INECUAȚII ÎN MULȚIMEA NUMERELOR ÎNTREGI și mulțimea soluțiilor - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 9 octombrie 2026

O inecuație în mulțimea numerelor întregi se rezolvă ca o ecuație, cu o singură regulă în plus: dacă înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă. Răspunsul nu mai este un singur număr, ci o mulțime de numere întregi. Mai jos găsești regulile, cum scrii mulțimea soluțiilor și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum rezolvi o inecuație cu numere întregi

O inecuație este o inegalitate în care apare o necunoscută, de exemplu $3 x + 2 \leq 11$ . A o rezolva în $ℤ$ înseamnă a găsi toate numerele întregi care, puse în locul lui $x$ , fac inegalitatea adevărată. Pentru exemplul de mai sus: $3 x \leq 9$ , deci $x \leq 3$ , iar soluțiile sunt $3, 2, 1, 0, - 1, - 2$ și așa mai departe, la nesfârșit spre stânga. Pe axă, soluțiile întregi se marchează cu puncte pline, nu cu o linie continuă, pentru că între două numere întregi consecutive nu mai există altă soluție întreagă.

Soluțiile întregi ale inecuației

3 x + 2 \leq 11

: toate numerele întregi până la

3

inclusiv; punctele continuă spre stânga, la nesfârșit, iar

4

și

5

nu sunt soluții.

$S =$ ${x \in ℤ | x \leq 3} =$ ${\dots,$ $- 2,$ $- 1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3}$

Ce ai voie să faci fără să schimbi sensul.

Să aduni sau să scazi același număr în ambii membri. Practic, un termen trece în celălalt membru cu semnul schimbat: din $x + 7 \leq 3$ obții $x \leq 3 - 7$ .
Să înmulțești sau să împarți ambii membri cu un număr pozitiv: din $4 x > - 12$ obții $x > - 3$ .

Când se schimbă sensul. Dacă înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr negativ, semnul se întoarce: $<$ devine $>$ , $\leq$ devine $\geq$ și invers. Motivul se vede pe un exemplu simplu: $2 < 5$ , dar după înmulțirea cu $- 1$ avem $- 2 > - 5$ , pentru că pe axă ordinea numerelor se oglindește față de $0$ .

Cum scrii răspunsul. Mulțimea soluțiilor se notează de obicei cu $S$ . Dacă e infinită, o scrii cu proprietatea, ${x \in ℤ | x > - 4}$ , sau cu puncte de suspensie, ${- 3,$ $- 2,$ $- 1,$ $\dots}$ . Dacă enunțul cere soluțiile naturale sau mai pune o condiție, mulțimea devine finită și scrii toate elementele. Atenție la capăt: la $<$ și $>$ capătul nu este soluție, la $\leq$ și $\geq$ este.

Împărțiri care nu se fac exact. Din $4 x < 18$ nu poți împărți exact la $4$ . Te gândești la multiplii lui $4$ mai mici decât $18$ : cel mai mare este $16 = 4 \cdot 4$ , deci $x \leq 4$ .

Exerciții rezolvate : inecuațiile în mulțimea numerelor întregi

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Care numere din mulțime sunt soluții?ușor

Se dă mulțimea $A =$ ${- 4,$ $- 1,$ $0,$ $2,$ $5}$ . Care dintre elementele lui $A$ sunt soluții ale inecuației $3 x - 4 < 2$ ?

Rezolvare pas cu pas

Înlocuiești pe rând fiecare număr și verifici dacă inegalitatea este adevărată.
$x = - 4$ : $3 \cdot (- 4) - 4 =$ $- 16$ , iar $- 16 < 2$ este adevărat. $x = - 1$ : $- 3 - 4 = - 7 < 2$ , adevărat.
$x = 0$ : $0 - 4 = - 4 < 2$ , adevărat. $x = 2$ : $6 - 4 = 2$ , iar $2 < 2$ este fals, pentru că inegalitatea este strictă.
$x = 5$ : $15 - 4 = 11 < 2$ , fals.
Verificare prin rezolvare: $3 x < 6$ , deci $x < 2$ . Din $A$ se potrivesc exact $- 4$ , $- 1$ și $0$ .

Răspuns: $- 4$ , $- 1$ și $0$

EXERCIȚIUL 2Termenul trece în celălalt membruușor

Rezolvă în $ℤ$ : a) $x + 7 \leq 3$ ; b) $x - 5 > - 9$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Treci $7$ în membrul drept cu semnul schimbat: $x \leq 3 - 7$ , adică $x \leq - 4$ .
Sensul rămâne același, pentru că ai scăzut același număr din ambii membri. $S =$ ${\dots,$ $- 6,$ $- 5,$ $- 4}$ .
b) Treci $- 5$ în membrul drept: $x > - 9 + 5$ , adică $x > - 4$ .
Inegalitatea este strictă, deci $- 4$ nu este soluție. $S =$ ${- 3,$ $- 2,$ $- 1,$ $0,$ $\dots}$ .

