Școala Virtuală

Matematică Clasa a V-a

14. Puterea cu exponent natural a unei fracții ordinare

Lecție susținută de prof. Alexandra Pavel

Știi deja cum să ridici un număr la putere — acum vine provocarea frumoasă: ce facem când baza nu e un număr întreg, ci o fracție? Lecția aceasta îți arată exact cum funcționează puterea cu exponent natural a unei fracții ordinare, pas cu pas, fără surprize neplăcute. Vei vedea că regula e de fapt elegantă: ridicăm separat numărătorul și numitorul la acea putere, și gata. Sună simplu? Este simplu — dar numai dacă știi exact de ce funcționează așa și unde se ascund capcanele (numitor zero, exponent zero). Dacă ai de rezolvat exerciții cu fracții la putere la teză sau la olimpiadă, lecția asta îți dă instrumentul complet.

Ce vei învăța în această lecție

  • Vei înțelege de ce puterea unei fracții se calculează ridicând numărătorul și numitorul separat la acel exponent.
  • Vei ști să aplici formula (ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} corect și rapid.
  • Vei recunoaște cazurile speciale: exponent 0, exponent 1 și fracții subunitare ridicate la puteri mari.
  • Vei putea simplifica rezultatele și verifica dacă fracția obținută este ireductibilă.

Exemplu rezolvat

Enunț

Calculează (23)4\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 și determină dacă rezultatul este mai mare sau mai mic decât 12\dfrac{1}{2}.

Rezolvare

Fiecare pas este dezvoltat separat:

(23)4=2434\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4}
24=2⋅2⋅2⋅2=162^4 = 2\cdot2\cdot2\cdot2 = 16
34=3⋅3⋅3⋅3=813^4 = 3\cdot3\cdot3\cdot3 = 81
(23)4=1681\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}
12=81162,1681=32162\frac{1}{2} = \frac{81}{162}, \quad \frac{16}{81} = \frac{32}{162}
32<81⇒32162<81162⇒1681<1232 < 81 \Rightarrow \frac{32}{162} < \frac{81}{162} \Rightarrow \frac{16}{81} < \frac{1}{2}

Explicație

Aplicăm regula direct: numărătorul 22 și numitorul 33 se ridică fiecare la puterea 4. Fracția 1681\frac{16}{81} este deja ireductibilă (16 și 81 nu au divizori comuni în afară de 1), iar compararea cu 12\frac{1}{2} se face aducând cele două fracții la același numitor, 162162.

Idei cheie de reținut

  • Formula de bază: (ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, unde b≠0b \neq 0 — numărătorul și numitorul se ridică separat la putere.
  • O fracție subunitară ridicată la puteri tot mai mari dă rezultate tot mai mici: 23>49>827>1681\frac{2}{3} > \frac{4}{9} > \frac{8}{27} > \frac{16}{81}.
  • Orice fracție nenulă la puterea 0 este egală cu 1, iar la puterea 1 rămâne ea însăși — aceste cazuri sunt excepții de memorat imediat.

Întrebări frecvente

De ce nu pot să adun pur și simplu exponentul la numărător și numitor în loc să calculez puterea?

Adunarea exponentului nu e o operație definită în acest context — puterea înseamnă înmulțire repetată a bazei cu ea însăși. Dacă ai (23)3\left(\frac{2}{3}\right)^3, asta înseamnă 23⋅23⋅23\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}, ceea ce dă 827\frac{8}{27}. Nu există scurtătură prin adunare; formula corectă e singura cale.

Cum știu dacă fracția rezultată mai poate fi simplificată?

Calculezi cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al numărătorului și numitorului rezultate. Dacă c.m.m.d.c. este 1, fracția e ireductibilă. Un truc rapid: dacă fracția de la care ai pornit era deja ireductibilă, rezultatul ridicat la putere va fi și el ireductibil — factorii comuni nu apar din senin prin ridicarea la putere.

Care este cea mai frecventă greșeală la test la acest tip de exercițiu?

Greșeala clasică: elevii uită să pună și numitorul la putere, ridicând doar numărătorul. De exemplu, scriu (35)2=95\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{5} în loc de 925\frac{9}{25}. A doua capcană: înmulțirea cu exponentul în loc de ridicarea la putere, de exemplu (23)2\left(\frac{2}{3}\right)^2 scris greșit ca 46\frac{4}{6} în loc de 49\frac{4}{9}.

Exersează cu fișa de lucru: Puterea cu exponent natural a unei fracții ordinare — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Prof. Alexandra Pavel

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună

Următoarele lecții

1

Puterea cu exponent natural a unei fracții ordinare. Exerciții. Partea 2

2

Fracții dintr-un număr natural sau dintr-o fracție ordinară. Procente

3

Fracții dintr-un număr natural sau dintr-o fracție ordinară. Procente. Exerciții. Partea 2

Resurse conexe

📄ArticolPuterea unei fracții - exerciții rezolvate📝Fișă de lucruPuterea cu exponent natural a unei fracții ordinare
Înapoi la Matematică Clasa a V-a - toate lecțiile