ÎNMULȚIREA ȘI ÎMPĂRȚIREA NUMERELOR RAȚIONALE semn, invers și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 9 octombrie 2026

Când înmulțești două numere raționale, stabilești întâi semnul (semne egale dau plus, semne diferite dau minus), apoi înmulțești numărătorii între ei și numitorii între ei. Ca să împarți la un număr nenul, înmulțești cu inversul lui. Dacă simplifici înainte să înmulțești, lucrezi cu numere mici. Mai jos găsești inversul unui număr rațional, proprietățile înmulțirii și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Regulile înmulțirii și împărțirii în mulțimea Q

Produsul a două numere raționale. Semnul îl stabilești exact ca la numerele întregi: două numere cu același semn au produsul pozitiv, două numere cu semne diferite au produsul negativ. Apoi înmulțești fracțiile fără semn:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} =$ $\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Înainte să înmulțești, simplifici „în cruce” un numărător cu un numitor, ca să nu lucrezi cu numere mari. Un număr întreg îl scrii ca fracție cu numitorul $1$ : $6 = \frac{6}{1}$ . O fracție zecimală o poți înmulți direct, cu virgula, sau o transformi în fracție ordinară.

Mai mulți factori. Numeri factorii negativi: dacă sunt în număr par, produsul este pozitiv; dacă sunt în număr impar, produsul este negativ. Dacă unul dintre factori este $0$ , produsul este $0$ .

Inversul unui număr rațional. Două numere sunt inverse dacă produsul lor este $1$ . Inversul lui $\frac{a}{b}$ , cu $a \neq 0$ , este $\frac{b}{a}$ : întorci fracția și păstrezi semnul. De exemplu, inversul lui $- \frac{4}{9}$ este $- \frac{9}{4}$ . Numărul $0$ nu are invers.

Împărțirea. A împărți la un număr rațional nenul înseamnă a înmulți cu inversul lui. Semnul câtului se stabilește tot după regula semnelor.

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} =$ $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Împărțirea la $0$ nu are sens.

Proprietățile înmulțirii numerelor raționale.

comutativitatea și asociativitatea: poți schimba ordinea factorilor și îi poți grupa cum îți convine;
elementul neutru este $1$ : înmulțit cu $1$ , orice număr rămâne același;
orice număr rațional nenul are un invers, iar produsul lor este $1$ ;
distributivitatea față de adunare și scădere: $x \cdot (y + z) =$ $x \cdot y + x \cdot z$ . Citită invers, ea înseamnă scoaterea factorului comun.

Împărțirea nu este comutativă: $\frac{1}{2} : 4 =$ $\frac{1}{8}$ , dar $4 : \frac{1}{2} = 8$ . Cele două câturi, $\frac{1}{8}$ și $8$ , sunt numere inverse.

Exerciții rezolvate : înmulțirea și împărțirea numerelor raționale

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Întâi semnul, apoi simplificarea în cruceușor

Calculează: a) $(- \frac{3}{5}) \cdot \frac{10}{9}$ ; b) $(- \frac{7}{8}) \cdot (- \frac{4}{21})$ ; c) $6 \cdot (- \frac{5}{12})$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Semne diferite, deci produsul este negativ. Simplifici $3$ cu $9$ (rămân $1$ și $3$ ) și $10$ cu $5$ (rămân $2$ și $1$ ): $- \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} =$ $- \frac{2}{3}$ .
b) Ambii factori sunt negativi, deci produsul este pozitiv. Simplifici $7$ cu $21$ (rămân $1$ și $3$ ) și $4$ cu $8$ (rămân $1$ și $2$ ): $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} =$ $\frac{1}{6}$ .
c) Scrii $6 = \frac{6}{1}$ . Semne diferite, produs negativ. Simplifici $6$ cu $12$ (rămân $1$ și $2$ ): $- \frac{5}{2}$ .

Răspuns: a) $- \frac{2}{3}$ ; b) $\frac{1}{6}$ ; c) $- \frac{5}{2}$

EXERCIȚIUL 2Inversul fiecărui numărușor

Scrie inversul numerelor: $- \frac{4}{9}$ , $7$ , $- 1$ , $0,25$ , $- 1 \frac{1}{2}$ . Are și $0$ un invers?

Rezolvare pas cu pas

Întorci fiecare fracție și păstrezi semnul: inversul lui $- \frac{4}{9}$ este $- \frac{9}{4}$ .
$7 = \frac{7}{1}$ , deci inversul este $\frac{1}{7}$ . Inversul lui $- 1$ este chiar $- 1$ , pentru că $(- 1) \cdot (- 1) = 1$ .
$0,25 =$ $\frac{1}{4}$ , deci inversul este $4$ .
$- 1 \frac{1}{2} =$ $- \frac{3}{2}$ , deci inversul este $- \frac{2}{3}$ . Atenție: întâi transformi numărul mixt în fracție, abia apoi o întorci.
$0$ nu are invers: orice număr înmulțit cu $0$ dă $0$ , niciodată $1$ .

Răspuns: $- \frac{9}{4}$ , $\frac{1}{7}$ , $- 1$ , $4$ , $- \frac{2}{3}$ ; $0$ nu are invers

EXERCIȚIUL 3Împarți înmulțind cu inversulușor

Calculează: a) $(- \frac{5}{6}) : \frac{10}{9}$ ; b) $(- \frac{12}{7}) : (- 3)$ ; c) $8 : (- \frac{2}{3})$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $(- \frac{5}{6}) \cdot \frac{9}{10}$ . Semne diferite, rezultat negativ. Simplifici $5$ cu $10$ și $9$ cu $6$ : $- \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} =$ $- \frac{3}{4}$ .
b) Inversul lui $- 3$ este $- \frac{1}{3}$ : $(- \frac{12}{7}) \cdot (- \frac{1}{3}) =$ $\frac{12}{21} =$ $\frac{4}{7}$ (semne egale, rezultat pozitiv).
c) $8 \cdot (- \frac{3}{2}) =$ $- \frac{24}{2} =$ $- 12$ .

Răspuns: a) $- \frac{3}{4}$ ; b) $\frac{4}{7}$ ; c) $- 12$

EXERCIȚIUL 4Factori scriși cu virgulămediu

Calculează: a) $(- 0,6) \cdot 2,5$ ; b) $(- 1,2) : 0,04$ ; c) $0,75 \cdot (- \frac{8}{9})$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Semne diferite, rezultat negativ. $0,6 \cdot 2,5 =$ $1,5$ , deci produsul este $- 1,5$ .
b) Semne diferite, rezultat negativ. Înmulțești deîmpărțitul și împărțitorul cu $100$ , ca să scapi de virgulă: $1,2 : 0,04 =$ $120 : 4 =$ $30$ . Câtul este $- 30$ .
c) Aici apare o fracție care nu se scrie ușor cu virgulă, deci transformi zecimala: $0,75 =$ $\frac{3}{4}$ .
$\frac{3}{4} \cdot (- \frac{8}{9})$ : simplifici $3$ cu $9$ și $8$ cu $4$ , rezultă $- \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} =$ $- \frac{2}{3}$ .

Răspuns: a) $- 1,5$ ; b) $- 30$ ; c) $- \frac{2}{3}$

EXERCIȚIUL 5Numeri factorii negativimediu

Calculează: a) $(- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{2}{3}) \cdot (- \frac{3}{4}) \cdot (- \frac{4}{5}) \cdot (- \frac{5}{6})$ ; b) $(- \frac{9}{10}) : \frac{3}{5} \cdot (- \frac{2}{3})$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Sunt $5$ factori negativi, un număr impar, deci produsul este negativ.
Fără semne: $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}$ . Numerele $2, 3, 4, 5$ apar și sus, și jos, deci se simplifică. Rămâne $\frac{1}{6}$ , iar produsul este $- \frac{1}{6}$ .
b) Împărțirea și înmulțirea se fac în ordine, de la stânga la dreapta. Transformi împărțirea: $(- \frac{9}{10}) \cdot \frac{5}{3} \cdot (- \frac{2}{3})$ .
Doi factori negativi, deci rezultatul este pozitiv. $\frac{9 \cdot 5 \cdot 2}{10 \cdot 3 \cdot 3} =$ $\frac{90}{90} =$ $1$ .

Răspuns: a) $- \frac{1}{6}$ ; b) $1$

EXERCIȚIUL 6Distributivitatea și factorul comunmediu

a) Calculează $(- \frac{3}{4}) \cdot (\frac{8}{9} - \frac{4}{3})$ în două moduri: întâi paranteza, apoi cu distributivitatea. b) Calculează cât mai simplu $(- \frac{5}{7}) \cdot \frac{13}{11} +$ $(- \frac{5}{7}) \cdot (- \frac{2}{11})$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Primul mod: $\frac{8}{9} - \frac{4}{3} =$ $\frac{8}{9} - \frac{12}{9} =$ $- \frac{4}{9}$ , iar $(- \frac{3}{4}) \cdot (- \frac{4}{9}) =$ $\frac{12}{36} =$ $\frac{1}{3}$ .
Al doilea mod: înmulțești $- \frac{3}{4}$ cu fiecare termen. $(- \frac{3}{4}) \cdot \frac{8}{9} =$ $- \frac{2}{3}$ și $(- \frac{3}{4}) \cdot (- \frac{4}{3}) =$ $1$ .
Aduni: $- \frac{2}{3} + 1 =$ $\frac{1}{3}$ . Ambele moduri dau același rezultat.
b) Factorul $- \frac{5}{7}$ apare în ambii termeni, deci îl scoți factor comun: $(- \frac{5}{7}) \cdot (\frac{13}{11} - \frac{2}{11})$ .
Paranteza este $\frac{11}{11} = 1$ , iar $1$ este element neutru: rezultatul este $- \frac{5}{7}$ .

Răspuns: a) $\frac{1}{3}$ ; b) $- \frac{5}{7}$

EXERCIȚIUL 7Produs lung în care aproape totul se simplificăgreu

Calculează: a) $P =$ $(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3})$ $\cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot \dots \cdot (1 - \frac{1}{10})$ ; b) $Q =$ $(\frac{1}{2} - 1) \cdot (\frac{1}{3} - 1)$ $\cdot \dots \cdot (\frac{1}{10} - 1)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Calculezi fiecare paranteză: $1 - \frac{1}{2} =$ $\frac{1}{2}$ , $1 - \frac{1}{3} =$ $\frac{2}{3}$ , $1 - \frac{1}{4} =$ $\frac{3}{4}$ , …, $1 - \frac{1}{10} =$ $\frac{9}{10}$ .
$P =$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{9}{10}$ . Fiecare numitor se simplifică cu numărătorul fracției următoare.
Rămâne doar primul numărător și ultimul numitor: $P = \frac{1}{10}$ .
b) Fiecare paranteză din $Q$ este opusa parantezei corespunzătoare din $P$ : $\frac{1}{2} - 1 =$ $- \frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3} - 1 =$ $- \frac{2}{3}$ și așa mai departe.
De la $2$ la $10$ sunt $9$ paranteze, deci $9$ factori negativi, un număr impar. Valoarea fără semn este tot $\frac{1}{10}$ , iar semnul este minus: $Q = - \frac{1}{10}$ .

Răspuns: a) $P = \frac{1}{10}$ ; b) $Q = - \frac{1}{10}$

EXERCIȚIUL 8Expresie cu rezultat număr întreggreu

Arată că numărul $E =$ $(- 1 \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) : (\frac{5}{6} - 1 \frac{1}{4}) \cdot (- 1,5)$ este număr întreg.

Rezolvare pas cu pas

Prima paranteză: $- 1 \frac{1}{2} =$ $- \frac{3}{2}$ , deci $- \frac{9}{6} + \frac{4}{6} =$ $- \frac{5}{6}$ .
A doua paranteză: $1 \frac{1}{4} =$ $\frac{5}{4}$ , deci $\frac{10}{12} - \frac{15}{12} =$ $- \frac{5}{12}$ .
Împărțirea: $(- \frac{5}{6}) : (- \frac{5}{12}) =$ $(- \frac{5}{6}) \cdot (- \frac{12}{5}) =$ $2$ (semne egale, rezultat pozitiv).
Înmulțirea: $2 \cdot (- 1,5) =$ $- 3$ .
Deci $E = - 3$ , care este număr întreg (negativ, deci nu natural).

Răspuns: $E =$ $- 3 \in ℤ$

Cum îți organizezi calculul la produse și câturi de numere raționale

Vezi semnul „:”? Îl transformi imediat în „ $\cdot$ ” și întorci împărțitorul; restul calculului este o înmulțire.
Ai mulți factori? Stabilești semnul o singură dată, numărând factorii negativi, și abia apoi simplifici numerele fără semn.
Același factor apare în doi termeni adunați sau scăzuți? Îl scoți factor comun, iar paranteza care rămâne iese adesea un număr simplu.

Greșeli frecvente la înmulțirea și împărțirea numerelor raționale

Aduci fracțiile la același numitor înainte să le înmulțești. La înmulțire nu ai nevoie de numitor comun: înmulțești direct numărătorii între ei și numitorii între ei, după ce simplifici.
Schimbi semnul când scrii inversul. Inversul lui $- \frac{4}{9}$ este $- \frac{9}{4}$ , nu $\frac{9}{4}$ . Produsul a două numere inverse este $+ 1$ , deci ele au mereu același semn.
Întorci deîmpărțitul în loc de împărțitor. La $8 : (- \frac{2}{3})$ se inversează doar numărul la care împarți: $8 \cdot (- \frac{3}{2})$ . Dacă întorci primul număr, obții $\frac{1}{8} \cdot (- \frac{2}{3})$ , adică altceva.

Exersează : înmulțirea și împărțirea numerelor raționale

Fișă de lucru: Înmulțirea și împărțirea numerelor raționale, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Numere raționale, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Înmulțirea și împărțirea numerelor raționale, partea a 2-aclasa a VI-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre înmulțirea și împărțirea numerelor raționale

De ce nu are 0 invers?

Inversul unui număr este numărul cu care îl înmulțești ca să obții $1$ . Orice număr înmulțit cu $0$ dă $0$ , deci nu există un astfel de număr pentru $0$ . Din același motiv nu poți împărți la $0$ .

Ce fac când am și înmulțiri, și împărțiri, fără paranteze?

Le faci în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta, pentru că sunt operații de același ordin. Cel mai comod transformi toate împărțirile în înmulțiri cu inversul, apoi simplifici totul deodată.

Pot simplifica un numărător cu numitorul altei fracții?

Da, la înmulțire poți simplifica orice numărător cu orice numitor, chiar dacă sunt în fracții diferite. La împărțire faci asta abia după ce ai întors împărțitorul.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este rezultatul înmulțirii $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$ ?
2. Care este rezultatul împărțirii $\frac{3}{5} : \frac{2}{7}$ ?
3. Proprietatea de comutativitate a înmulțirii numerelor raționale spune că:
4. Care este elementul neutru la înmulțirea numerelor raționale?
5. Calculează: $\frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{3}{4})$ folosind proprietatea distributivă.

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 9 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

COMPARAREA NUMERELOR RAȚIONALE fracții, zecimale și numere negative - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 6: Mulțimea numerelor raționale

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR RAȚIONALE cu fracții, zecimale și numere mixte - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 6: Mulțimea numerelor raționale

PUTEREA UNUI NUMĂR RAȚIONAL cu exponent întreg - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 6: Mulțimea numerelor raționale

ECUAȚII ÎN MULȚIMEA NUMERELOR RAȚIONALE cu fracții și zecimale - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 6: Mulțimea numerelor raționale

PERIMETRUL TRIUNGHIULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 7: Triunghiul

SUMA UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI: teoremă și unghiul exterior - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună