PROPRIETĂȚILE DIVIZIBILITĂȚII în mulțimea numerelor naturale - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 5 octombrie 2026

Cea mai folosită proprietate spune că dacă un număr divide doi termeni, atunci divide și suma lor, și diferența lor: din $7 | 700$ și $7 | 49$ rezultă $7 | 749$ , fără nicio împărțire. Mai jos găsești toate proprietățile relației de divizibilitate, cu exemple, și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Proprietățile relației de divizibilitate

Scriem $a | b$ și citim „ $a$ divide $b$ ” dacă există un număr natural $k$ astfel încât $b = a \cdot k$ . Aceeași relație se scrie și $b ⋮ a$ , „ $b$ se divide cu $a$ ”. Toate proprietățile de mai jos sunt pentru numere naturale.

$a | b ⟺$ $b =$ $a \cdot k,$ $k \in ℕ$

Reflexivitatea: $a | a$ pentru orice $a$ . În plus, $1 | a$ și $a | 0$ , pentru că $0 = a \cdot 0$ . În schimb, $0$ nu divide niciun număr nenul.
Antisimetria: dacă $a | b$ și $b | a$ , atunci $a = b$ .
Tranzitivitatea: dacă $a | b$ și $b | c$ , atunci $a | c$ . Exemplu: $3 | 12$ și $12 | 60$ , deci $3 | 60$ .
Divizibilitatea unui produs: dacă $a | b$ , atunci $a | b \cdot c$ pentru orice $c$ . Dacă $a | b$ și $c | d$ , atunci $a \cdot c | b \cdot d$ .
Divizibilitatea sumei și a diferenței: dacă $a | b$ și $a | c$ , atunci $a | b + c$ și $a | b - c$ (când $b \geq c$ ). Invers: dacă $a$ divide suma și unul dintre termeni, atunci divide și celălalt termen.
Numere prime între ele: dacă $a | n$ , $b | n$ și $(a, b) = 1$ , atunci $a \cdot b | n$ .

Atenție la două capcane. Dacă $a$ divide un termen al sumei, dar nu îl divide pe celălalt, atunci nu divide suma: $5 | 35$ , $5 ∤ 12$ , deci $5 ∤ 47$ . Iar ultima proprietate cere ca $a$ și $b$ să fie prime între ele: $4 | 12$ și $6 | 12$ , dar $24 ∤ 12$ , pentru că $(4, 6) = 2$ .

Cu aceste proprietăți demonstrezi divizibilități pentru expresii care conțin litere, unde calculul direct nu este posibil: scoți factor comun numărul căutat sau scrii expresia ca sumă de termeni care se divid fiecare cu el.

Exerciții rezolvate : proprietățile divizibilității

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Adevărat sau fals, cu justificareușor

Stabilește dacă afirmațiile sunt adevărate sau false și justifică: a) $7 | 0$ ; b) $0 | 7$ ; c) $1 | 2026$ ; d) $13 | 13$ ; e) dacă $a | 15$ și $15 | a$ , atunci $a = 15$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Adevărat: $0 = 7 \cdot 0$ , deci $7 | 0$ . Orice număr divide pe $0$ .
b) Fals: nu există niciun număr $k$ cu $0 \cdot k = 7$ , pentru că $0 \cdot k = 0$ .
c) Adevărat: $2026 = 1 \cdot 2026$ . Numărul $1$ divide orice număr natural.
d) Adevărat, prin reflexivitate: $13 = 13 \cdot 1$ .
e) Adevărat, prin antisimetrie: dacă două numere naturale se divid unul pe altul, ele sunt egale.

Răspuns: a) A; b) F; c) A; d) A; e) A

EXERCIȚIUL 2Tranzitivitatea în lanțușor

a) Arată, fără să împarți, că $12 | 180$ , știind că $12 | 36$ și $36 | 180$ . b) Se știe că $18 | n$ . Care dintre numerele $2$ , $4$ , $6$ , $9$ , $12$ îl divid sigur pe $n$ ?

Rezolvare pas cu pas

a) Din $12 | 36$ și $36 | 180$ , prin tranzitivitate, $12 | 180$ . Verificare: $180 = 12 \cdot 15$ .
b) Orice divizor al lui $18$ îl divide și pe $n$ , tot prin tranzitivitate. Divizorii lui $18$ sunt $1, 2, 3, 6, 9, 18$ .
Deci $2$ , $6$ și $9$ îl divid sigur pe $n$ .
Numerele $4$ și $12$ nu divid pe $18$ . Pentru $n = 18$ avem $4 ∤ 18$ și $12 ∤ 18$ , deci nu îl divid sigur pe $n$ .

Răspuns: a) $12 | 180$ prin tranzitivitate; b) $2$ , $6$ , $9$

EXERCIȚIUL 3Suma și diferența, fără calculușor

Folosind proprietățile divizibilității, stabilește: a) dacă $7 | 700 + 49$ ; b) dacă $7 | 350 - 63$ ; c) dacă $5 | 35 + 12$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $7 | 700$ ( $700 = 7 \cdot 100$ ) și $7 | 49$ ( $49 = 7 \cdot 7$ ). Divizorul comun al termenilor divide suma: $7 | 749$ .
b) $7 | 350$ și $7 | 63$ , deci $7$ divide și diferența: $7 | 287$ .
c) $5 | 35$ , dar $5 ∤ 12$ . Dacă $5$ ar divide suma, ar divide și diferența $47 - 35 = 12$ , ceea ce este fals.
Deci $5 ∤ 47$ : un număr care divide doar unul dintre cei doi termeni nu divide suma.

Răspuns: a) da; b) da; c) nu

EXERCIȚIUL 4Divizibilitatea unui produsmediu

Arată, fără să faci înmulțirile, că: a) $8 | 24 \cdot 13$ ; b) $15 | 45 \cdot 17 + 30 \cdot 8$ ; c) $35 | 14 \cdot 25$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $8 | 24$ , deci $8$ divide orice multiplu al lui $24$ , inclusiv $24 \cdot 13$ .
b) $15 | 45$ , deci $15 | 45 \cdot 17$ ; $15 | 30$ , deci $15 | 30 \cdot 8$ .
$15$ divide ambii termeni, deci divide și suma lor. Verificare: suma este $1005 = 15 \cdot 67$ .
c) $7 | 14$ și $5 | 25$ . Produsul divizorilor divide produsul numerelor: $7 \cdot 5 | 14 \cdot 25$ , adică $35 | 350$ .

Răspuns: toate trei sunt adevărate: a) $8 | 24$ ; b) $15$ divide fiecare termen; c) $7 | 14$ și $5 | 25$

EXERCIȚIUL 5Puteri cu exponent necunoscutmediu

Arată că, pentru orice număr natural $n$ , numărul $A =$ $2^{n + 2} + 2^{n + 1} + 2^{n}$ se divide cu $7$ . Arată apoi că, dacă $n \geq 1$ , $A$ se divide și cu $14$ .

Rezolvare pas cu pas

Nu poți calcula $A$ , pentru că nu știi $n$ . Scoți factor comun puterea cea mai mică, $2^{n}$ .
$A =$ $2^{n} \cdot 2^{2} +$ $2^{n} \cdot 2 +$ $2^{n} \cdot 1 =$ $2^{n} \cdot (4 + 2 + 1) =$ $7 \cdot 2^{n}$ .
$A$ este un multiplu al lui $7$ , deci $7 | A$ pentru orice $n$ .
Dacă $n \geq 1$ , atunci $2 | 2^{n}$ . Cum $7 | 7$ și $2 | 2^{n}$ , produsul divizorilor divide produsul: $14 | 7 \cdot 2^{n} =$ $A$ .

Răspuns: $A = 7 \cdot 2^{n}$ , deci $7 | A$ ; pentru $n \geq 1$ , $14 | A$

EXERCIȚIUL 6Divizori primi între eimediu

a) Un număr natural $n$ se divide cu $4$ și cu $9$ . Arată că $n$ se divide cu $36$ . b) Află cel mai mic număr de trei cifre care se divide și cu $4$ , și cu $9$ . c) Dacă $n$ se divide cu $4$ și cu $6$ , rezultă că se divide cu $24$ ?

Rezolvare pas cu pas

a) $4 = 2^{2}$ și $9 = 3^{2}$ nu au factori primi comuni, deci $(4, 9) = 1$ . Din $4 | n$ , $9 | n$ și $(4, 9) = 1$ rezultă $4 \cdot 9 | n$ , adică $36 | n$ .
b) Cauți cel mai mic multiplu de $36$ cu trei cifre: $36 \cdot 2 = 72$ are două cifre, $36 \cdot 3 = 108$ are trei.
Răspunsul este $108$ . Verificare: $108 =$ $4 \cdot 27 =$ $9 \cdot 12$ .
c) Nu. $(4, 6) = 2$ , deci proprietatea nu se aplică. Contraexemplu: $4 | 12$ și $6 | 12$ , dar $24 ∤ 12$ .

Răspuns: a) $36 | n$ ; b) $108$ ; c) nu, de exemplu $n = 12$

EXERCIȚIUL 7Numere n pentru care o expresie divide altagreu

Determină numerele naturale $n$ pentru care $n + 1 | 3 n + 11$ .

Rezolvare pas cu pas

Știi că $n + 1 | n + 1$ , deci și $n + 1 | 3 \cdot (n + 1) =$ $3 n + 3$ .
Din $n + 1 | 3 n + 11$ și $n + 1 | 3 n + 3$ , numărul $n + 1$ divide și diferența: $(3 n + 11) - (3 n + 3) =$ $8$ .
Deci $n + 1$ este un divizor al lui $8$ : $n + 1 \in {1,$ $2,$ $4,$ $8}$ , de unde $n \in {0, 1, 3, 7}$ .
Verificare: $n = 0$ : $1 | 11$ ; $n = 1$ : $2 | 14$ ; $n = 3$ : $4 | 20$ ; $n = 7$ : $8 | 32$ . Toate sunt adevărate.

Răspuns: $n \in {0, 1, 3, 7}$

EXERCIȚIUL 8Numere scrise cu aceleași cifregreu

Arată că, oricare ar fi cifrele nenule $a$ , $b$ , $c$ , numărul $N =$ $a b c +$ $b c a +$ $c a b$ se divide cu $37$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompui fiecare număr în baza 10: $a b c =$ $100 a + 10 b + c$ , $b c a =$ $100 b + 10 c + a$ , $c a b =$ $100 c + 10 a + b$ .
Aduni pe litere: fiecare cifră apare o dată cu $100$ , o dată cu $10$ și o dată cu $1$ , deci $N =$ $111 a + 111 b + 111 c =$ $111 \cdot (a + b + c)$ .
$111 = 3 \cdot 37$ , deci $37 | 111$ .
Dacă $37$ divide un factor al produsului, divide tot produsul: $37 | 111 \cdot (a + b + c) =$ $N$ . De exemplu, $123 + 231 + 312 =$ $666 =$ $37 \cdot 18$ .

Răspuns: $N =$ $111 (a + b + c) =$ $37 \cdot 3 (a + b + c)$ , deci $37 | N$

Cum recunoști ce proprietate a divizibilității folosești

Expresia este o sumă sau o diferență? Arată că numărul dat divide fiecare termen; dacă divide doar unul dintre doi termeni, nu divide rezultatul.
Expresia conține puteri cu exponent necunoscut sau cifre necunoscute? Scoate factor comun sau descompune în baza 10 până apare un factor care se divide cu numărul cerut.
Ți se cere divizibilitatea cu un produs, ca $36$ sau $15$ ? Desparte-l în factori primi între ei ( $4 \cdot 9$ , $3 \cdot 5$ ) și arată divizibilitatea cu fiecare.

Greșeli frecvente la proprietățile divizibilității

Confunzi $a | b$ cu $a : b$ . $3 | 12$ înseamnă că $3$ îl divide pe $12$ ( $12 = 3 \cdot 4$ ), nu că împarți $3$ la $12$ . Numărul din stânga barei este divizorul.
Aplici proprietatea produsului fără numere prime între ele. Din $4 | n$ și $6 | n$ nu rezultă $24 | n$ , pentru că $4$ și $6$ au factorul comun $2$ . Rezultă doar $12 | n$ , adică c.m.m.m.c. al lor.
Crezi că un număr care nu divide termenii nu divide suma. $3 ∤ 4$ și $3 ∤ 5$ , dar $3 | 4 + 5 = 9$ . Proprietatea merge doar într-un sens: dacă divide ambii termeni, divide suma.

Exersează : proprietățile divizibilității

Fișă de lucru: Proprietăți ale relației de divizibilitate, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Divizibilitate, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Proprietăți ale relației de divizibilitate, partea a II-aclasa a VI-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre proprietățile divizibilității

Care sunt proprietățile divizibilității?

Reflexivitatea ( $a | a$ ), antisimetria, tranzitivitatea, divizibilitatea unui produs, divizibilitatea sumei și a diferenței și proprietatea numerelor prime între ele: dacă $a | n$ , $b | n$ și $(a, b) = 1$ , atunci $a b | n$ .

Ce înseamnă că divizibilitatea este tranzitivă?

Că divizibilitatea „se transmite” în lanț: dacă $a$ îl divide pe $b$ și $b$ îl divide pe $c$ , atunci $a$ îl divide pe $c$ . De exemplu, $2 | 10$ și $10 | 70$ , deci $2 | 70$ .

Zero se divide cu orice număr?

Da, $0$ se divide cu orice număr natural, pentru că $0 = a \cdot 0$ . În schimb, $0$ nu este divizor al niciunui număr nenul.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Dacă $a | b$ și $b | c$ , atunci care dintre următoarele afirmații este adevărată?
2. Dacă $a | b$ și $a | c$ , atunci care dintre relațiile de mai jos este corectă?
3. Care dintre următoarele afirmații descrie proprietatea de reflexivitate a divizibilității?
4. Dacă $6 | 48$ și $6 | 18$ , atunci care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată?
5. Dacă $a | b$ , atunci care dintre următoarele relații este întotdeauna adevărată?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 5 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

DETERMINAREA C.M.M.D.C. prin descompunere în factori primi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

CMMMC (cel mai mic multiplu comun) - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Divizibilitatea numerelor naturale

RAPOARTE MATEMATICE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 3: Rapoarte și proporții

CALCULUL CU PROCENTE, formule și metode - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 3: Rapoarte și proporții

PROPORȚII MATEMATICE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 3: Rapoarte și proporții

TERMENUL NECUNOSCUT DINTR-O PROPORȚIE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 3: Rapoarte și proporții

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună