MULȚIMI DEFINITE PRINTR-O PROPRIETATE comună a elementelor - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 12 octombrie 2026

O mulțime definită printr-o proprietate se scrie $A =$ ${x \in M | P (x)}$ : mulțimea $M$ îți spune din ce numere alegi, iar proprietatea $P$ îți spune care dintre ele rămân. Mai jos găsești cum treci de la proprietate la enumerare și invers, de ce contează dacă scrie $ℕ$ , $ℤ$ , $ℚ$ sau $ℝ$ și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum se citește și cum se scrie o mulțime dată printr-o proprietate

O mulțime se poate descrie în două feluri: prin enumerarea elementelor, de exemplu ${1, 2, 3}$ , sau printr-o proprietate pe care o au toate elementele ei și numai ele. A doua variantă se scrie așa:

$A =$ ${x \in M | P (x)}$

Se citește „mulțimea elementelor $x$ din $M$ care au proprietatea $P$ ”. Bara verticală înseamnă „astfel încât” sau „cu proprietatea că”. Notația are două părți și amândouă contează:

mulțimea de lucru $M$ , de obicei $ℕ$ , $ℤ$ , $ℚ$ sau $ℝ$ , îți spune din ce numere ai voie să alegi;
proprietatea $P (x)$ , o condiție (o egalitate, o inegalitate, o divizibilitate), îți spune care dintre aceste numere rămân în mulțime.

Aceeași condiție poate da mulțimi diferite dacă se schimbă mulțimea de lucru. De exemplu, ecuația $x^{2} = 4$ are în $ℕ$ doar soluția $2$ , dar în $ℤ$ are soluțiile $- 2$ și $2$ .

Ca să scrii mulțimea prin enumerare: rezolvi condiția (ecuația, inecuația sau divizibilitatea), apoi păstrezi doar soluțiile care aparțin mulțimii de lucru.

Ca să verifici dacă un număr aparține mulțimii: controlezi întâi că este din $M$ , apoi îl înlocuiești pe $x$ în condiție. Dacă obții o propoziție adevărată, numărul aparține mulțimii.

Trei situații posibile: mulțimea poate fi finită (o poți enumera complet), infinită (de exemplu toate numerele pare) sau vidă, $⌀$ , când niciun element din $M$ nu respectă condiția.

Exerciții rezolvate : mulțimile definite printr-o proprietate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aceeași condiție, altă mulțime de lucruușor

Scrie prin enumerarea elementelor mulțimile $A =$ ${x \in ℤ | | x | < 3}$ și $B =$ ${x \in ℕ | | x | < 3}$ . Câte elemente are fiecare?

Rezolvare pas cu pas

Condiția $| x | < 3$ spune că numărul se află la o distanță mai mică decât $3$ de zero pe axă, adică $- 3 < x < 3$ .
Pentru $A$ alegi numere întregi, deci și negative: $A =$ ${- 2,$ $- 1,$ $0,$ $1,$ $2}$ . Numerele $- 3$ și $3$ nu intră, pentru că inegalitatea este strictă.
Pentru $B$ alegi doar numere naturale, deci rămân cele nenegative: $B = {0, 1, 2}$ . Nu uita de $0$ , care este număr natural.
Mulțimea $A$ are $5$ elemente, iar $B$ are $3$ elemente. Condiția este aceeași, doar mulțimea de lucru s-a schimbat.

Răspuns: $A =$ ${- 2,$ $- 1,$ $0,$ $1,$ $2}$ , cu $5$ elemente; $B = {0, 1, 2}$ , cu $3$ elemente

EXERCIȚIUL 2Verifici apartenența prin înlocuireușor

Fie $C =$ ${x \in ℝ | 2 x - 1 \geq 3}$ . Stabilește dacă numerele $2$ , $\sqrt{5}$ și $1,5$ aparțin mulțimii $C$ .

Rezolvare pas cu pas

Toate cele trei numere sunt reale, deci rămâne de verificat doar condiția.
Pentru $x = 2$ : $2 \cdot 2 - 1 = 3$ , iar $3 \geq 3$ este adevărat. Deci $2 \in C$ . Semnul $\geq$ permite și egalitatea.
Pentru $x = \sqrt{5}$ : trebuie să compari $2 \sqrt{5} - 1$ cu $3$ , adică $2 \sqrt{5}$ cu $4$ , adică $\sqrt{5}$ cu $2$ . Cum $5 > 4$ , ai $\sqrt{5} > 2$ , deci $\sqrt{5} \in C$ .
Pentru $x = 1,5$ : $2 \cdot 1,5 - 1 =$ $2$ , iar $2 \geq 3$ este fals. Deci $1,5 \notin C$ .

Răspuns: $2 \in C$ , $\sqrt{5} \in C$ , $1,5 \notin C$

EXERCIȚIUL 3Fracția care trebuie să dea număr naturalmediu

Scrie prin enumerare mulțimea $D =$ ${x \in ℕ | \frac{12}{x + 1} \in ℕ}$ .

Rezolvare pas cu pas

Fracția $\frac{12}{x + 1}$ este număr natural doar dacă $x + 1$ îl împarte exact pe $12$ . Cum $x$ este natural, $x + 1$ este un număr natural nenul.
Divizorii naturali ai lui $12$ sunt $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , deci $x + 1 \in {1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $12}$ .
Scazi $1$ din fiecare valoare ca să afli $x$ : $x \in {0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $11}$ .
Toate valorile sunt naturale, deci le păstrezi pe toate: $D =$ ${0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $11}$ .

Răspuns: $D =$ ${0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $11}$

EXERCIȚIUL 4Condiție cu modul, în numere întregimediu

Scrie prin enumerare mulțimea $E =$ ${x \in ℤ | | 2 x - 1 | \leq 5}$ .

Rezolvare pas cu pas

Inegalitatea $| a | \leq 5$ înseamnă $- 5 \leq a \leq 5$ . Aici $a = 2 x - 1$ , deci $- 5 \leq 2 x - 1 \leq 5$ .
Aduni $1$ în toate cele trei părți: $- 4 \leq 2 x \leq 6$ .
Împarți la $2$ , care este pozitiv, deci semnele rămân la fel: $- 2 \leq x \leq 3$ .
Păstrezi numerele întregi dintre $- 2$ și $3$ , inclusiv capetele: $E =$ ${- 2,$ $- 1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3}$ .
Verificare la capăt: pentru $x = 3$ , $| 2 \cdot 3 - 1 | = 5$ , iar $5 \leq 5$ este adevărat.

Răspuns: $E =$ ${- 2,$ $- 1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3}$

EXERCIȚIUL 5Mulțimea vidă apare din mulțimea de lucrumediu

Scrie prin enumerare mulțimile $F =$ ${x \in ℚ | x^{2} =$ $5}$ , $G =$ ${x \in ℝ | x^{2} =$ $5}$ și $H =$ ${x \in ℕ | x^{2} =$ $9}$ .

Rezolvare pas cu pas

Ecuația $x^{2} = 5$ are în numere reale două soluții: $x = \sqrt{5}$ și $x = - \sqrt{5}$ .
Numărul $\sqrt{5}$ este irațional, pentru că $5$ nu este pătrat perfect. La fel $- \sqrt{5}$ . Niciuna dintre soluții nu este rațională, deci $F = ⌀$ .
În $ℝ$ intră ambele soluții: $G =$ ${- \sqrt{5},$ $\sqrt{5}}$ .
Ecuația $x^{2} = 9$ are soluțiile $- 3$ și $3$ , dar în $ℕ$ rămâne doar $3$ : $H = {3}$ .

Răspuns: $F = ⌀$ ; $G =$ ${- \sqrt{5},$ $\sqrt{5}}$ ; $H = {3}$

EXERCIȚIUL 6De la enumerare la proprietatemediu

Scrie printr-o proprietate comună a elementelor mulțimile $K =$ ${3,$ $7,$ $11,$ $15,$ $19}$ și $L = {- 3, - 1, 1, 3}$ .

Rezolvare pas cu pas

În $K$ , diferența dintre două numere vecine este mereu $4$ , iar primul număr este $3$ . Deci fiecare element dă restul $3$ la împărțirea cu $4$ : $3 = 4 \cdot 0 + 3$ , $7 = 4 \cdot 1 + 3$ și așa mai departe, până la $19 = 4 \cdot 4 + 3$ .
O scriere posibilă: $K =$ ${x \in ℕ | x =$ $4 k + 3,$ $k \in ℕ,$ $k \leq 4}$ .
În $L$ sunt numere întregi impare, simetrice față de zero, iar cel mai depărtat de zero este la distanța $3$ .
O scriere posibilă: $L =$ ${x \in ℤ | x este impar și | x | \leq 3}$ . Orice altă proprietate care dă exact aceleași elemente este corectă.

Răspuns: $K =$ ${x \in ℕ | x =$ $4 k + 3,$ $k \in ℕ,$ $k \leq 4}$ ; $L =$ ${x \in ℤ | x impar,$ $| x | \leq 3}$

EXERCIȚIUL 7Fracție cu x și la numărător, valori întregigreu

Scrie prin enumerare mulțimea $P =$ ${x \in ℤ | \frac{2 x + 7}{x + 2} \in ℤ}$ .

Rezolvare pas cu pas

Pui condiția ca fracția să existe: $x + 2 \neq 0$ , deci $x \neq - 2$ .
Scoți întregii din fracție. Cum $2 x + 7 =$ $2 (x + 2) + 3$ , ai $\frac{2 x + 7}{x + 2} =$ $2 + \frac{3}{x + 2}$ .
Numărul $2$ este întreg, deci întreaga expresie este număr întreg exact când $\frac{3}{x + 2}$ este întreg, adică atunci când $x + 2$ este un divizor întreg al lui $3$ .
Divizorii întregi ai lui $3$ sunt $- 3, - 1, 1, 3$ . Din $x + 2 \in {- 3,$ $- 1,$ $1,$ $3}$ obții $x \in {- 5,$ $- 3,$ $- 1,$ $1}$ .
Verificare pentru $x = - 5$ : $\frac{- 10 + 7}{- 3} =$ $\frac{- 3}{- 3} =$ $1$ , număr întreg.

Răspuns: $P =$ ${- 5,$ $- 3,$ $- 1,$ $1}$

EXERCIȚIUL 8Două mulțimi descrise prin proprietăți, apoi operațiigreu

Fie $A =$ ${x \in ℤ | | x - 1 | < 4}$ și $B =$ ${x \in ℕ^{*} | \frac{8}{x} \in ℕ}$ . Determină $A \cap B$ , $A ∖ B$ și numărul de elemente ale mulțimii $A \cup B$ .

Rezolvare pas cu pas

Pentru $A$ : $| x - 1 | < 4$ înseamnă $- 4 < x - 1 < 4$ . Aduni $1$ peste tot: $- 3 < x < 5$ . În numere întregi: $A =$ ${- 2,$ $- 1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4}$ , adică $7$ elemente.
Pentru $B$ : $\frac{8}{x}$ este natural dacă $x$ este divizor natural al lui $8$ . Deci $B = {1, 2, 4, 8}$ , adică $4$ elemente.
Intersecția conține elementele comune: $A \cap B =$ ${1,$ $2,$ $4}$ .
Diferența $A ∖ B$ conține elementele din $A$ care nu sunt în $B$ : $A ∖ B =$ ${- 2,$ $- 1,$ $0,$ $3}$ .
Reuniunea: aduni numărul de elemente și scazi elementele comune, numărate de două ori: $7 + 4 - 3 = 8$ . Într-adevăr, $A \cup B =$ ${- 2,$ $- 1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $8}$ .

Răspuns: $A \cap B =$ ${1,$ $2,$ $4}$ ; $A ∖ B =$ ${- 2,$ $- 1,$ $0,$ $3}$ ; $A \cup B$ are $8$ elemente

Cum îți dai seama ce tip de condiție ai de rezolvat

Condiția are modul, ca $| x | < 3$ sau $| 2 x - 1 | \leq 5$ ? O transformi într-o dublă inegalitate și păstrezi apoi numerele din mulțimea de lucru.
Condiția cere ca o fracție să fie număr natural sau întreg? Ajungi la divizorii numărătorului; în $ℤ$ iei și divizorii negativi.
Condiția este o ecuație, ca $x^{2} = 5$ ? O rezolvi în $ℝ$ și apoi elimini soluțiile care nu sunt în mulțimea de lucru. Dacă nu rămâne niciuna, mulțimea este vidă.

Greșeli frecvente la mulțimile definite printr-o proprietate

Ignori mulțimea de lucru. Rezolvi corect $x^{2} = 9$ , dar scrii ${- 3, 3}$ pentru o mulțime cu $x \in ℕ$ . Numărul $- 3$ nu este natural, deci răspunsul corect este ${3}$ .
Scrii valorile lui $x + 1$ în loc de valorile lui $x$ . Din $x + 1 \in {1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $12}$ mulțimea nu este ${1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $12}$ . Mai ai un pas: scazi $1$ și abia apoi scrii elementele.
Uiți divizorii negativi. Când $x \in ℤ$ , divizorii lui $3$ sunt $- 3, - 1, 1, 3$ , nu doar $1$ și $3$ . Fără cei negativi pierzi jumătate din elemente.

Exersează : mulțimile definite printr-o proprietate

Fișă de lucru: Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Intervale de numere reale, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Mulțimi definite printr-o proprietate, partea a 2-a, exercițiiclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre mulțimile definite printr-o proprietate

Ce înseamnă bara verticală din acolade?

Se citește „astfel încât” sau „cu proprietatea că”. În stânga ei scrie din ce numere alegi, în dreapta scrie condiția pe care trebuie să o îndeplinească.

Care este diferența dintre

\in

și

\subset

Semnul $\in$ leagă un element de o mulțime: $3 \in {1, 3, 5}$ . Semnul $\subset$ leagă două mulțimi: ${1,$ $3} \subset {1,$ $3,$ $5}$ . Nu scrii $3 \subset {1,$ $3,$ $5}$ .

Cum știu dacă mulțimea are o infinitate de elemente?

Dacă după rezolvarea condiției rămân numere fără margine, de exemplu toate numerele naturale pare, mulțimea este infinită și nu o poți enumera complet. Poți scrie primele elemente urmate de puncte de suspensie: ${0, 2, 4, \dots}$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele reprezintă o mulțime definită printr-o proprietate comună a elementelor sale?
2. Fie mulțimea $A = {x \in ℕ | x este par și x \leq 10}$ . Care este forma prin enumerare a acestei mulțimi?
3. Care element aparține mulțimii $M = {x \in ℤ | - 3 \leq x < 2}$ ?
4. Mulțimea $B = {x \in ℕ | x este divizor al lui 12}$ scrisă prin enumerare este:
5. Care dintre următoarele proprietăți definește corect mulțimea $A = {3, 6, 9, 12}$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 12 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

INTERVALE DE NUMERE REALE notație și reprezentare pe axă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 1: Intervale de numere reale

OPERAȚII CU INTERVALE pe axa numerelor - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 1: Intervale de numere reale

INECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b > 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 1: Intervale de numere reale

CALCUL ALGEBRIC cu litere, termeni asemenea și paranteze - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT: pătratul sumei, al diferenței și diferența de pătrate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

DESCOMPUNEREA ÎN FACTORI factor comun, formule, grupare - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună