MEDIA GEOMETRICĂ, definiție și formulă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Definiție. Media geometrică a două numere reale pozitive $a$ și $b$ este numărul $g$ pentru care $a$, $g$, $b$ formează, în această ordine, un șir în care fiecare termen se obține din precedentul prin înmulțire cu același factor. Formula:

$$g=\sqrt{a\cdot b}$$

Numerele $a$ și $b$ trebuie să fie pozitive, altfel produsul $a\cdot b$ poate fi negativ, iar radicalul dintr-un număr negativ nu există în mulțimea numerelor reale.

Diferența față de media aritmetică. Media aritmetică ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ „împarte" diferența dintre numere prin adunare. Media geometrică „împarte" raportul dintre numere prin înmulțire: ${\displaystyle \frac{g}{a}}=$ ${\displaystyle \frac{b}{g}}$, adică $g$ se raportează la $a$ la fel cum $b$ se raportează la $g$. Pentru două numere pozitive diferite, media geometrică este întotdeauna mai mică sau egală cu media aritmetică.

Formula inversă. Dacă știi media geometrică $g$ și unul dintre numere, de exemplu $a$, afli celălalt cu $b={\displaystyle \frac{g^2}{a}}$.

Media geometrică apare și în geometrie: în triunghiul dreptunghic, înălțimea din unghiul drept este media geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză (teorema înălțimii), iar fiecare catetă este media geometrică dintre ipotenuză și proiecția ei (teorema catetei).

Numele „geometrică" vine tocmai din faptul că, într-un dreptunghi cu laturile $a$ și $b$, latura pătratului cu aceeași arie ca dreptunghiul este exact media geometrică a lui $a$ și $b$: $\ell =$ $\sqrt{a\cdot b}$, pentru că aria pătratului este ${\ell }^2=a\cdot b$. Media geometrică „echilibrează" un dreptunghi până îl transformă, ca arie, într-un pătrat.