Evaluarea Națională, clasa a VIII-a

Test de antrenament Evaluarea Națională la matematică, nr. 10

Un test întreg, în structura probei de la examen: 18 cerințe, 90 de puncte plus 10 din oficiu, două ore. E scris de noi, nu e un subiect oficial, așa că îl poți da ca pe o probă nouă. Îl printezi, iar baremul e mai jos, pe pagină. Rezolvarea completă, pas cu pas, ți-o trimitem gratuit pe email.

📝 Testul, în PDFDescarcă PDF

📝

Deschide testul (PDF)

📖 Rezolvare pas cu pasGratuită, pe email

După ce copilul termină testul, corectați-l împreună cu rezolvarea completă, pas cu pas:

✓Toate cele 18 cerințe rezolvate, nu doar răspunsul final
✓Punctajul pe fiecare pas, ca la corectarea de la examen

Ce verifică testul și unde se învață

Dacă o cerință iese greșit, reluați lecția video a temei ei. Fiecare cerință de mai jos are tema scrisă lângă ea.

Cerințele testului

Aceleași cerințe ca în PDF. La grile, se alege o singură variantă.

Subiectul I

30 puncte

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item este notat cu 5 puncte.

1
Rezultatul calculului $\frac{2}{3}$ + $\frac{5}{6}$ : $\frac{5}{4}$ este egal cu:
- a) $\frac{6}{5}$
- b) $\frac{13}{12}$
- c) $\frac{4}{3}$
- d) $\frac{17}{12}$
Tema: Înmulțirea și împărțirea numerelor raționale
2
Numărul 0,(3) + 0,1(6) este egal cu:
- a) $\frac{49}{90}$
- b) $\frac{1}{2}$
- c) $\frac{2}{5}$
- d) $\frac{5}{9}$
Tema: Fracții zecimale periodice
3
Numărul elementelor mulțimii A = {x ∈ ℤ | |2x − 1| < 7} este egal cu:
- a) 7
- b) 5
- c) 8
- d) 6
Tema: Intervale și inecuații cu modul
4
Dacă a + b = 7 și a · b = 10, atunci numărul a² + b² este egal cu:
- a) 29
- b) 49
- c) 39
- d) 69
Tema: Formule de calcul prescurtat
5
Patru elevi, Matei, Nora, Ovidiu și Petra, au calculat numărul x = $\sqrt{{(2 - √ 5)}^{2}}$ + $\sqrt{{(3 - √ 5)}^{2}}$ . Rezultatele obținute de ei sunt: Matei $2 \sqrt{5}$ − 5, Nora 1, Ovidiu 5 − $2 \sqrt{5}$ , Petra −1. Rezultatul corect a fost obținut de:
- a) Matei
- b) Nora
- c) Ovidiu
- d) Petra
Tema: Modulul, compararea și ordonarea numerelor reale
6
Media aritmetică a cinci numere este 12. După ce unul dintre numere este eliminat, media aritmetică a celorlalte patru numere devine 10. Numărul eliminat este:
- a) 20
- b) 2
- c) 22
- d) 12
Tema: Media aritmetică și media geometrică

Subiectul al II-lea

30 puncte

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item este notat cu 5 puncte.

1
În figura alăturată, dreptele AB și CD sunt paralele, iar punctul E se află între cele două drepte, astfel încât m(∠BAE) = 35° și m(∠DCE) = 45°. Măsura unghiului AEC este egală cu:
- a) 100°
- b) 10°
- c) 80°
- d) 90°
Tema: Drepte paralele tăiate de o secantă
2
În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, cu AB = 6 cm, AC = 8 cm și m(∠BAC) = 150°. Aria triunghiului ABC este egală cu:
- a) 24 cm²
- b) $12 \sqrt{3}$ cm²
- c) $24 \sqrt{3}$ cm²
- d) 12 cm²
Tema: Triunghiul dreptunghic: teorema unghiului de 30°, teorema medianei
3
În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel ABCD, cu AB ∥ CD, AB = 14 cm și CD = 6 cm, ale cărui diagonale sunt perpendiculare. Aria trapezului ABCD este egală cu:
- a) 200 cm²
- b) 100 cm²
- c) 84 cm²
- d) 50 cm²
Tema: Ariile patrulaterelor
4
În figura alăturată, hexagonul regulat ABCDEF este înscris în cercul de centru O și rază 6 cm. Aria triunghiului ACE este egală cu:
- a) $27 \sqrt{3}$ cm²
- b) $54 \sqrt{3}$ cm²
- c) $36 \sqrt{3}$ cm²
- d) $18 \sqrt{3}$ cm²
Tema: Poligoane regulate înscrise într-un cerc
5
În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′, cu AB = 4 cm. Aria triunghiului A′BC′ este egală cu:
- a) $8 \sqrt{2}$ cm²
- b) $16 \sqrt{3}$ cm²
- c) $8 \sqrt{3}$ cm²
- d) $4 \sqrt{6}$ cm²
Tema: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
6
În figura alăturată este reprezentat conul circular drept cu vârful V, centrul bazei O și generatoarea VA = 12 cm. Desfășurarea suprafeței laterale a conului este un sector de cerc cu unghiul de 120°. Raza bazei conului este egală cu:
- a) 6 cm
- b) 3 cm
- c) 8 cm
- d) 4 cm
Tema: Conul circular drept

Subiectul al III-lea

30 puncte

Scrie rezolvările complete. Fiecare problemă este notată cu 5 puncte.

1
Un elev a citit o carte în trei zile. În prima zi a citit 25% din numărul total de pagini, în a doua zi a citit 40% din numărul paginilor rămase, iar în a treia zi a citit restul de 108 pagini.
a) Arată că, în a doua zi, elevul a citit 30% din numărul total de pagini ale cărții.
b) Determină numărul total de pagini ale cărții.
Tema: Procente
2
Se consideră expresia E(x) = ((x + 1)/(x − 1) − (x − 1)/(x + 1)) · (x² − 1)/(4x²), unde x este număr real, x ∉ {−1, 0, 1}.
a) Arată că E(x) = 1/x, pentru orice x ∉ {−1, 0, 1}.
b) Determină numărul real a pentru care E(a) + E(2a) + E(3a) = $\frac{11}{12}$ .
Tema: Fracții algebrice: operații
3
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale, al cărei grafic conține punctele A(1, 1) și B(3, 5).
a) Arată că f(x) = 2x − 1.
b) În sistemul de axe ortogonale xOy se consideră punctul P(4, 0). Determină coordonatele punctului M, situat pe graficul funcției f, pentru care MO = MP, apoi calculează aria triunghiului MOP.
Tema: Punct pe graficul unei funcții
4
În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu AB = 12 cm. Punctul M este mijlocul laturii BC, iar dreptele DM și AC se intersectează în punctul P.
a) Arată că CP = $4 \sqrt{2}$ cm.
b) Calculează aria patrulaterului ABMP.
Tema: Triunghiuri asemenea. Teorema fundamentală a asemănării
5
În figura alăturată, dreptele PA și PB sunt tangente în punctele A, respectiv B, la cercul de centru O și rază 6 cm, iar PO = 12 cm.
a) Arată că m(∠APB) = 60°.
b) Calculează aria suprafeței cuprinse între segmentele PA, PB și arcul mic AB.
Tema: Tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc
6
În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD, cu AB = 12 cm și înălțimea VO = 6 cm, unde O este centrul bazei ABCD.
a) Arată că aria laterală a piramidei este egală cu $144 \sqrt{2}$ cm².
b) Calculează distanța de la punctul O la planul (VBC).
Tema: Teorema celor trei perpendiculare

Barem de corectare: testul de antrenament nr. 10 la matematică

Răspunsul corect la fiecare cerință. Pașii cu punctajul intermediar sunt în rezolvarea trimisă pe email.

Deschide baremul

Subiectul I · 30p

1. c) · 5p: Împărțirea se efectuează înaintea adunării: $\frac{5}{6}$ : $\frac{5}{4}$ = $\frac{5}{6}$ · $\frac{4}{5}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ . Atunci $\frac{2}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{3}$ . Varianta $\frac{6}{5}$ se obține dacă se efectuează, greșit, întâi adunarea.
2. b) · 5p: Transformăm fracțiile periodice în fracții ordinare: 0,(3) = $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{3}$ și 0,1(6) = (16 − 1)/90 = $\frac{15}{90}$ = $\frac{1}{6}$ . Suma este $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{2}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$ .
3. d) · 5p: |2x − 1| < 7 ⇔ −7 < 2x − 1 < 7 ⇔ −6 < 2x < 8 ⇔ −3 < x < 4. Numerele întregi care verifică aceste inegalități sunt −2, −1, 0, 1, 2 și 3, deci mulțimea A are 6 elemente.
4. a) · 5p: Din formula (a + b)² = a² + 2ab + b² rezultă a² + b² = (a + b)² − 2ab = 7² − 2 · 10 = 49 − 20 = 29.
5. b) · 5p: Pentru orice număr real a, $\sqrt{a^{2}}$ = |a|. Cum 2 < $\sqrt{5}$ < 3, avem |2 − $\sqrt{5}$ | = $\sqrt{5}$ − 2 și |3 − $\sqrt{5}$ | = 3 − $\sqrt{5}$ . Atunci x = $\sqrt{5}$ − 2 + 3 − $\sqrt{5}$ = 1, rezultatul Norei.
6. a) · 5p: Suma celor cinci numere este 5 · 12 = 60, iar suma celor patru numere rămase este 4 · 10 = 40. Numărul eliminat este 60 − 40 = 20.

Subiectul al II-lea · 30p

1. c) · 5p: Ducem prin E paralela EF la dreapta AB, cu F de aceeași parte cu B și D; atunci EF ∥ CD. Unghiurile BAE și AEF sunt alterne interne, deci m(∠AEF) = 35°, iar unghiurile DCE și CEF sunt alterne interne, deci m(∠CEF) = 45°. Rezultă m(∠AEC) = 35° + 45° = 80°.
2. d) · 5p: Fie CD ⊥ AB, cu D pe prelungirea laturii BA, dincolo de A. Unghiul CAD are 180° − 150° = 30°, deci, în triunghiul ADC, dreptunghic în D, cateta CD se opune unghiului de 30° și CD = AC : 2 = 4 cm. Aria triunghiului ABC este AB · CD : 2 = 6 · 4 : 2 = 12 cm².
3. b) · 5p: Fie O punctul de intersecție a diagonalelor. Trapezul este isoscel și are diagonalele perpendiculare, deci triunghiurile AOB și COD sunt dreptunghice isoscele, iar înălțimile lor din O sunt jumătăți ale ipotenuzelor: 14 : 2 = 7 cm și 6 : 2 = 3 cm. Înălțimea trapezului este 7 + 3 = 10 cm, iar aria este (14 + 6) · 10 : 2 = 100 cm².
4. a) · 5p: Triunghiul ACE este echilateral și înscris în cercul de rază R = 6 cm, deci latura lui este R $\sqrt{3}$ = $6 \sqrt{3}$ cm. Aria triunghiului echilateral ACE este (AC² · $\sqrt{3}$ ) : 4 = $108 \sqrt{3}$ : 4 = $27 \sqrt{3}$ cm². Valoarea $54 \sqrt{3}$ cm² este aria hexagonului.
5. c) · 5p: Laturile A′B, BC′ și A′C′ sunt diagonale ale unor fețe ale cubului, deci fiecare are lungimea $4 \sqrt{2}$ cm, iar triunghiul A′BC′ este echilateral. Aria lui este (( $4 \sqrt{2}$ )² · $\sqrt{3}$ ) : 4 = $32 \sqrt{3}$ : 4 = $8 \sqrt{3}$ cm².
6. d) · 5p: Lungimea arcului sectorului de cerc este egală cu lungimea cercului de bază al conului. Sectorul are 120°, adică o treime din cercul de rază 12 cm, deci lungimea arcului este o treime din 24π cm, adică 8π cm. Din 2πr = 8π rezultă r = 4 cm.

Subiectul al III-lea · 30p

1. Răspuns: n = 108 · 100 : 45 = 240, deci cartea are 240 de pagini · 5p
2. Răspuns: Pentru a = 2, numerele a = 2, 2a = 4 și 3a = 6 nu aparțin mulțimii {−1, 0, 1}, deci a = 2 convine · 5p
3. Răspuns: Înălțimea din M a triunghiului MOP este 3, iar OP = 4, deci aria triunghiului MOP este 4 · 3 : 2 = 6 · 5p
4. Răspuns: Aria patrulaterului ABMP este 72 − 12 = 60 cm² · 5p
5. Răspuns: Aria cerută este diferența dintre aria patrulaterului PAOB și aria sectorului de cerc AOB, adică $36 \sqrt{3}$ − 12π cm² · 5p
6. Răspuns: ON = 6 · 6 : ( $6 \sqrt{2}$ ) = 6 : $\sqrt{2}$ = $3 \sqrt{2}$ cm · 5p

Total: 90p + 10p din oficiu = 100 de puncte

Alte teste de antrenament la matematică

1Testul de antrenament nr. 1 2Testul de antrenament nr. 2 3Testul de antrenament nr. 3 4Testul de antrenament nr. 4 5Testul de antrenament nr. 5 6Testul de antrenament nr. 6 7Testul de antrenament nr. 7 8Testul de antrenament nr. 8 9Testul de antrenament nr. 9

Evaluare Națională la matematică: cum arată proba, temele fiecărui subiect și subiectele oficiale din anii trecuți.Cursul de clasa a VIII-a: lecții video pentru toată materia din care se dă examenul.

Cerințele greșite au fiecare lecția lor video

Lecții video cu profesori reali, fișe de lucru rezolvate și Profesor AI, pentru toată materia claselor 5-8.

Abonează-te!prima lună 5 lei