{2} x^{2} y,$ $- x^{2} y}$ , ${- 5 x y^{2}, 7 x y^{2}}$ , iar $\frac{1}{2} x y$ nu are termen asemenea

EXERCIȚIUL 2Reducerea termenilor asemenea cu radicaliușor

Reduce termenii asemenea: $5 \sqrt{3} a - 2 b +$ $\sqrt{3} a +$ $7 b - 4 \sqrt{3} a$ .

Rezolvare pas cu pas

Termenii în $a$ sunt $5 \sqrt{3} a$ , $\sqrt{3} a$ și $- 4 \sqrt{3} a$ . Aduni coeficienții: $5 \sqrt{3} + \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} =$ $2 \sqrt{3}$ .
Termenii în $b$ sunt $- 2 b$ și $7 b$ . Aduni coeficienții: $- 2 + 7 = 5$ .
Termenii în $a$ și cei în $b$ nu sunt asemenea între ei, deci rezultatul rămâne o sumă de doi termeni.

Răspuns: $2 \sqrt{3} a + 5 b$

EXERCIȚIUL 3Înmulțirea a două monoameușor

Calculează: a) $(- 3 x^{2} y) \cdot (4 x y^{3})$ ; b) $(\sqrt{2} a^{3}) \cdot (\sqrt{8} a)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Coeficienții: $(- 3) \cdot 4 = - 12$ . Litera $x$ : $x^{2} \cdot x =$ $x^{2 + 1} =$ $x^{3}$ . Litera $y$ : $y \cdot y^{3} = y^{4}$ .
Pui totul împreună: $- 12 x^{3} y^{4}$ .
b) Coeficienții: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} =$ $\sqrt{16} =$ $4$ . Litera $a$ : $a^{3} \cdot a = a^{4}$ .

Răspuns: a) $- 12 x^{3} y^{4}$ ; b) $4 a^{4}$

EXERCIȚIUL 4Împărțirea monoamelormediu

Calculează, pentru $x$ , $y$ și $a$ numere reale nenule: a) $(18 x^{5} y^{3}) : (- 6 x^{2} y)$ ; b) $(2 \sqrt{6} a^{4}) : (\sqrt{2} a)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Coeficienții: $18 : (- 6) = - 3$ . Litera $x$ : $x^{5} : x^{2} =$ $x^{5 - 2} =$ $x^{3}$ . Litera $y$ : $y^{3} : y = y^{2}$ .
Rezultatul este $- 3 x^{3} y^{2}$ . Condiția „nenule” e necesară, pentru că nu poți împărți la zero.
b) Coeficienții: $2 \sqrt{6} : \sqrt{2} =$ $2 \sqrt{6 : 2} =$ $2 \sqrt{3}$ . Litera $a$ : $a^{4} : a = a^{3}$ .

Răspuns: a) $- 3 x^{3} y^{2}$ ; b) $2 \sqrt{3} a^{3}$

EXERCIȚIUL 5Puterea unui monom, cu atenție la semnmediu

Calculează: a) ${(- 2 x^{3} y)}^{2}$ ; b) ${(- 2 x^{3} y)}^{3}$ ; c) ${(\frac{1}{2} a^{2})}^{3}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Ridici fiecare factor la puterea a doua: ${(- 2)}^{2} = 4$ , ${(x^{3})}^{2} = x^{6}$ , $y^{2}$ . Puterea pară face semnul pozitiv: $4 x^{6} y^{2}$ .
b) La puterea a treia: ${(- 2)}^{3} = - 8$ , ${(x^{3})}^{3} = x^{9}$ , $y^{3}$ . Puterea impară păstrează minusul: $- 8 x^{9} y^{3}$ .
c) ${(\frac{1}{2})}^{3} =$ $\frac{1}{8}$ și ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ , deci rezultatul este $\frac{1}{8} a^{6}$ .

Răspuns: a) $4 x^{6} y^{2}$ ; b) $- 8 x^{9} y^{3}$ ; c) $\frac{1}{8} a^{6}$

EXERCIȚIUL 6Coeficienți fracționarimediu

Reduce termenii asemenea: $\frac{3}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x +$ $\frac{1}{4} x^{2} +$ $\frac{5}{6} x - 2$ .

Rezolvare pas cu pas

Termenii în $x^{2}$ : $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} =$ $\frac{4}{4} =$ $1$ , deci obții $x^{2}$ .
Termenii în $x$ : $- \frac{1}{2} + \frac{5}{6}$ . Aduci la numitorul comun $6$ : $- \frac{3}{6} + \frac{5}{6} =$ $\frac{2}{6} =$ $\frac{1}{3}$ .
Termenul liber $- 2$ nu are pereche și rămâne cum este.
Scrii termenii în ordinea descrescătoare a exponenților lui $x$ .

Răspuns: $x^{2} + \frac{1}{3} x - 2$

EXERCIȚIUL 7Toate operațiile într-o singură expresiegreu

Fie $E =$ $3 x \cdot 2 x^{2} - (4 x^{4}) : (2 x) + {(- x)}^{3}$ , unde $x$ este un număr real nenul. Aduce expresia la forma cea mai simplă, apoi calculează $E$ pentru $x = \sqrt{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

Calculezi fiecare termen separat. Primul: $3 x \cdot 2 x^{2} = 6 x^{3}$ .
Al doilea: $(4 x^{4}) : (2 x) = 2 x^{3}$ , cu minus în față: $- 2 x^{3}$ .
Al treilea: ${(- x)}^{3} = - x^{3}$ , pentru că puterea este impară.
Acum toți termenii sunt asemenea: $6 x^{3} - 2 x^{3} - x^{3} =$ $3 x^{3}$ .
Pentru $x = \sqrt{2}$ : ${(\sqrt{2})}^{3} =$ ${(\sqrt{2})}^{2} \cdot \sqrt{2} =$ $2 \sqrt{2}$ , deci $E =$ $3 \cdot 2 \sqrt{2} =$ $6 \sqrt{2}$ .

Răspuns: $E = 3 x^{3}$ ; pentru $x = \sqrt{2}$ , $E = 6 \sqrt{2}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: perimetrul și aria cu literegreu

Un dreptunghi are lungimea $3 a \sqrt{2}$ cm și lățimea $a \sqrt{2}$ cm, unde $a$ este un număr real pozitiv. a) Scrie perimetrul și aria dreptunghiului în funcție de $a$ . b) Calculează perimetrul și aria pentru $a = \sqrt{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Perimetrul este dublul sumei laturilor: $P =$ $2 (3 a \sqrt{2} + a \sqrt{2})$ . În paranteză ai termeni asemenea: $3 a \sqrt{2} + a \sqrt{2} =$ $4 a \sqrt{2}$ , deci $P = 8 a \sqrt{2}$ cm.
Aria este produsul laturilor: $A =$ $3 a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{2}$ . Coeficienții: $3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} =$ $3 \cdot 2 =$ $6$ ; literele: $a \cdot a = a^{2}$ . Deci $A = 6 a^{2}$ cm².
b) Pentru $a = \sqrt{2}$ : $P =$ $8 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} =$ $8 \cdot 2 =$ $16$ cm.
Aria: $A =$ $6 \cdot {(\sqrt{2})}^{2} =$ $6 \cdot 2 =$ $12$ cm².

Răspuns: a) $P = 8 a \sqrt{2}$ cm, $A = 6 a^{2}$ cm²; b) $P = 16$ cm, $A = 12$ cm²

Cum recunoști un exercițiu cu operații cu numere reprezentate prin litere

Ți se cere să „reduci termenii asemenea” sau să „aduci expresia la forma cea mai simplă”: cauți termenii cu aceeași parte literală și le aduni coeficienții.
Apar produse sau câturi de monoame, cum ar fi $2 x^{3} \cdot 5 x$ sau $12 a^{5} : 3 a^{2}$ : lucrezi separat cu coeficienții și cu exponenții.
Apare un monom în paranteză ridicat la o putere: ridici la putere și coeficientul, și fiecare literă, și urmărești semnul.

Greșeli frecvente la operațiile cu numere reale reprezentate prin litere

Aduni termeni care nu sunt asemenea. $3 x^{2} + 2 x$ nu dă $5 x^{3}$ și nici $5 x^{2}$ : exponenții diferă, deci termenii rămân separați. Aduni doar ce are exact aceeași parte literală.
Aduni exponenții și la adunare. Regula „aduni exponenții” e doar pentru înmulțire. La adunare partea literală rămâne aceeași: $4 a^{3} + a^{3} = 5 a^{3}$ , nu $5 a^{6}$ .
Uiți coeficientul la ridicarea la putere. ${(3 x^{2})}^{2} = 9 x^{4}$ , nu $3 x^{4}$ . Puterea se aplică fiecărui factor din paranteză, inclusiv numărului.

Exersează : operațiile cu numere reale reprezentate prin litere

Fișă de lucru: Operații cu numere reale reprezentate prin litere, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Fișă de lucru: Înmulțirea și împărțirea numerelor reale reprezentate prin literePDF de printat, 6 exerciții Test: Calcul algebric în R, clasa a VIII-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre operațiile cu numere reale reprezentate prin litere

Ce înseamnă „număr real reprezentat prin literă”?

Litera ține locul unui număr real pe care nu îl cunoști sau care se poate schimba. Calculele cu litere respectă aceleași reguli ca orice calcul cu numere reale.

Pot aduna

2 x

și

3 y

Nu într-un singur termen. Au părți literale diferite, deci rezultatul rămâne suma $2 x + 3 y$ .

De ce trebuie ca literele să fie nenule la împărțire?

Pentru că împărțirea la zero nu are sens. Dacă $x$ ar putea fi $0$ , un cât ca $x^{5} : x^{2}$ nu ar exista.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este rezultatul adunării expresiilor algebrice $3 a + 2 b$ și $5 a - 4 b$ ?
2. Care este rezultatul înmulțirii $3 x \cdot (2 x - 5)$ ?
3. Cât este $\frac{a}{3} + \frac{a}{6}$ , unde $a$ este un număr real?
4. Care este rezultatul operației $(2 a + 3 b) - (a - b)$ ?
5. Care expresie este echivalentă cu $\frac{4 a^{2}}{2 a}$ , unde $a \neq 0$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 2 noiembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

OPERAȚII CU INTERVALE pe axa numerelor - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 1: Intervale de numere reale

INECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b > 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 1: Intervale de numere reale

CALCUL ALGEBRIC cu litere, termeni asemenea și paranteze - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT: pătratul sumei, al diferenței și diferența de pătrate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

DESCOMPUNEREA ÎN FACTORI factor comun, formule, grupare - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

DESCOMPUNEREA ÎN FACTORI CU FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT pătratul unui binom și diferența de pătrate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună