UNGHI ÎNSCRIS ÎN CERC triunghi și patrulater înscris - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

1. Vârful $B$ este pe cerc, iar laturile $BA$ și $BC$ sunt coarde, deci $\angle ABC$ este unghi înscris.
2. Unghiul $ABC$ cuprinde între laturi arcul mic $AC$, cel pe care nu se află $B$.
3. Unghiul înscris are jumătate din arcul cuprins: $m(\angle ABC)=$ ${\displaystyle \frac{{110}^{\circ }}{2}}=$ ${55}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle ABC)=$ ${55}^{\circ }$

1. Unghiul înscris este jumătate din arcul cuprins, deci arcul are dublul unghiului: $m({AC}^{⌢})=$ $2\cdot {35}^{\circ }=$ ${70}^{\circ }$.
2. Unghiul la centru $AOC$ cuprinde același arc și are aceeași măsură ca el: $m(\angle AOC)=$ ${70}^{\circ }$.
3. Verificare: ${70}^{\circ }$ este dublul lui ${35}^{\circ }$, deci unghiul la centru este dublul unghiului înscris, cum spune regula.

Răspuns: $m({AC}^{⌢})=$ ${70}^{\circ }$ și $m(\angle AOC)=$ ${70}^{\circ }$

1. Unghiul $ACB$ are vârful pe cerc și cuprinde semicercul determinat de diametrul $AB$, un arc de ${180}^{\circ }$.
2. Deci $m(\angle ACB)=$ ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{2}}=$ ${90}^{\circ }$: triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$.
3. Din suma unghiurilor triunghiului: $m(\angle ABC)=$ ${180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{28}^{\circ }=$ ${62}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle ACB)=$ ${90}^{\circ }$, $m(\angle ABC)=$ ${62}^{\circ }$

1. Unghiurile $BAC$ și $BDC$ sunt înscrise și cuprind același arc $BC$, deci au aceeași măsură: $m(\angle BDC)=$ ${35}^{\circ }$.
2. Unghiurile $ABD$ și $ACD$ sunt înscrise și cuprind același arc $AD$, deci $m(\angle ACD)=$ ${50}^{\circ }$.
3. În triunghiul $ABE$ cunoști două unghiuri: $m(\angle EAB)=$ ${35}^{\circ }$ și $m(\angle EBA)=$ ${50}^{\circ }$.
4. Din suma unghiurilor triunghiului: $m(\angle AEB)=$ ${180}^{\circ }-{35}^{\circ }-{50}^{\circ }=$ ${95}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle BDC)=$ ${35}^{\circ }$, $m(\angle ACD)=$ ${50}^{\circ }$, $m(\angle AEB)=$ ${95}^{\circ }$

1. Notăm măsurile arcelor cu $3k$, $4k$ și $5k$. Cele trei arce formează tot cercul: $3k+4k+5k=$ ${360}^{\circ }$, deci $12k={360}^{\circ }$ și $k={30}^{\circ }$.
2. Arcele au: $m({AB}^{⌢})=$ ${90}^{\circ }$, $m({BC}^{⌢})=$ ${120}^{\circ }$, $m({CA}^{⌢})=$ ${150}^{\circ }$.
3. Fiecare unghi al triunghiului cuprinde arcul opus lui: $m(\angle C)=$ ${\displaystyle \frac{{90}^{\circ }}{2}}=$ ${45}^{\circ }$, $m(\angle A)=$ ${\displaystyle \frac{{120}^{\circ }}{2}}=$ ${60}^{\circ }$, $m(\angle B)=$ ${\displaystyle \frac{{150}^{\circ }}{2}}=$ ${75}^{\circ }$.
4. Verificare: ${45}^{\circ }+{60}^{\circ }+{75}^{\circ }=$ ${180}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle A)=$ ${60}^{\circ }$, $m(\angle B)=$ ${75}^{\circ }$, $m(\angle C)=$ ${45}^{\circ }$

1. Într-un patrulater înscris, unghiurile opuse sunt suplementare: $m(\angle A)+m(\angle C)=$ ${180}^{\circ }$.
2. Înlocuiești: $2x+{10}^{\circ }+3x-5^{\circ }=$ ${180}^{\circ }$, adică $5x+5^{\circ }=$ ${180}^{\circ }$, deci $5x={175}^{\circ }$ și $x={35}^{\circ }$.
3. $m(\angle A)=$ $2\cdot {35}^{\circ }+{10}^{\circ }=$ ${80}^{\circ }$ și $m(\angle C)=$ $3\cdot {35}^{\circ }-5^{\circ }=$ ${100}^{\circ }$.
4. Unghiurile $B$ și $D$ sunt și ele opuse: $m(\angle D)=$ ${180}^{\circ }-{95}^{\circ }=$ ${85}^{\circ }$.
5. Verificare: ${80}^{\circ }+$ ${95}^{\circ }+$ ${100}^{\circ }+$ ${85}^{\circ }=$ ${360}^{\circ }$, cât are orice patrulater convex.

Răspuns: $x={35}^{\circ }$; $m(\angle A)=$ ${80}^{\circ }$, $m(\angle C)=$ ${100}^{\circ }$, $m(\angle D)=$ ${85}^{\circ }$

1. Unghiul $ACB$ este înscris în semicerc, deci $m(\angle ACB)=$ ${90}^{\circ }$, iar $AB$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic $ABC$.
2. Din teorema lui Pitagora: $B{C}^2=$ $A{B}^2-A{C}^2=$ $100-36=$ $64$, deci $BC=8$ cm.
3. Catetele sunt perpendiculare, deci aria este ${\displaystyle \frac{AC\cdot BC}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{6\cdot 8}{2}}=$ $24$ cm².
4. Aceeași arie se scrie cu baza $AB$ și înălțimea $CD$, unde $D$ este piciorul perpendicularei din $C$: ${\displaystyle \frac{10\cdot CD}{2}}=$ $24$.
5. Rezultă $CD=$ ${\displaystyle \frac{48}{10}}=$ $\mathrm{4,8}$ cm.

Răspuns: $BC=8$ cm, aria $=24$ cm², distanța de la $C$ la $AB$ este $\mathrm{4,8}$ cm

1. a) Unghiul la centru $BOC$ cuprinde același arc ca unghiul înscris $BAC$, deci este dublul lui: $m(\angle BOC)=$ $2\cdot {30}^{\circ }=$ ${60}^{\circ }$.
2. b) $OB=OC$ (raze), deci triunghiul $BOC$ este isoscel, iar unghiurile de la bază au câte ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{60}^{\circ }}{2}}=$ ${60}^{\circ }$.
3. Triunghiul $BOC$ are toate unghiurile de ${60}^{\circ }$, deci este echilateral: $OB=BC=6$ cm. Raza cercului este $6$ cm.
4. c) Diametrul are $BD=2\cdot 6=12$ cm, iar unghiul $BCD$ este înscris în semicerc, deci $m(\angle BCD)=$ ${90}^{\circ }$.
5. Din teorema lui Pitagora în triunghiul $BCD$: $C{D}^2=$ $B{D}^2-B{C}^2=$ $144-36=$ $108$.
6. $CD=$ $\sqrt{108}=$ $\sqrt{36\cdot 3}=$ $6\sqrt{3}$ cm.

Răspuns: a) $m(\angle BOC)=$ ${60}^{\circ }$; b) $r=6$ cm; c) $CD=6\sqrt{3}$ cm