INTERVALE DE NUMERE REALE notație și reprezentare pe axă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 5 octombrie 2026

Un interval de numere reale conține toate numerele reale dintre două capete: paranteza dreaptă $[]$ înseamnă că numărul de la capăt face parte din interval, paranteza rotundă $()$ înseamnă că nu face parte. Mai jos găsești tipurile de intervale, legătura cu inegalitățile, reprezentarea pe axă și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Tipuri de intervale și reprezentarea lor pe axă

Un interval este o mulțime de numere reale definită printr-o inegalitate, fără „goluri”: dacă două numere sunt în interval, orice număr real dintre ele este și el în interval. De aceea un interval are o infinitate de elemente și nu se poate scrie prin enumerare. Pe axă, capătul inclus se marchează cu un punct plin, iar capătul exclus cu un cerc gol.

Intervalul închis

[- 1, 3]

, cu capetele incluse (puncte pline), și intervalul nemărginit

(1, + \infty)

, cu

1

exclus (cerc gol).

$[a, b] =$ ${x \in ℝ | a \leq x \leq b}$

Intervale mărginite (cu $a < b$ ):

închis: $[a, b]$ , adică $a \leq x \leq b$ , ambele capete incluse;
deschis: $(a, b)$ , adică $a < x < b$ , niciun capăt inclus;
închis la stânga și deschis la dreapta: $[a, b)$ , adică $a \leq x < b$ ;
deschis la stânga și închis la dreapta: $(a, b]$ , adică $a < x \leq b$ .

Intervale nemărginite: $[a, + \infty)$ pentru $x \geq a$ , $(a, + \infty)$ pentru $x > a$ , $(- \infty, b]$ pentru $x \leq b$ și $(- \infty, b)$ pentru $x < b$ . Mulțimea tuturor numerelor reale se scrie $ℝ =$ $(- \infty, + \infty)$ . Simbolurile $- \infty$ și $+ \infty$ nu sunt numere, deci lângă ele paranteza este mereu rotundă.

În figură, intervalul $[- 1, 3]$ are ambele capete marcate cu punct plin, iar intervalul $(1, + \infty)$ pornește dintr-un cerc gol și continuă spre dreapta fără capăt.

Ce conține un interval. Numerele întregi dintr-un interval se pot număra, dar intervalul are și toate numerele raționale și iraționale dintre capete: $\sqrt{2}$ și $1,5$ sunt amândouă în $[1, 2]$ . Ca să afli dacă un număr aparține unui interval, îl compari cu capetele și te uiți la paranteze. Operațiile cu intervale (reuniune, intersecție, diferență) le înveți în lecțiile următoare.

Exerciții rezolvate : intervalele de numere reale

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Din inegalități în intervaleușor

Scrie ca intervale mulțimile: a) ${x \in ℝ | - 2 \leq x \leq 5}$ ; b) ${x \in ℝ | 1 < x < 7}$ ; c) ${x \in ℝ | 0 \leq x < 4}$ ; d) ${x \in ℝ | x > - 3}$ ; e) ${x \in ℝ | x \leq 2,5}$ .

Rezolvare pas cu pas

Semnul $\leq$ sau $\geq$ îți dă paranteză dreaptă la capătul respectiv; semnul $<$ sau $>$ îți dă paranteză rotundă.
a) Ambele inegalități sunt nestricte: $[- 2, 5]$ . b) Ambele sunt stricte: $(1, 7)$ .
c) $0$ este inclus, $4$ nu: $[0, 4)$ .
d) Nu există capăt la dreapta, deci intervalul merge până la $+ \infty$ : $(- 3, + \infty)$ .
e) Nu există capăt la stânga: $(- \infty; 2,5]$ . Când un capăt are virgulă zecimală, poți separa capetele cu punct și virgulă, ca să nu le confunzi.

Răspuns: a) $[- 2, 5]$ ; b) $(1, 7)$ ; c) $[0, 4)$ ; d) $(- 3, + \infty)$ ; e) $(- \infty; 2,5]$

EXERCIȚIUL 2Din intervale în inegalitățiușor

Scrie cu inegalități și precizează tipul fiecărui interval: a) $(- 4, 1]$ ; b) $[0, + \infty)$ ; c) $(- \infty, - 1)$ ; d) $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $- 4 < x \leq 1$ : interval mărginit, deschis la stânga și închis la dreapta.
b) $x \geq 0$ : interval nemărginit la dreapta, închis la stânga. Sunt toate numerele reale nenegative.
c) $x < - 1$ : interval nemărginit la stânga, deschis la dreapta.
d) $- \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}$ : interval închis, mărginit. Capetele pot fi și numere iraționale.

Răspuns: a) $- 4 < x \leq 1$ ; b) $x \geq 0$ ; c) $x < - 1$ ; d) $- \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}$

EXERCIȚIUL 3Citești intervalul de pe axăușor

Pe axa numerelor sunt reprezentate mulțimile $A$ (rândul de sus) și $B$ (rândul de jos). Scrie fiecare mulțime ca interval și cu inegalități.

Rezolvare pas cu pas

$A$ începe la $- 2$ cu cerc gol, deci $- 2$ nu este inclus, și se termină la $4$ cu punct plin, deci $4$ este inclus.
Deci $A = (- 2, 4]$ , adică $- 2 < x \leq 4$ .
$B$ începe la $1$ cu punct plin și continuă spre dreapta până la marginea desenului, deci nu are capăt la dreapta.
Deci $B = [1, + \infty)$ , adică $x \geq 1$ .

Răspuns: $A = (- 2, 4]$ , adică $- 2 < x \leq 4$ ; $B = [1, + \infty)$ , adică $x \geq 1$

EXERCIȚIUL 4Ce numere aparțin intervalului?mediu

Fie intervalul $I = (- \sqrt{5}, 3]$ . Stabilește care dintre numerele $- 3$ , $- 2$ , $- \sqrt{5}$ , $0$ , $\sqrt{7}$ , $3$ , $π$ aparțin lui $I$ .

Rezolvare pas cu pas

Încadrezi capătul stâng: $4 < 5 < 9$ , deci $2 < \sqrt{5} < 3$ și $- 3 < - \sqrt{5} < - 2$ .
$- 3 < - \sqrt{5}$ , deci $- 3 \notin I$ . $- 2 > - \sqrt{5}$ și $- 2 \leq 3$ , deci $- 2 \in I$ . $- \sqrt{5}$ este capătul exclus (paranteză rotundă), deci $- \sqrt{5} \notin I$ .
$0 \in I$ . Pentru $\sqrt{7}$ : $7 < 9$ , deci $\sqrt{7} < 3$ și $\sqrt{7} \in I$ .
$3$ este capătul inclus (paranteză dreaptă), deci $3 \in I$ . În schimb $π \approx 3,14 > 3$ , deci $π \notin I$ .

Răspuns: aparțin: $- 2$ , $0$ , $\sqrt{7}$ , $3$ ; nu aparțin: $- 3$ , $- \sqrt{5}$ , $π$

EXERCIȚIUL 5Numerele întregi dintr-un intervalmediu

Scrie numerele întregi din fiecare interval și spune câte sunt: a) $[- 3, 2)$ ; b) $(- \sqrt{10}, \sqrt{10})$ . c) Scrie numerele naturale din intervalul $(- 1,5; 4]$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $- 3$ este inclus, $2$ nu: $- 3, - 2, - 1, 0, 1$ , adică $5$ numere întregi.
b) $9 < 10 < 16$ , deci $3 < \sqrt{10} < 4$ . Numerele întregi strict între $- \sqrt{10}$ și $\sqrt{10}$ sunt $- 3, - 2, \dots, 2, 3$ , adică $7$ numere.
c) Numerele naturale încep de la $0$ . Dintre ele, cele cel mult egale cu $4$ sunt $0, 1, 2, 3, 4$ .
Observă că un interval mărginit conține doar câteva numere întregi, dar o infinitate de numere reale.

Răspuns: a) ${- 3, - 2, - 1, 0, 1}$ , 5 numere; b) ${- 3, \dots, 3}$ , 7 numere; c) ${0, 1, 2, 3, 4}$

EXERCIȚIUL 6Cel mai mic și cel mai mare elementmediu

Precizează, dacă există, cel mai mic și cel mai mare element al fiecărui interval: a) $[2, 6)$ ; b) $(- \infty, 0]$ ; c) $(1, 3)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $2$ face parte din interval și orice alt element este mai mare decât el, deci $2$ este cel mai mic element.
Cel mai mare nu există: $6$ nu aparține intervalului, iar pentru orice număr din interval, de exemplu $5,9$ , găsești unul mai mare, $5,99$ , tot mai mic decât $6$ .
b) Cel mai mare element este $0$ (inclus). Cel mai mic nu există, pentru că intervalul continuă la nesfârșit spre $- \infty$ .
c) Niciun capăt nu este inclus, deci intervalul nu are nici cel mai mic, nici cel mai mare element.

Răspuns: a) minimul $2$ , fără maxim; b) maximul $0$ , fără minim; c) nici minim, nici maxim

EXERCIȚIUL 7Interval sau mulțime finită?greu

Scrie mai simplu mulțimile: $A =$ ${x \in ℝ | 3 \geq x > - 1}$ , $B =$ ${x \in ℝ | x \geq - 2 și x < 5}$ , $C =$ ${x \in ℤ | - 2 < x \leq 3}$ . Care dintre ele nu este interval?

Rezolvare pas cu pas

$A$ : citești inegalitatea de la dreapta la stânga, ca să ai capătul mic în stânga: $- 1 < x \leq 3$ . Deci $A = (- 1, 3]$ .
$B$ : cele două condiții trebuie îndeplinite simultan, adică $- 2 \leq x < 5$ . Deci $B = [- 2, 5)$ .
$C$ : aceleași inegalități ca la un interval, dar $x$ este număr întreg. Rezultă doar $C =$ ${- 1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3}$ .
$C$ are $5$ elemente și „goluri” între ele (de exemplu $0,5 \notin C$ ), deci nu este interval. Mulțimea în care ia valori $x$ schimbă complet răspunsul.

Răspuns: $A = (- 1, 3]$ , $B = [- 2, 5)$ , $C =$ ${- 1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3}$ ; $C$ nu este interval

EXERCIȚIUL 8Un interval care depinde de un parametrugreu

Determină numerele reale $a$ pentru care $4 \in [a, a + 3)$ . Câte dintre aceste numere sunt întregi?

Rezolvare pas cu pas

$4 \in [a, a + 3)$ înseamnă $a \leq 4 < a + 3$ : capătul stâng inclus, capătul drept exclus.
Din $a \leq 4$ ai prima condiție. Din $4 < a + 3$ , scăzând $3$ din ambii membri, obții $1 < a$ .
Ambele condiții deodată: $1 < a \leq 4$ , adică $a \in (1, 4]$ .
Numerele întregi din $(1, 4]$ sunt $2, 3, 4$ . Verificare pentru $a = 4$ : $4 \in [4, 7)$ , adevărat; pentru $a = 1$ : $4 \notin [1, 4)$ , deci $1$ este exclus corect.

Răspuns: $a \in (1, 4]$ ; $3$ numere întregi: $2$ , $3$ , $4$

Cum lucrezi cu intervalele de numere reale

Pentru fiecare capăt te întrebi un singur lucru: este inclus sau nu? Inclus înseamnă $\leq$ sau $\geq$ , paranteză dreaptă, punct plin pe axă; exclus înseamnă $<$ sau $>$ , paranteză rotundă, cerc gol.
Dacă nu există limită într-o parte, intervalul este nemărginit acolo și scrii $- \infty$ sau $+ \infty$ , mereu cu paranteză rotundă.
Uită-te la mulțimea din care ia valori $x$ : pentru $x \in ℝ$ răspunsul este un interval, pentru $x \in ℕ$ sau $x \in ℤ$ enumeri elementele.

Greșeli frecvente la intervalele de numere reale

Pui paranteză dreaptă lângă infinit. $[2, + \infty]$ este greșit: $+ \infty$ nu este număr și nu poate fi inclus. Corect este $[2, + \infty)$ .
Scrii capetele în ordine inversă. $(5, - 1)$ nu este un interval corect scris. Capătul mai mic stă întotdeauna în stânga: $(- 1, 5)$ . Atenție mai ales la inegalitățile citite de la dreapta la stânga, ca $3 \geq x > - 1$ .
Crezi că intervalul conține doar numere întregi. $(1, 3)$ nu înseamnă doar numărul $2$ . Conține și $1,5$ , $\sqrt{2}$ , $2,99$ și o infinitate de alte numere reale.

Exersează : intervalele de numere reale

Fișă de lucru: Intervale numerice și reprezentarea lor pe axă, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Intervale, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Intervale numerice și reprezentarea pe axă, partea a II-aclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre intervalele de numere reale

Ce diferență este între un interval închis și unul deschis?

La $[a, b]$ capetele $a$ și $b$ fac parte din interval, la $(a, b)$ nu. În rest, ambele conțin toate numerele reale dintre $a$ și $b$ .

De ce la infinit se pune mereu paranteză rotundă?

Pentru că $+ \infty$ și $- \infty$ nu sunt numere reale, ci arată doar că intervalul nu are capăt în acea parte. Un element care nu există nu poate fi inclus în mulțime.

Câte elemente are un interval?

Orice interval $(a, b)$ cu $a < b$ are o infinitate de elemente, chiar dacă este foarte scurt. De aceea intervalele nu se scriu prin enumerare, ci cu paranteze sau cu inegalități.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele notații reprezintă intervalul închis de la 2 la 7 (ambele capete incluse)?
2. Pe axa numerelor, intervalul $(3, 8]$ se reprezintă cu:
3. Ce numere reale $x$ aparțin intervalului $[- 1, 4)$ ?
4. Intervalul $(- \infty, 5]$ conține:
5. Care interval este reprezentat pe axa numerelor prin două cercuri goale la $- 2$ și la $6$ , cu segmentul dintre ele colorat?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 5 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

OPERAȚII CU INTERVALE pe axa numerelor - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 1: Intervale de numere reale

INECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b > 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 1: Intervale de numere reale

CALCUL ALGEBRIC cu litere, termeni asemenea și paranteze - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT: pătratul sumei, al diferenței și diferența de pătrate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

DESCOMPUNEREA ÎN FACTORI factor comun, formule, grupare - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

VALOAREA MINIMĂ A UNEI EXPRESII și valoarea maximă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună