PUTEREA UNEI FRACȚII ordinare cu exponent natural - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 19 octombrie 2026

Ca să ridici o fracție la o putere, ridici la acea putere și numărătorul, și numitorul. De exemplu, ${(\frac{2}{3})}^{3} =$ $\frac{2^{3}}{3^{3}} =$ $\frac{8}{27}$ . Mai jos găsești regula, cazurile cu exponent 0 și 1, regulile de calcul cu puteri aplicate pe fracții și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum ridici la putere o fracție ordinară

Puterea unei fracții este, ca la numerele naturale, o înmulțire repetată: ${(\frac{a}{b})}^{n}$ înseamnă fracția $\frac{a}{b}$ înmulțită cu ea însăși de $n$ ori. Fracția este baza, iar $n$ este exponentul. Pentru că la înmulțirea fracțiilor înmulțești numărătorii între ei și numitorii între ei, obții regula:

${(\frac{a}{b})}^{n} =$ $\frac{a^{n}}{b^{n}}$

De exemplu, ${(\frac{3}{5})}^{2} =$ $\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} =$ $\frac{9}{25}$ . Atenție la paranteze: ${(\frac{3}{5})}^{2}$ ridică toată fracția, dar $\frac{3^{2}}{5}$ ridică doar numărătorul.

Exponenții 0 și 1. Orice fracție nenulă la puterea $1$ rămâne aceeași, iar la puterea $0$ dă $1$ : ${(\frac{a}{b})}^{1} =$ $\frac{a}{b}$ și ${(\frac{a}{b})}^{0} =$ $1$ , pentru $a \neq 0$ .

Simplifici înainte. Dacă fracția se poate simplifica, o simplifici întâi și abia apoi ridici la putere: numerele rămân mici, iar rezultatul iese direct ireductibil.

Regulile de calcul rămân aceleași. Toate regulile învățate la puterile numerelor naturale se aplică și când baza este o fracție:

produsul puterilor cu aceeași bază: aduni exponenții, ${(\frac{a}{b})}^{m} \cdot {(\frac{a}{b})}^{n} =$ ${(\frac{a}{b})}^{m + n}$ ;
câtul puterilor cu aceeași bază: scazi exponenții, ${(\frac{a}{b})}^{m} : {(\frac{a}{b})}^{n} =$ ${(\frac{a}{b})}^{m - n}$ , pentru $m \geq n$ ;
puterea unei puteri: înmulțești exponenții, ${({(\frac{a}{b})}^{m})}^{n} =$ ${(\frac{a}{b})}^{m \cdot n}$ ;
puterea unui produs: ${(\frac{a}{b})}^{n} \cdot {(\frac{c}{d})}^{n} =$ ${(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d})}^{n}$ .

Compararea puterilor de fracții. Dacă baza este o fracție subunitară, puterea scade când exponentul crește: ${(\frac{1}{2})}^{2} =$ $\frac{1}{4}$ este mai mică decât $\frac{1}{2}$ . Dacă baza este supraunitară, puterea crește odată cu exponentul. La același exponent, este mai mare puterea cu baza mai mare.

Exerciții rezolvate : puterea unei fracții

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aplici regula directușor

Calculează: a) ${(\frac{2}{3})}^{3}$ ; b) ${(\frac{5}{4})}^{2}$ ; c) ${(\frac{1}{2})}^{5}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Ridici la puterea a treia numărătorul și numitorul: $\frac{2^{3}}{3^{3}} =$ $\frac{8}{27}$ .
b) $\frac{5^{2}}{4^{2}} =$ $\frac{25}{16}$ . Baza este supraunitară, deci și rezultatul este supraunitar.
c) $1^{5} = 1$ și $2^{5} = 32$ , deci ${(\frac{1}{2})}^{5} =$ $\frac{1}{32}$ .

Răspuns: a) $\frac{8}{27}$ ; b) $\frac{25}{16}$ ; c) $\frac{1}{32}$

EXERCIȚIUL 2Exponent 0 și exponent 1ușor

Calculează: a) ${(\frac{7}{9})}^{1}$ ; b) ${(\frac{12}{5})}^{0}$ ; c) ${(\frac{4}{11})}^{0} +$ ${(\frac{3}{8})}^{1}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) La puterea $1$ fracția rămâne neschimbată: $\frac{7}{9}$ .
b) Orice fracție nenulă la puterea $0$ este $1$ , deci rezultatul este $1$ , nu $0$ și nici $\frac{12}{5}$ .
c) ${(\frac{4}{11})}^{0} =$ $1$ și ${(\frac{3}{8})}^{1} =$ $\frac{3}{8}$ .
Aduni: $1 + \frac{3}{8} =$ $\frac{8}{8} + \frac{3}{8} =$ $\frac{11}{8}$ .

Răspuns: a) $\frac{7}{9}$ ; b) $1$ ; c) $\frac{11}{8}$

EXERCIȚIUL 3Simplifici întâi, ridici apoiușor

Calculează ${(\frac{6}{9})}^{3}$ și scrie rezultatul ca fracție ireductibilă.

Rezolvare pas cu pas

$6$ și $9$ se împart amândouă la $3$ , deci simplifici: $\frac{6}{9} =$ $\frac{2}{3}$ .
Ridici fracția simplificată: ${(\frac{2}{3})}^{3} =$ $\frac{8}{27}$ , care este deja ireductibilă.
Dacă ai fi ridicat direct, ai fi obținut $\frac{6^{3}}{9^{3}} =$ $\frac{216}{729}$ , pe care ar fi trebuit să o simplifici cu $27$ . Rezultatul e același, dar calculul e mult mai lung.

Răspuns: $\frac{8}{27}$

EXERCIȚIUL 4Produs și cât de puteri cu aceeași bazămediu

Calculează ${(\frac{3}{5})}^{4} \cdot {(\frac{3}{5})}^{2} : {(\frac{3}{5})}^{5}$ .

Rezolvare pas cu pas

Toate puterile au aceeași bază, $\frac{3}{5}$ , deci lucrezi doar cu exponenții, de la stânga la dreapta.
La înmulțire aduni exponenții: ${(\frac{3}{5})}^{4} \cdot {(\frac{3}{5})}^{2} =$ ${(\frac{3}{5})}^{6}$ .
La împărțire scazi exponenții: ${(\frac{3}{5})}^{6} : {(\frac{3}{5})}^{5} =$ ${(\frac{3}{5})}^{1} =$ $\frac{3}{5}$ .

Răspuns: $\frac{3}{5}$

EXERCIȚIUL 5Putere la putere și scrierea ca puteremediu

a) Calculează ${({(\frac{2}{3})}^{2})}^{3}$ . b) Scrie ca putere a unei fracții: $\frac{16}{81}$ și $\frac{125}{8}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) La putere la putere înmulțești exponenții: $2 \cdot 3 = 6$ , deci obții ${(\frac{2}{3})}^{6}$ .
$2^{6} = 64$ și $3^{6} = 729$ , deci rezultatul este $\frac{64}{729}$ .
b) Cauți același exponent sus și jos: $16 = 2^{4}$ și $81 = 3^{4}$ , deci $\frac{16}{81} =$ ${(\frac{2}{3})}^{4}$ .
$125 = 5^{3}$ și $8 = 2^{3}$ , deci $\frac{125}{8} =$ ${(\frac{5}{2})}^{3}$ .

Răspuns: a) $\frac{64}{729}$ ; b) ${(\frac{2}{3})}^{4}$ și ${(\frac{5}{2})}^{3}$

EXERCIȚIUL 6Compari fără să calculezimediu

Compară, fără să calculezi puterile: a) ${(\frac{3}{4})}^{5}$ și ${(\frac{3}{4})}^{7}$ ; b) ${(\frac{5}{3})}^{4}$ și ${(\frac{5}{3})}^{2}$ ; c) ${(\frac{2}{5})}^{3}$ și ${(\frac{2}{7})}^{3}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Baza $\frac{3}{4}$ este subunitară: fiecare înmulțire în plus cu $\frac{3}{4}$ micșorează rezultatul. Exponentul mai mare dă puterea mai mică: ${(\frac{3}{4})}^{5} > {(\frac{3}{4})}^{7}$ .
b) Baza $\frac{5}{3}$ este supraunitară: puterea crește odată cu exponentul, deci ${(\frac{5}{3})}^{4} > {(\frac{5}{3})}^{2}$ .
c) Exponenții sunt egali, deci compari bazele. Au același numărător, iar $5 < 7$ , deci $\frac{2}{5} > \frac{2}{7}$ .
La același exponent, baza mai mare dă puterea mai mare: ${(\frac{2}{5})}^{3} > {(\frac{2}{7})}^{3}$ . Verificare: $\frac{8}{125}$ și $\frac{8}{343}$ au același numărător, iar $125 < 343$ .

Răspuns: a) $>$ ; b) $>$ ; c) $>$

EXERCIȚIUL 7Exponentul necunoscutgreu

Află numărul natural $x$ pentru care ${(\frac{2}{3})}^{x} \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} =$ $\frac{32}{243}$ .

Rezolvare pas cu pas

În stânga, puterile au aceeași bază, deci aduni exponenții: ${(\frac{2}{3})}^{x + 2}$ .
În dreapta, scrii fracția ca putere a lui $\frac{2}{3}$ : $32 = 2^{5}$ și $243 = 3^{5}$ , deci $\frac{32}{243} =$ ${(\frac{2}{3})}^{5}$ .
Două puteri cu aceeași bază $\frac{2}{3}$ sunt egale doar dacă au exponenți egali: $x + 2 = 5$ , deci $x = 3$ .
Verificare: ${(\frac{2}{3})}^{3} \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} =$ $\frac{8}{27} \cdot \frac{4}{9} =$ $\frac{32}{243}$ .

Răspuns: $x = 3$

EXERCIȚIUL 8Calcul cu baze inversegreu

Calculează $E =$ ${(\frac{3}{2})}^{2} \cdot {(\frac{2}{3})}^{3} +$ ${(\frac{1}{3})}^{0}$ .

Rezolvare pas cu pas

Ordinea operațiilor: întâi puterile și înmulțirea, apoi adunarea. Ultimul termen este ${(\frac{1}{3})}^{0} =$ $1$ .
Scrii ${(\frac{2}{3})}^{3} =$ ${(\frac{2}{3})}^{2} \cdot \frac{2}{3}$ , ca să ai doi factori cu același exponent.
Puterea unui produs: ${(\frac{3}{2})}^{2} \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} =$ ${(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3})}^{2} =$ $1^{2} =$ $1$ .
Rămâne $1 \cdot \frac{2}{3} =$ $\frac{2}{3}$ , deci $E =$ $\frac{2}{3} + 1 =$ $\frac{2}{3} + \frac{3}{3} =$ $\frac{5}{3}$ .
Verificare pe calea lungă: $\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{27} =$ $\frac{72}{108} =$ $\frac{2}{3}$ , același rezultat.

Răspuns: $E = \frac{5}{3}$

Cum recunoști ce ai de făcut la puterea unei fracții

Vezi o fracție între paranteze, cu un exponent în dreapta sus? Ridici la putere și numărătorul, și numitorul; dacă fracția se simplifică, o simplifici întâi.
Mai multe puteri cu aceeași fracție la bază, legate prin înmulțiri și împărțiri? Lucrezi doar cu exponenții: aduni la înmulțire, scazi la împărțire.
Ai de comparat puteri de fracții? Uită-te întâi dacă baza este subunitară sau supraunitară și dacă exponenții sunt egali; de multe ori răspunsul vine fără niciun calcul.

Greșeli frecvente la puterea unei fracții

Ridici doar numărătorul. ${(\frac{2}{5})}^{2} =$ $\frac{4}{25}$ , nu $\frac{4}{5}$ . Paranteza arată că exponentul se aplică întregii fracții.
Înmulțești baza cu exponentul. ${(\frac{2}{3})}^{3}$ nu este $\frac{6}{9}$ . Puterea înseamnă înmulțire repetată: $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} =$ $\frac{8}{27}$ .
Crezi că puterea mărește mereu numărul. La o bază subunitară, puterea micșorează: ${(\frac{1}{3})}^{2} =$ $\frac{1}{9}$ este mai mică decât $\frac{1}{3}$ . Puterea crește cu exponentul doar la bazele supraunitare.

Exersează : puterea unei fracții

Fișă de lucru: Puterea cu exponent natural a unei fracții ordinare, clasa a V-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Fracții ordinare, clasa a V-acu barem (PDF) Lecția video: Puterea unei fracții ordinare, partea 2clasa a V-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre puterea unei fracții

Cât face o fracție la puterea 0?

Face $1$ , oricare ar fi fracția, cu condiția să nu fie zero. De exemplu, ${(\frac{7}{2})}^{0} =$ $1$ .

Trebuie să simplific înainte sau după ce ridic la putere?

Rezultatul iese la fel, dar e mai simplu înainte: numerele rămân mici. Dacă ridici întâi, la final trebuie să simplifici o fracție cu numere mari.

De ce

{(\frac{1}{2})}^{3}

este mai mic decât

\frac{1}{2}

Pentru că înmulțești cu $\frac{1}{2}$ de mai multe ori, iar fiecare înmulțire cu o fracție subunitară ia doar o parte din număr: jumătate din jumătate este un sfert, apoi jumătate din sfert este o optime.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este rezultatul calculului ${(\frac{2}{3})}^{3}$ ?
2. Care este formula corectă pentru puterea unei fracții ordinare ${(\frac{a}{b})}^{n}$ ?
3. Cât este ${(\frac{3}{5})}^{2}$ ?
4. Care este valoarea expresiei ${(\frac{1}{4})}^{3}$ ?
5. Ce valoare are ${(\frac{2}{5})}^{2}$ ?