REZOLVAREA TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC cele patru cazuri - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 5 octombrie 2026

A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă a-i afla toate laturile și toate unghiurile, pornind de la două elemente cunoscute, dintre care cel puțin o latură. Unghiul drept îl știi mereu, iar restul vine din teorema lui Pitagora, din suma unghiurilor și din rapoartele trigonometrice. Mai jos găsești cele patru cazuri și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cele patru cazuri și ce folosești în fiecare

Un triunghi are șase elemente principale: trei laturi și trei unghiuri. În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , unghiul $A$ are mereu $90^{\circ}$ , deci rămân de aflat cinci elemente. Ai nevoie de două date, iar cel puțin una trebuie să fie o latură: dacă știi doar unghiurile, există o infinitate de triunghiuri cu aceeași formă și mărimi diferite.

Triunghiul dreptunghic are trei laturi și trei unghiuri. Unghiul drept este mereu cunoscut, deci îți mai trebuie două date, dintre care cel puțin o latură.

Trei unelte fac toată treaba:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$

$m (∠ B) + m (∠ C) =$ $90^{\circ}$

și rapoartele trigonometrice ale unghiurilor ascuțite ( $\sin$ , $\cos$ , $tg$ , $ctg$ ), învățate în lecția anterioară. După datele primite, apar patru cazuri:

se dau	afli întâi	apoi
cele două catete	ipotenuza, cu Pitagora	un unghi din $tg$ sau $\sin$ , celălalt din complement
o catetă și ipotenuza	cealaltă catetă, cu Pitagora	un unghi din $\sin$ sau $\cos$ , celălalt din complement
ipotenuza și un unghi ascuțit	celălalt unghi, din complement	catetele: ipotenuza înmulțită cu $\sin$ sau $\cos$
o catetă și un unghi ascuțit	celălalt unghi, din complement	cealaltă catetă cu $tg$ , ipotenuza cu $\sin$ sau $\cos$

Dacă unghiul nu este de $30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ sau $60^{\circ}$ , enunțul îți dă valorile aproximative ale rapoartelor (dintr-un tabel trigonometric), iar rezultatul se scrie cu „ $\approx$ ”. La final, verifică-te: suma pătratelor catetelor trebuie să dea pătratul ipotenuzei, iar latura cea mai lungă trebuie să fie opusă unghiului cel mai mare.

Pe lângă cele șase elemente, problemele cer des și elemente secundare: înălțimea din unghiul drept $A D =$ $\frac{A B \cdot A C}{B C}$ , proiecțiile catetelor pe ipotenuză (din teorema catetei), aria $\frac{A B \cdot A C}{2}$ și perimetrul.

Exerciții rezolvate : rezolvarea triunghiului dreptunghic

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Cazul 1: se dau cele două cateteușor

Rezolvă triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , știind că $A B = 4 \sqrt{3}$ cm și $A C = 4$ cm.

Rezolvare pas cu pas

Ipotenuza, cu teorema lui Pitagora: $B C^{2} =$ ${(4 \sqrt{3})}^{2} + 4^{2} =$ $48 + 16 =$ $64$ , deci $B C = 8$ cm.
Un unghi: $\sin B =$ $\frac{A C}{B C} =$ $\frac{4}{8} =$ $\frac{1}{2}$ , deci $m (∠ B) =$ $30^{\circ}$ .
Celălalt unghi ascuțit este complementul: $m (∠ C) =$ $90^{\circ} - 30^{\circ} =$ $60^{\circ}$ .
Verificare: cateta cea mai scurtă, $A C = 4$ cm, este opusă celui mai mic unghi, $B$ , și este jumătate din ipotenuză, cum cere teorema unghiului de $30^{\circ}$ .

Răspuns: $B C = 8$ cm, $m (∠ B) =$ $30^{\circ}$ , $m (∠ C) =$ $60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Cazul 2: se dau o catetă și ipotenuzaușor

Rezolvă triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , știind că ipotenuza $B C = 25$ cm și cateta $A B = 7$ cm. Folosește $\cos 74^{\circ} \approx 0,28$ .

Rezolvare pas cu pas

Cealaltă catetă, cu teorema lui Pitagora: $A C^{2} =$ $B C^{2} - A B^{2} =$ $625 - 49 =$ $576$ , deci $A C = \sqrt{576} = 24$ cm.
$A B$ este alăturată unghiului $B$ , deci folosești cosinusul: $\cos B =$ $\frac{A B}{B C} =$ $\frac{7}{25} =$ $0,28$ .
Din valoarea dată în enunț, $m (∠ B) \approx 74^{\circ}$ . Unghiul nu este remarcabil, deci scrii „ $\approx$ ”, nu „ $=$ ”.
$m (∠ C) \approx 90^{\circ} - 74^{\circ} =$ $16^{\circ}$ .
Verificare: $7^{2} + 24^{2} =$ $49 + 576 =$ $625 =$ $25^{2}$ , iar cateta mai lungă, $A C$ , este opusă unghiului ascuțit mai mare, $B$ .

Răspuns: $A C = 24$ cm, $m (∠ B) \approx 74^{\circ}$ , $m (∠ C) \approx 16^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Cazul 3: se dau ipotenuza și un unghi ascuțitușor

Rezolvă triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , știind că $B C = 16$ cm și $m (∠ C) =$ $45^{\circ}$ .

Rezolvare pas cu pas

Celălalt unghi: $m (∠ B) =$ $90^{\circ} - 45^{\circ} =$ $45^{\circ}$ . Triunghiul este dreptunghic isoscel, deci $A B = A C$ .
$A B$ este opusă unghiului $C$ : $A B =$ $B C \cdot \sin 45^{\circ} =$ $16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =$ $8 \sqrt{2}$ cm.
$A C =$ $B C \cdot \cos 45^{\circ} =$ $8 \sqrt{2}$ cm.
Verificare: ${(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{2} =$ $128 + 128 =$ $256 =$ $16^{2}$ .

Răspuns: $m (∠ B) =$ $45^{\circ}$ , $A B = A C = 8 \sqrt{2}$ cm

EXERCIȚIUL 4Cazul 4: se dau o catetă și un unghi ascuțitmediu

Rezolvă triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , știind că $A C = 15$ cm și $m (∠ B) =$ $60^{\circ}$ .

Rezolvare pas cu pas

Celălalt unghi: $m (∠ C) =$ $90^{\circ} - 60^{\circ} =$ $30^{\circ}$ .
$A C$ este opusă unghiului $B$ , iar $A B$ este alăturată lui. Tangenta le leagă: $tg B =$ $\frac{A C}{A B}$ , deci $A B =$ $\frac{15}{\sqrt{3}} =$ $\frac{15 \sqrt{3}}{3} =$ $5 \sqrt{3}$ cm.
Ipotenuza, din sinus: $\sin B =$ $\frac{A C}{B C}$ , deci $B C =$ $\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =$ $\frac{30}{\sqrt{3}} =$ $10 \sqrt{3}$ cm.
Verificare: ${(5 \sqrt{3})}^{2} + 15^{2} =$ $75 + 225 =$ $300 =$ ${(10 \sqrt{3})}^{2}$ . Și $A B = \frac{B C}{2}$ , cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ C) =$ $30^{\circ}$ , $A B = 5 \sqrt{3}$ cm, $B C = 10 \sqrt{3}$ cm

EXERCIȚIUL 5Elemente secundare: înălțimea și proiecțiilemediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A B = 20$ cm și $A C = 15$ cm, iar $A D$ este înălțimea din $A$ . Rezolvă triunghiul, folosind $\sin 37^{\circ} \approx 0,60$ , apoi calculează $A D$ , $B D$ și $D C$ .

Înălțimea

A D

este punctată pentru că este un element pe care îl construiești; lungimea ei se calculează. Unghiul drept din

A

nu este marcat, ca să nu se suprapună cu înălțimea.

Rezolvare pas cu pas

Ipotenuza: $B C^{2} =$ $400 + 225 =$ $625$ , deci $B C = 25$ cm.
$\sin B =$ $\frac{A C}{B C} =$ $\frac{15}{25} =$ $0,6$ . Din valoarea dată, $m (∠ B) \approx 37^{\circ}$ , iar $m (∠ C) \approx 90^{\circ} - 37^{\circ} =$ $53^{\circ}$ .
Înălțimea: $A D =$ $\frac{A B \cdot A C}{B C} =$ $\frac{20 \cdot 15}{25} =$ $\frac{300}{25} =$ $12$ cm.
Proiecțiile, din teorema catetei: $B D =$ $\frac{A B^{2}}{B C} =$ $\frac{400}{25} =$ $16$ cm și $D C =$ $\frac{A C^{2}}{B C} =$ $\frac{225}{25} =$ $9$ cm.
Verificare: $16 + 9 = 25$ , adică $B C$ , iar teorema înălțimii dă $16 \cdot 9 =$ $144 =$ $12^{2}$ .

Răspuns: $B C = 25$ cm, $m (∠ B) \approx 37^{\circ}$ , $m (∠ C) \approx 53^{\circ}$ , $A D = 12$ cm, $B D = 16$ cm, $D C = 9$ cm

EXERCIȚIUL 6Problemă practică: scara sprijinită de peretemediu

O scară $S V$ de $5$ m este sprijinită de un perete vertical $P V$ și face cu solul orizontal un unghi $m (∠ P S V) =$ $70^{\circ}$ . La ce înălțime atinge scara peretele și cât de departe de perete este piciorul ei? Folosește $\sin 70^{\circ} \approx 0,94$ și $\cos 70^{\circ} \approx 0,34$ .

Rezolvare pas cu pas

Peretele este perpendicular pe sol, deci triunghiul $S P V$ este dreptunghic în $P$ , cu ipotenuza $S V = 5$ m. Suntem în cazul 3: ipotenuza și un unghi ascuțit.
Celălalt unghi: $m (∠ S V P) =$ $90^{\circ} - 70^{\circ} =$ $20^{\circ}$ .
Înălțimea $P V$ este opusă unghiului $S$ : $P V =$ $S V \cdot \sin 70^{\circ} \approx 5 \cdot 0,94 =$ $4,7$ m.
Distanța $S P$ este alăturată unghiului $S$ : $S P =$ $S V \cdot \cos 70^{\circ} \approx 5 \cdot 0,34 =$ $1,7$ m.
Verificare aproximativă: ${4,7}^{2} + {1,7}^{2} =$ $22,09 + 2,89 =$ $24,98 \approx 25 =$ $5^{2}$ .

Răspuns: înălțimea $\approx 4,7$ m, distanța de la perete $\approx 1,7$ m, $m (∠ S V P) =$ $20^{\circ}$

EXERCIȚIUL 7Rezolvarea pornind de la înălțimegreu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , iar $A D$ este înălțimea lui, cu $D$ pe $B C$ . Știind că $A D = 6$ cm și $m (∠ B) =$ $30^{\circ}$ , rezolvă triunghiul $A B C$ și calculează aria lui.

Unghiul drept din

A

este dat în enunț, dar nu este marcat pe figură, pentru că înălțimea

A D

trece prin colțul lui.

Rezolvare pas cu pas

Înălțimea împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice. În $A B D$ (drept în $D$ ) se dau cateta $A D = 6$ cm și unghiul $B$ : cazul 4.
$A D$ este opusă unghiului de $30^{\circ}$ , deci $A B = 2 \cdot A D = 12$ cm, iar $B D =$ $A B \cdot \cos 30^{\circ} =$ $12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =$ $6 \sqrt{3}$ cm.
În triunghiul $A B C$ : $m (∠ C) =$ $90^{\circ} - 30^{\circ} =$ $60^{\circ}$ . În $A D C$ (drept în $D$ ): $A C =$ $\frac{A D}{\sin 60^{\circ}} =$ $\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =$ $\frac{12}{\sqrt{3}} =$ $4 \sqrt{3}$ cm.
$D C =$ $\frac{A C}{2} =$ $2 \sqrt{3}$ cm (opusă unghiului $D A C$ de $30^{\circ}$ ), deci $B C =$ $6 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} =$ $8 \sqrt{3}$ cm.
Verificare cu Pitagora: $12^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2} =$ $144 + 48 =$ $192 =$ ${(8 \sqrt{3})}^{2}$ . Aria: $\frac{A B \cdot A C}{2} =$ $\frac{12 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} =$ $24 \sqrt{3}$ cm².

Răspuns: $A B = 12$ cm, $A C = 4 \sqrt{3}$ cm, $B C = 8 \sqrt{3}$ cm, $m (∠ C) =$ $60^{\circ}$ , aria $24 \sqrt{3}$ cm²

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: triunghiul dreptunghic din trapezgreu

Trapezul dreptunghic $A B C D$ are $A B ∥ C D$ , $m (∠ A) =$ $m (∠ D) =$ $90^{\circ}$ , baza mare $A B = 20$ cm, latura $B C = 12$ cm și $m (∠ B) =$ $60^{\circ}$ . Fie $E$ piciorul perpendicularei din $C$ pe $A B$ . a) Calculează înălțimea $C E$ a trapezului. b) Calculează baza mică $C D$ . c) Arată că aria trapezului este $102 \sqrt{3}$ cm² și calculează perimetrul lui.

Perpendiculara

C E

este punctată: este construcția care formează triunghiul dreptunghic de rezolvat.

Rezolvare pas cu pas

a) Triunghiul $B E C$ este dreptunghic în $E$ , cu ipotenuza $B C = 12$ cm și $m (∠ B) =$ $60^{\circ}$ (cazul 3). $C E =$ $B C \cdot \sin 60^{\circ} =$ $12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =$ $6 \sqrt{3}$ cm.
Tot din triunghiul $B E C$ : $B E =$ $B C \cdot \cos 60^{\circ} =$ $12 \cdot \frac{1}{2} =$ $6$ cm.
b) $A E C D$ are toate unghiurile drepte, deci este dreptunghi: $C D =$ $A E =$ $A B - B E =$ $20 - 6 =$ $14$ cm, iar $A D = C E = 6 \sqrt{3}$ cm.
c) Aria trapezului: $\frac{(A B + C D) \cdot C E}{2} =$ $\frac{(20 + 14) \cdot 6 \sqrt{3}}{2} =$ $34 \cdot 3 \sqrt{3} =$ $102 \sqrt{3}$ cm².
Perimetrul: $A B + B C + C D + D A =$ $20 + 12 + 14 + 6 \sqrt{3} =$ $46 + 6 \sqrt{3}$ cm.

Răspuns: a) $C E = 6 \sqrt{3}$ cm; b) $C D = 14$ cm; c) aria $102 \sqrt{3}$ cm², perimetrul $46 + 6 \sqrt{3}$ cm

Cum recunoști cazul și de unde pornești

Numără ce laturi ai: dacă ai două laturi (cazurile 1 și 2), pornești cu teorema lui Pitagora și abia apoi cauți unghiurile.
Dacă ai o latură și un unghi ascuțit (cazurile 3 și 4), afli întâi celălalt unghi din complement, apoi laturile cu $\sin$ , $\cos$ sau $tg$ .
Dacă figura nu este un triunghi dreptunghic (trapez, triunghi cu înălțime, scară și perete), caută sau construiește perpendiculara care formează unul și rezolvă-l pe acela.

Greșeli frecvente la rezolvarea triunghiului dreptunghic

Încerci să rezolvi triunghiul doar din unghiuri. Din unghiurile $90^{\circ}$ , $30^{\circ}$ , $60^{\circ}$ nu poți afla nicio lungime: există triunghiuri mici și mari cu aceeași formă. Îți trebuie cel puțin o latură.
Te oprești după ce ai aflat ce ți-a trebuit primul. A rezolva triunghiul înseamnă toate cele trei laturi și toate cele trei unghiuri. Fă-ți la început o listă cu ce știi și ce lipsește și bifează pe rând.
Scrii „=” în loc de „≈” când folosești valori din tabel. $\sin 70^{\circ}$ nu este exact $0,94$ , deci nici $5 \cdot 0,94 =$ $4,7$ nu este lungimea exactă. Rezultatul se scrie $P V \approx 4,7$ m.

Exersează : rezolvarea triunghiului dreptunghic

Fișă de lucru: Rezolvarea triunghiului dreptunghic, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Relații metrice în triunghiul dreptunghic, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția: Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghicclasa a VII-a, lecția anterioară

Din același capitol

Întrebări frecvente despre rezolvarea triunghiului dreptunghic

Ce înseamnă să rezolvi un triunghi dreptunghic?

Înseamnă să afli toate laturile și toate unghiurile lui. Unghiul drept îl știi, deci pornești de la două date, dintre care cel puțin o latură, și le afli pe celelalte patru.

Când folosesc teorema lui Pitagora și când trigonometria?

Pitagora leagă trei laturi: o folosești când știi două laturi și o cauți pe a treia. Trigonometria leagă laturile de unghiuri: o folosești când în date sau în cerință apare un unghi ascuțit.

Cum verific dacă am rezolvat corect triunghiul?

Faci trei probe rapide: suma pătratelor catetelor trebuie să dea pătratul ipotenuzei, cele două unghiuri ascuțite trebuie să aibă împreună $90^{\circ}$ , iar latura cea mai lungă trebuie să fie opusă unghiului cel mai mare. Dacă ai lucrat cu valori din tabel, egalitățile ies doar aproximativ.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $c$ și catetele $a$ și $b$ , care relație este corectă?
2. Într-un triunghi dreptunghic, cateta $a = 3$ cm și cateta $b = 4$ cm. Cât măsoară ipotenuza $c$ ?
3. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza $c = 13$ cm și cateta $a = 5$ cm. Cât măsoară cateta $b$ ?
4. Care dintre afirmații descrie corect rezolvarea unui triunghi dreptunghic?
5. Într-un triunghi dreptunghic isoscel, cele două catete sunt egale și au lungimea $a$ . Care este lungimea ipotenuzei?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 5 octombrie 2026