ECUAȚII ÎN MULȚIMEA NUMERELOR RAȚIONALE cu fracții și zecimale - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

1. a) Muți ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ în dreapta cu semn schimbat: $x=$ $-{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}=$ $-{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{4}{6}}=$ $-{\displaystyle \frac{5}{6}}$.
2. b) Muți $-\mathrm{1,25}$ în dreapta, unde devine $+\mathrm{1,25}$: $x=$ $-\mathrm{0,5}+\mathrm{1,25}=$ $\mathrm{0,75}$.
3. c) Împarți ambii membri la $-{\displaystyle \frac{4}{5}}$, adică înmulțești cu $-{\displaystyle \frac{5}{4}}$: $x=$ ${\displaystyle \frac{8}{15}}\cdot (-{\displaystyle \frac{5}{4}})=$ $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.
4. Verificare la c): $-{\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot (-{\displaystyle \frac{2}{3}})=$ ${\displaystyle \frac{8}{15}}$. Corect.

Răspuns: a) $S=$ $\{-{\displaystyle \frac{5}{6}}\}$; b) $S=\{\mathrm{0,75}\}$; c) $S=$ $\{-{\displaystyle \frac{2}{3}}\}$

1. a) $x$ este scăzătorul: scăzătorul = descăzutul minus diferența. $x=$ ${\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{2}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.
2. b) $x$ este deîmpărțitul: deîmpărțitul = câtul înmulțit cu împărțitorul. $x=$ ${\displaystyle \frac{9}{4}}\cdot (-{\displaystyle \frac{2}{3}})=$ $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.
3. c) $x$ este împărțitorul: împărțitorul = deîmpărțitul împărțit la cât. $x=$ ${\displaystyle \frac{5}{6}}:(-{\displaystyle \frac{10}{3}})=$ ${\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot (-{\displaystyle \frac{3}{10}})=$ $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$.
4. Verificare la c): ${\displaystyle \frac{5}{6}}:(-{\displaystyle \frac{1}{4}})=$ ${\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot (-4)=$ $-{\displaystyle \frac{20}{6}}=$ $-{\displaystyle \frac{10}{3}}$. Corect.

Răspuns: a) ${\displaystyle \frac{1}{4}}$; b) $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$; c) $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

1. Muți $1$ în membrul drept cu semn schimbat: $-{\displaystyle \frac{3}{5}}x=$ ${\displaystyle \frac{7}{10}}-1=$ $-{\displaystyle \frac{3}{10}}$.
2. Împarți la coeficientul $-{\displaystyle \frac{3}{5}}$: $x=$ $(-{\displaystyle \frac{3}{10}})\cdot (-{\displaystyle \frac{5}{3}})$.
3. Semne egale, rezultat pozitiv; simplifici $3$ cu $3$ și $5$ cu $10$: $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
4. Verificare: $-{\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+1=$ $-{\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{10}{10}}=$ ${\displaystyle \frac{7}{10}}$. Corect.

Răspuns: $S=$ $\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}$

1. Înmulțești fiecare termen cu $10$, ca să scapi de virgulă: $4x-13=9x+2$.
2. Aduni termenii cu $x$ în stânga și numerele în dreapta, schimbând semnul celor mutați: $4x-9x=2+13$.
3. Reduci: $-5x=15$, deci $x=15:(-5)=-3$.
4. Verificare în ecuația inițială: $\mathrm{0,4}\cdot (-3)-\mathrm{1,3}=$ $-\mathrm{1,2}-\mathrm{1,3}=$ $-\mathrm{2,5}$ și $\mathrm{0,9}\cdot (-3)+\mathrm{0,2}=$ $-\mathrm{2,7}+\mathrm{0,2}=$ $-\mathrm{2,5}$. Membrii sunt egali.

Răspuns: $S=\{-3\}$

1. Numitorii sunt $3$, $4$ și $6$; c.m.m.m.c.$(3,4,6)=12$.
2. Înmulțești fiecare termen cu $12$: $12\cdot {\displaystyle \frac{x}{3}}=$ $4x$, $12\cdot {\displaystyle \frac{x}{4}}=$ $3x$ și $12\cdot (-{\displaystyle \frac{5}{6}})=$ $-10$.
3. Ecuația devine $4x-3x=-10$, adică $x=-10$.
4. Verificare: $-{\displaystyle \frac{10}{3}}+{\displaystyle \frac{10}{4}}=$ $-{\displaystyle \frac{40}{12}}+{\displaystyle \frac{30}{12}}=$ $-{\displaystyle \frac{10}{12}}=$ $-{\displaystyle \frac{5}{6}}$. Corect.

Răspuns: $S=\{-10\}$

1. c.m.m.m.c.$(3,4,2)=12$. Înmulțești fiecare termen cu $12$ și pui numărătorii în paranteze: $4(2x-1)-3(x+2)=$ $6$.
2. Desfaci parantezele. Minusul din fața lui $3(x+2)$ schimbă semnul ambilor termeni: $8x-4-3x-6=6$.
3. Calculezi în membrul stâng: $8x-3x=5x$ și $-4-6=-10$, deci $5x-10=6$, deci $5x=16$ și $x=$ ${\displaystyle \frac{16}{5}}=$ $\mathrm{3,2}$.
4. Verificare: ${\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{3,2}-1}{3}}=$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{5,4}}{3}}=$ $\mathrm{1,8}$ și ${\displaystyle \frac{\mathrm{3,2}+2}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{5,2}}{4}}=$ $\mathrm{1,3}$; $\mathrm{1,8}-\mathrm{1,3}=$ $\mathrm{0,5}=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Corect.

Răspuns: $S=$ $\left\{{\displaystyle \frac{16}{5}}\right\}$

1. Scrii numărul mixt ca fracție: $1\frac{1}{2}=$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}$.
2. Distributivitatea: ${\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}x-1$. Ecuația devine ${\displaystyle \frac{3}{2}}x-1+{\displaystyle \frac{3}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{4}}-x$.
3. Muți $-x$ în stânga și numerele în dreapta: ${\displaystyle \frac{3}{2}}x+x=$ ${\displaystyle \frac{1}{4}}+1-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.
4. În stânga, ${\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{2}{2}}x=$ ${\displaystyle \frac{5}{2}}x$; în dreapta, ${\displaystyle \frac{1}{4}}+$ ${\displaystyle \frac{4}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{2}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.
5. $x=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}:{\displaystyle \frac{5}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{5}}$. Verificare: stânga ${\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{7}{15}})+$ ${\displaystyle \frac{3}{4}}=$ $-{\displaystyle \frac{7}{10}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{20}}$, dreapta ${\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{20}}$.
6. ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ nu este număr întreg, deci soluția nu aparține lui $\mathbb{Z}$: în $\mathbb{Z}$, ecuația nu are soluții.

Răspuns: $S=$ $\left\{{\displaystyle \frac{1}{5}}\right\}$; ${\displaystyle \frac{1}{5}}\notin \mathbb{Z}$

1. Dacă $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ este soluție, egalitatea este adevărată când pui $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ în locul lui $x$: $a\cdot (-{\displaystyle \frac{2}{3}})+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{5}{6}}-(-{\displaystyle \frac{2}{3}})$.
2. Membrul drept: ${\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{4}{6}}=$ ${\displaystyle \frac{9}{6}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}$.
3. Acum necunoscuta este $a$: $-{\displaystyle \frac{2}{3}}a+{\displaystyle \frac{1}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, deci $-{\displaystyle \frac{2}{3}}a=$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=$ $1$.
4. $a=$ $1:(-{\displaystyle \frac{2}{3}})=$ $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.
5. Verificare: $(-{\displaystyle \frac{3}{2}})\cdot (-{\displaystyle \frac{2}{3}})+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}=$ $1+{\displaystyle \frac{1}{2}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, egal cu membrul drept.

Răspuns: $a=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$