Răspuns: a) $S =$ ${x \in ℤ | x \leq - 4}$ ; b) $S =$ ${x \in ℤ | x > - 4}$

EXERCIȚIUL 3Împarți la un număr negativ: semnul se întoarceușor

Rezolvă în $ℤ$ : a) $4 x > - 12$ ; b) $- 3 x \geq 15$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Împarți ambii membri la $4$ , număr pozitiv, deci sensul rămâne: $x > - 3$ .
b) Împarți ambii membri la $- 3$ , număr negativ, deci $\geq$ devine $\leq$ : $x \leq 15 : (- 3)$ , adică $x \leq - 5$ .
Verificare la b): $x = - 5$ dă $- 3 \cdot (- 5) =$ $15 \geq 15$ , adevărat; $x = - 4$ dă $12 \geq 15$ , fals. Deci soluțiile sunt la stânga lui $- 5$ , inclusiv $- 5$ .

Răspuns: a) $S =$ ${- 2,$ $- 1,$ $0,$ $\dots}$ ; b) $S =$ ${\dots,$ $- 7,$ $- 6,$ $- 5}$

EXERCIȚIUL 4Necunoscuta în ambii membrimediu

Rezolvă în $ℤ$ inecuația $2 x + 9 > 5 x - 6$ .

Rezolvare pas cu pas

Aduni termenii cu $x$ în stânga și numerele în dreapta, cu semnele schimbate: $2 x - 5 x > - 6 - 9$ .
Reduci termenii: $- 3 x > - 15$ .
Împarți la $- 3$ , număr negativ, deci $>$ devine $<$ : $x < 5$ .
Verificare: $x = 4$ dă $17 > 14$ , adevărat; $x = 5$ dă $19 > 19$ , fals.

Răspuns: $S =$ ${x \in ℤ | x < 5} =$ ${\dots,$ $2,$ $3,$ $4}$

EXERCIȚIUL 5Inecuație cu parantezemediu

Rezolvă în $ℤ$ inecuația $3 (x - 2) - (x + 4) \geq 2 (x - 7) + x$ .

Rezolvare pas cu pas

Desfaci parantezele. În stânga: $3 x - 6 - x - 4 =$ $2 x - 10$ ; minusul din fața celei de-a doua paranteze schimbă ambele semne.
În dreapta: $2 x - 14 + x =$ $3 x - 14$ . Inecuația devine $2 x - 10 \geq 3 x - 14$ .
Separi termenii: $2 x - 3 x \geq - 14 + 10$ , adică $- x \geq - 4$ .
Înmulțești cu $- 1$ și schimbi sensul: $x \leq 4$ .

Răspuns: $S =$ ${x \in ℤ | x \leq 4}$

EXERCIȚIUL 6Soluții întregi față de soluții naturalemediu

Se dă inecuația $- 2 x + 5 > - 7$ . a) Rezolv-o în $ℤ$ . b) Scrie mulțimea soluțiilor ei naturale. c) Care este cea mai mare soluție?

Rezolvare pas cu pas

a) $- 2 x > - 7 - 5$ , adică $- 2 x > - 12$ . Împarți la $- 2$ și schimbi sensul: $x < 6$ .
În $ℤ$ mulțimea este infinită: ${\dots, 3, 4, 5}$ .
b) Numerele naturale încep de la $0$ , deci păstrezi doar soluțiile $\geq 0$ : ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ .
c) Cea mai mare soluție este $5$ , în ambele cazuri. O cea mai mică soluție există doar la b), unde este $0$ .

Răspuns: a) ${x \in ℤ | x < 6}$ ; b) ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ ; c) $5$

EXERCIȚIUL 7Când împărțirea nu se face exactgreu

Rezolvă în $ℤ$ : a) $4 x < 18$ ; b) $- 5 x \leq 12$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $18$ nu se împarte exact la $4$ . Cauți multiplii lui $4$ mai mici decât $18$ : $16 = 4 \cdot 4$ încă merge, $20 = 4 \cdot 5$ nu.
Deci $4 x < 18$ are loc exact pentru $x \leq 4$ .
b) Înmulțești cu $- 1$ și schimbi sensul: $5 x \geq - 12$ .
Multiplii lui $5$ care sunt $\geq - 12$ : $- 10 = 5 \cdot (- 2)$ merge, $- 15 = 5 \cdot (- 3)$ nu. Deci $x \geq - 2$ .
Verificare la b): $x = - 2$ dă $- 5 \cdot (- 2) =$ $10 \leq 12$ , adevărat; $x = - 3$ dă $15 \leq 12$ , fals.

Răspuns: a) $S =$ ${\dots,$ $2,$ $3,$ $4}$ ; b) $S =$ ${- 2,$ $- 1,$ $0,$ $\dots}$

EXERCIȚIUL 8Două condiții în același timpgreu

Află numerele întregi care verifică simultan inecuațiile $2 x + 3 > - 9$ și $9 - x \geq 7$ . Câte sunt și cât este suma lor?

Rezolvare pas cu pas

Prima inecuație: $2 x > - 9 - 3$ , adică $2 x > - 12$ , deci $x > - 6$ .
A doua: $- x \geq 7 - 9$ , adică $- x \geq - 2$ . Înmulțești cu $- 1$ și schimbi sensul: $x \leq 2$ .
Numerele care verifică ambele condiții formează intersecția celor două mulțimi: $- 6 < x \leq 2$ , adică ${- 5,$ $- 4,$ $- 3,$ $- 2,$ $- 1,$ $0,$ $1,$ $2}$ .
Sunt $8$ numere. La sumă, numerele opuse se anulează: $(- 2) + 2 = 0$ , $(- 1) + 1 = 0$ . Rămân $(- 5) + (- 4) + (- 3) =$ $- 12$ .

Răspuns: ${- 5,$ $- 4,$ $- 3,$ $- 2,$ $- 1,$ $0,$ $1,$ $2}$ , $8$ numere, suma $- 12$

Cum recunoști pasul la care se schimbă sensul

Te uiți la ultimul pas, cel în care scapi de coeficientul lui $x$ . Dacă acel coeficient este negativ, ca în $- 3 x > - 15$ , sensul se schimbă.
Dacă doar treci termeni dintr-un membru în altul, sensul rămâne neschimbat, oricât de multe minusuri ar apărea.
Enunțul spune „soluții naturale”, „cea mai mare soluție” sau dă o mulțime de verificat? Rezolvi întâi în $ℤ$ , apoi păstrezi doar numerele cerute.

Greșeli frecvente la inecuații în mulțimea numerelor întregi

Uiți să schimbi sensul la împărțirea cu un număr negativ. Din $- 3 x > - 15$ nu rezultă $x > 5$ . Corect este $x < 5$ ; verifică cu $x = 6$ : $- 18 > - 15$ este fals.
Schimbi sensul când doar muți un termen. Din $x - 5 > - 9$ obții $x > - 4$ . Mutarea unui termen nu înmulțește nimic cu un număr negativ, deci sensul rămâne.
Pui capătul în mulțime la o inegalitate strictă. La $x < 5$ numărul $5$ nu este soluție, deci ultima soluție întreagă este $4$ . Doar la $\leq$ și $\geq$ capătul intră în mulțime.

Exersează : inecuațiile în mulțimea numerelor întregi

Fișă de lucru: Inecuații în mulțimea numerelor întregi, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Numere întregi, clasa a VI-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Ecuații în mulțimea numerelor întregi, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre inecuații în mulțimea numerelor întregi

De ce se schimbă semnul inecuației când împart la un număr negativ?

Pentru că înmulțirea cu un număr negativ inversează ordinea pe axă. $2 < 5$ , dar $- 2 > - 5$ : numărul care era mai mare ajunge mai la stânga.

Cum scriu soluția dacă sunt o infinitate de numere?

Scrii mulțimea cu o proprietate, de exemplu ${x \in ℤ | x \leq - 4}$ , sau cu puncte de suspensie, ${\dots,$ $- 6,$ $- 5,$ $- 4}$ . Ambele scrieri sunt corecte.

Pot face proba la o inecuație?

Nu poți încerca toate soluțiile, dar poți verifica două numere: ultima soluție, care trebuie să verifice inecuația, și primul număr de după ea, care nu trebuie să o verifice.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele valori întregi este soluție a inecuației $x + 3 > 1$ ?
2. Mulțimea soluțiilor întregi ale inecuației $x - 2 \leq 1$ cu $x \in ℤ$ este formată din numerele întregi care satisfac:
3. Care este cea mai mare valoare întreagă care verifică inecuația $2 x < 6$ ?
4. Câte numere întregi verifică inecuația $- 1 \leq x \leq 2$ ?
5. Care dintre valorile întregi $- 3, - 1, 0, 2$ NU este soluție a inecuației $3 x + 1 \geq - 2$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 9 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

ORDINEA EFECTUĂRII OPERAȚIILOR CU NUMERE ÎNTREGI semne, puteri și paranteze - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

ECUAȚII ÎN MULȚIMEA NUMERELOR ÎNTREGI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

INECUAȚII CU MODUL - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 5: Număr întreg

ECUAȚII ÎN ENUNȚURI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 5: Număr întreg

NUMERE RAȚIONALE, definiție și operații - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 6: Mulțimea numerelor raționale

COMPARAREA NUMERELOR RAȚIONALE fracții, zecimale și numere negative - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 6: Mulțimea numerelor raționale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună